目  录

第1章  不等式 1

1.1  证明不等式的常用方法 1

1.1.1  比较法 1

1.1.2  综合法 1

1.1.3  分析法 1

1.1.4  判别式法 2

1.1.5  换元法 2

1.1.6  函数的单调性法 2

1.1.7  放缩法 3

1.1.8  累加法 3

1.1.9  反证法 3

1.1.10  数学归纳法 3

1.1.11  均值不等式法 4

1.1.12  导数法 4

1.1.13  切线长代换法 5

1.1.14  构造函数法 5

1.1.15  构造图形法 5

1.1.16  构造对偶式法 6

1.2  用“以直代曲”证明不等式 6

习题 8

第2章  推理与证明 20

2.1  谈谈这道“合情推理”高考题 20

2.1.1  这道“合情推理”高考题是考查探究能力的好题 20

2.1.2  对题2-1的深入研究 21

2.2  对一道归纳推理高考题的深入研究 23

2.3  高考就考合情推理、大胆猜测 25

习题 27

第3章  立体几何 32

3.1  用向量法求解四面体 32

3.2  先解决一个问题，再解决一串问题 37

3.3  三条两两异面的直线的分类及其应用 41

习题 43

第4章  平面解析几何 61

4.1  用三角函数定义巧解“”的解析几何问题 61

4.2  用平面几何知识解答平面解析几何题 71

4.3  对2016年高考四川卷第15题的研究 73

习题 76

第5章  计数原理 89

5.1  解“地图着色”问题的通法 89

5.2  球入盒问题 92

5.3  有两个限制条件的排列问题的解法 94

5.4  介绍两个组合恒等式 96

习题 97

第6章  统计 100

6.1  详解两道方差题 100

6.2  两种不同算法的结果为何相同 102

习题 105

第7章  概率、随机变量及其分布列 111

7.1  赏析一道概率题 111

7.2  “七星彩”中奖中的概率问题 112

7.2.1  “七星彩”中奖的规则 112

7.2.2  买“七星彩”中奖的概率 112

7.2.3  任买一注“七星彩”获得奖金的期望 114

7.2.4  《开门大吉》中的概率问题 114

习题 117

第8章  平面几何 124

8.1  用面积法证明平面几何问题很给力 124

8.2  用杠杆原理巧解一道日本初中数学竞赛题 129

8.3  订正第十一届广中杯预赛第2(3)题的答案 130

习题 132

第9章  初等数论 136

9.1  已知正整数的所有正约数的和 136

9.2  谈谈不定方程的解法 141

9.3  推广2015年高考北京卷数学理科压轴题 145

习题 146

第10章  组合数学 149

10.1  组合数学中的常见问题及其解法 149

10.1.1  用母函数法或构造组合模型证明组合恒等式 149

10.1.2  用抽屉原则或染色方法解决存在性问题 149

10.1.3  操作问题解法 151

10.1.4  解决离散量的最值问题可考虑剩余类 152

10.1.5  解决组合几何问题可考虑分类讨论 153

10.2  一道抽屉原则题的一般情形 153

10.3  万能砝码问题 154

10.4  数学游戏——谁报到30谁就输了 155

习题 157

习题参考答案 159

附录A  全国统一考试试卷 363

附录B  甘志国已(即将)出版著作目录 384