第1章预备知识1



同学们进入高中数学的学习以后，会发现一些知识或术语在初中数学中学过或见过，但是真正学起来或用起来又不得要领，往往让人有力不从心之感。造成这种现象的原因大致有两个：一是初中教学有要求，但是中考对该部分知识的考查相对较浅，故老师在讲授中花费时间不多，浅尝辄止，或者初中考查的侧重点和高中要求的侧重点不一致，初中讲授的方向无法匹配高中的新需求；二是初中教材上有讲授，但属于选学内容或阅读类、探究类内容，中考不作要求，因此初中教学中可能不怎么讲。然而，进入高中以后，高中数学老师会认为这些内容是初中的，可能也不愿花时间来专门讲授，因此就造成了一些脱节。我们国家新版的《普通高中数学课程标准》（2017年版）以及后续在此基础上的修订版（比如2017年版，2020修订）设定了“预备知识”的主题，一定程度上体现了对上述脱节情况的弥补。由此，以新版《普通高中数学课程标准》为指导的《普通高中教科书·数学》必修第一册中专门加入了初中涉及的内容，并做了进一步的深化，以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。

基于类似的考虑，本书在正式进入高中函数知识的学习之前，有必要对初中已经涉及，但是授课要求和侧重方向都和高中数学的需求有出入的相关内容，包括不等式、一元二次方程、二次函数等，做进一步的阐述，方便学生尽快完成由初中数学的学习状态到高中数学的学习状态的过渡，因此，我们设置了本章作为本书全篇的起始，学完本章之后，相信同学们对高中数学的学习会有一些新的认识，并具备了学习后续章节的知识储备和心理准备。

全章共分3节，“1.1不等式的解法”介绍了高中需要掌握的5种常见不等式的解法，尤其是含参不等式的解法着重体现了分类讨论的数学思想，要多加体会；“1.2二次方程根的分布”介绍了通过数形结合把二次方程根的关系等价转化成函数值和函数图像的关系的解题思路，让学生初步领略数形结合思想的妙用；“1.3二次函数恒成立及最值问题”比较硬核，涉及高中数学的两大主题：“恒成立问题”和“最值问题”，这两个主题初中接触相对较少，而高中又常考，且往往和参数相关，故更需要花时间掌握。







1.1不等式的解法

1.1.1一元二次不等式的解法

一元二次不等式的有关概念

1.定义

一般地，形如ax2+bx+c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，且a≠0。一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”“≠”。

2.一元二次不等式的解集

使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。

三个“二次”之间的关系

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的解的对应关系如下表所示。





判别式Δ=b2-4ac
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
y=ax2+bx+c

（a＞0）的图像



ax2+bx+c=0

（a＞0）的根
有两个不相等的实数根

x1，x2（x1＜x2）
有两个相等的实数根

x1=x2=-b2a
没有实数根
ax2+bx+c＞0

（a＞0）的解集
xx＜x1或x＞x2
xx≠-b2a
R
ax2+bx+c＜0

（a＞0）的解集
xx1＜x＜x2



注意事项：

Δ＞0时，一元二次不等式的解集的结构可归纳如下：

ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集为“取两边”；ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集为“取中间”。

口诀：“大两边，小中间”。




不等式-3x+2x2-2＞0的解集为。




-3x+2x2-2＞0的解集y=2x2-3x-2在x轴上方图像对应的x的范围。





不等式-3x+2x2-2＞0，即2x2-3x-2＞0，

即y=2x2-3x-2在x轴上方的图像对应的自变量x的取值范围。

令2x2-3x-2=0，即（2x+1）（x-2）=0，解得x1=-12，x2=2。

作出函数y=2x2-3x-2的大致图像，如图所示，

故不等式-3x+2x2-2＞0的解集为xx＜-12或x＞2。



同学们，我们这里一定要注意解集必须写成集合或者区间的形式，不然考试时5分可能就要没了哟！



在学习求解一元二次不等式的初期，学会利用二次函数图像求解一元二次不等式，将会使问题变得更加直观、明了。下面是求解一元二次不等式的具体步骤：



注意事项：

1.需要指出的是，不是所有的一元二次不等式都能因式分解，当无法因式分解时，需要先计算判别式，判断方程是否有实根。若有实根，则可借助求根公式直接求得；若无实根，则依然可以借助二次函数图像求得解集。

2.“大两边，小中间”是数形结合的结果，脑海里一定要勾勒出二次函数的大致图像。



【变式】

可因式分解+小于取中间

（2013·广东）不等式x2+x-2＜0的解集为。

【条件翻译】x2+x-2＜0的解集y=x2+x-2在x轴下方图像对应的x的范围。

二次项系数为负数

（2015·广东）不等式-x2-3x+4＞0的解集为。（用区间表示）

【条件翻译】二次项系数为负数。

二次项系数为负数+不能因式分解+判别式小于0

解不等式-5x2+4x-2≥0。

【条件翻译】二次项系数为负数，且判别式小于0。



已知解集求参数+不等式含参数



（2008·全国）设不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，则a-b=（）。

A.7B.5
C.-5D.-7



x2+ax+b＜0的解集为{x|-2＜x＜3}-2和3是方程x2+ax+b=0的两根。


因为不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，所以-2和3是方程x2+ax+b=0的两根，由韦达定理，有-2+3=-a1，
-2×3=b1a=-1，
b=-6，经检验，a=-1，b=-6满足题意。因此a-b=（-1）-（-6）=5。故答案为B。




已知不等式解集求参数问题的解题步骤如下：



注意事项：

1.“韦达转化”，通常也可以“代入求解”——双根直接代入方程；

2.代入验证的原因：①“二次互化”非等价（二次函数零点仅确定解集的端点，而不等号的方向决定取中间还是取两边）；②通常情况下，应用韦达定理的前提是Δ≥0。




【变式】

已知解集求参数+区间含参数

（2013·重庆）关于x的不等式x2-2ax-8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2）且x2-x1=15，则a=（）。



A.52B.3
C.-52D.-3

【条件翻译】x2-2ax-8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2）x1，x2是x2-2ax-8a2=0（a＞0）的两实数根。




1.1.2分式不等式与高次不等式的解法

分式不等式的概念

一般地，分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式。各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式f（x）g（x）＞0（≥0）或f（x）g（x）＜0（≤0）（其中f（x），g（x）为整式且g（x）不为0）。





（2012·重庆）不等式 x-1x+2＜0的解集为（）。



A.（1，+∞）B.（-∞，-2）

C.（-2，1）D.（-∞，-2）∪（1，+∞）



	




方法1：分类讨论

由分式不等式x-1x+2＜0可得x-1与x+2异号，即x-1＞0，
x+2＜0或x-1＜0，
x+2＞0，解得-2＜x＜1，则原不等式的解集为{x|-2＜x＜1}。

故答案为C。

方法2：转化为一元二次不等式求解

分式不等式x-1x+2＜0，利用不等式的性质可得x-1x+2（x+2）2＜0，即（x-1）（x+2）＜0，
可得x∈（-2，1）（“大两边，小中间”）。

故答案为C。



对于形如ax+bcx+d＜C（＞C）的分式不等式，可以利用不等式的性质将其转化为一元二次不等式求解，具体步骤如下：



注意事项：

1.“系数化正”时，注意不等式是否变号。

2.“化除为乘”，即将分式不等式化为一元二次不等式时，注意分母不为0。



解分式不等式的思路——转化为整式不等式（组）来解。分式不等式转化为整式不等式（组）的方式如下：







分式不等式
同解变形 1
同解变形 2
AB＞0
A＞0，
B＞0或A＜0，
B＜0
A·B＞0
AB＜0
A＞0，
B＜0或A＜0，
B＞0
A·B＜0
AB≥0
A=0或A＞0，
B＞0或A＜0，
B＜0
A·B≥0且B≠0
AB≤0
A=0或A＞0，
B＜0或A＜0，
B＞0
A·B≤0且B≠0



【变式】

注意分母不能为0

（2012·重庆）不等式x-12x+1≤0的解集为（）。



A.-12，1
B.-12，1

C.-∞，-12∪［1，+∞）
D.-∞，-12∪［1，+∞）

【条件翻译】2x+1≠0。

注意变号

（2010·上海）不等式4-xx+2＞0的解集是。

【条件翻译】4-x中x的系数为负。

注意右侧不为0

（2021·上海）不等式2x+5x-2＜1的解集为。

【条件翻译】不等式右侧不为0。

已知解集求参数

（2009·湖北）已知关于x的不等式ax-1x+1＜0的解集为xx＜-1或x＞-12，则实数a=。

【条件翻译】ax-1x+1＜0（ax-1）（x+1）＜0；ax-1x+1＜0的解集为xx＜-1或x＞-12-1，-12是方程（ax-1）（x+1）=0的实根，且a＜0。



高次不等式的概念

一般地，最高次项的次方数高于二次的不等式叫做高次不等式。



不等式（3x+1）（x+1）（x-2）＜0的解集为。






不等式（3x+1）（x+1）（x-2）＜0，即函数y=（3x+1）（x+1）（x-2）在x轴下方的图像对应的自变量x的取值范围。

令（3x+1）（x+1）（x-2）=0，可得x1=-1，x2=-13，x3=2，在数轴上依次标出-1，-13，2，如图所示。



从右上角开始画线，顺次穿过每个根，
可得函数y=（3x+1）（x+1）（x-2）的简图，如图所示。



结合图像，可知原不等式的解集为xx＜-1或-13＜x＜2。

故答案为xx＜-1或-13＜x＜2。



高次不等式的求解步骤如下：



注意事项：

1.因式分解时，通常先将分式不等式化为多项式不等式，再进行因式分解，且分式不等式化为多项式不等式时，需要注意分母不为0；

2.“穿针引线”时，从右到左，从上到下，“奇穿偶不穿”；

3.“奇穿偶不穿”的含义——当某根对应的因式的次方数为奇数时，穿线时正常穿过该根；当某根对应的因式的次方数为偶数时，穿线时不穿过该根，而是反弹过去，向下一个根穿线。


【变式】

最高次项系数为负数

解高次不等式（-3x-1）（2x-2）（x+5）＜0。

【条件翻译】-3x-1中x的系数为负数。


奇穿偶不穿+最高次项系数为正数

不等式（x2-4）（x-6）2≤0的解集是。

【条件翻译】x2-4可因式分解为（x-2）（x+2）；（x-6）2的幂指数为2。

分式化高次+奇穿偶不穿+分母不为0

不等式（x+3）2（x-1）x-2≤0的解集是（）。



A.{x|1≤x＜2}
B.{x|1＜x＜2或x=-3}

C.{x|1≤x≤2或x=-3}
D.{x|1≤x＜2或x=-3}

【条件翻译】x-2在分母上，x-2≠0；（x+3）2的幂指数为2。


右不为0+分式化高次+分母不为0+奇穿偶不穿

（2008·山东）不等式x+5（x-1）2≥2的解集是（）。

A.-3，12
B.-12，3

C.12，1∪（1，3］
D.-12，1∪（1，3］

【条件翻译】x+5（x-1）2≥2的右侧不为0，且为分式不等式。

猜根+高次方程的解法：一般猜根为±1，±2，再用“整式大除法”

解高次不等式2x3-9x2+3x+4＞0。

【条件翻译】不等式左侧不是因式连乘的形式。








多项式除以多项式一般用竖式进行演算：

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐。

（2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项。

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积。

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止。

被除式=除式×商式+余式。如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除。

上述对多项式进行因式分解的方法，叫做“整式大除法”。


1.1.3绝对值不等式的解法

实数的绝对值的定义

数轴上表示数a的点与原点的距离就是数a的绝对值，记为|a|。

数轴上两点之间的距离公式

一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB=|a-b|，这就是数轴上两点之间的距离公式。

绝对值不等式的概念

一般地，绝对值中含有变量的不等式叫做绝对值不等式。例如，x＞3，x-1＜2都是绝对值不等式。

不等式的几何意义

“不等式f（x）＞g（x）的解集”的几何意义为“函数f（x）在g（x）上方的图像对应的自变量x的取值范围”。





解不等式x-1＞3。

【方法1】代数法

令x-1=0，得x=1。

当x≤1时，x-1≤0，x-1＞3等价于-（x-1）＞3，解得x＜-2，所以x＜-2；

当x＞1时，x-1＞0，x-1＞3等价于x-1＞3，解得x＞4，所以x＞4。

综上所述，不等式x-1＞3的解集为xx＜-2或x＞4。


【方法2】几何法



x-1＞3y1=x-1在y2=3上方的图像对应的x的取值范围。


令x-1=0，得x=1。

当x≤1时，x-1=-（x-1）=1-x；当x＞1时，x-1=x-1。


于是函数y1=x-1=1-x，x≤1，
x-1，x＞1。

在同一坐标系中，画出y1=x-1和y2=3的图像，
如图所示。


令x-1=3，解得x-1=±3x=-2或x=4，
即xA=-2，xB=4。

结合图像可得，不等式x-1＞3的解集为xx＜-2或x＞4。