目   录

第 1 章    向量代数与空间解析几何             1

1.1   向量及其运算           1

1.1.1   空间直角坐标系             1

1.1.2   向量的概念            3

1.1.3   向量的线性运算             3

1.1.4   向量的坐标            5

1.1.5   向量的乘积运算             9

习题 1.1          14

1.2   平面与直线          15

1.2.1   平面          15

1.2.2   直线          19

习题 1.2          23

1.3   曲面与曲线          24

1.3.1   柱面和旋转曲面           24

1.3.2   二次曲面           26

1.3.3   曲线方程           30

习题 1.3          32

总习题 1         33

第 2 章    多元函数微分学               36

2.1   多元函数的基本概念         36

2.1.1   平面点集           36

2.1.2   多元函数           38

2.1.3   多元函数的极限和连续性          39

习题 2.1          42

2.2   偏导数和全微分           42

2.2.1   偏导数         42

2.2.2   高阶偏导数          46

2.2.3   偏导数在经济分析中的应用         47

2.2.4   全微分         50

习题 2.2          54

2.3   复合函数与隐函数微分法          55

2.3.1   复合函数的微分法          55

2.3.2   隐函数的微分法           60

习题 2.3          64

2.4   多元函数的极值及其求法          64

2.4.1   多元函数的极值问题         65

2.4.2   条件极值问题         68

习题 2.4          72

总习题 2         73

第 3 章    重 积 分                 78

3.1   二 重 积 分           78

3.1.1   二重积分的概念           78

3.1.2   二重积分的性质           79

3.1.3   在直角坐标系下计算二重积分           81

3.1.4   在极坐标系下计算二重积分         87

3.1.5   反常二重积分         92

习题 3.1          93

3.2   三 重 积 分           95

3.2.1   三重积分的概念和性质           95

3.2.2   在直角坐标系下计算三重积分           96

3.2.3   在柱面坐标系和球面坐标系下计算三重积分        100

习题 3.2        104

总习题 3       105

第 4 章    无穷级数                110

4.1   常数项级数及其性质       110

4.1.1   常数项级数的概念        110

4.1.2   无穷级数的基本性质       113

习题 4.1        115

4.2   常数项级数收敛性的判别法       116

4.2.1   正项级数及其判别法       116

4.2.2   交错级数及其判别法       123

4.2.3   绝对收敛与条件收敛       125

习题 4.2        127

4.3   函数项级数        129

4.4   幕级数       130

4.4.1   幕级数及其收敛域        131

4.4.2   幕级数的运算与性质       135

习题 4.4        137

4.5   函数的幕级数展开        138

4.5.1   Taylor 级数        138

4.5.2   函数的幕级数展开步骤         140

习题 4.5        146

4.6   Taylor 级数的应用        147

4.6.1   函数值的近似计算        147

4.6.2   求积分的近似值         148

习题 4.6        149

总习题 4       149

第 5 章    微分方程                 154

5.1   微分方程的基本概念       154

5.1.1   几个具体例子       154

5.1.2   微分方程的概念         155

习题 5.1        159

5.2   一阶微分方程       160

5.2.1   可分离变量的微分方程         160

5.2.2   齐次方程         163

5.2.3   准齐次方程        166

5.2.4   一阶线性微分方程        168

习题 5.2        173

5.3   可降阶的高阶微分方程        175

5.3.1    g (n)  = f(从) 型的微分方程       175

5.3.2    g′′  = f(从, g′ ) 型的微分方程       176

5.3.3    g′′  = f(g, g′ ) 型的微分方程       178

习题 5.3        179

5.4   高阶线性微分方程及其通解结构       179

5.4.1   二阶齐次线性微分方程的通解结构       180

5.4.2   二阶非齐次线性微分方程的通解结构        182

习题 5.4        183

5.5   二阶常系数齐次线性微分方程        184

5.5.1   特征方程具有两个不相等的实根        185

5.5.2   特征方程具有两个相等的实根         185

5.5.3   特征方程具有一对共扼的复根         187

习题 5.5        188

5.6   二阶常系数非齐次线性微分方程       189

5.6.1    f(x) = Pn (x)eλx  型         189

5.6.2    f(x) = eλx (Pl (x)cosωx + Pn (x)sin ωx) 型         193

习题 5.6        196

5.7   Euler 方程       197

习题 5.7        199

5.8   常系数线性微分方程组的解法举例         199

习题 5.8        201

5.9   微分方程在经济学中的应用举例       201

习题 5.9        205

总习题 5       206

第 6 章    差分方程                  210

6.1   差分的概念        210

6.1.1   差分的基本概念         210

6.1.2   高阶差分         211

6.2   差分方程的概念         212

6.2.1   差分方程         212

6.2.2   常系数线性差分方程通解的结构        213

习题 6.2        215

6.3   一阶常系数线性差分方程        215

6.3.1   一阶常系数齐次线性差分方程的求解方法         216

6.3.2   一阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法        217

习题 6.3        223

6.4   二阶常系数线性差分方程        224

6.4.1   二阶常系数齐次线性差分方程的求解方法         224

6.4.2   二阶常系数非齐次线性差分方程的求解方法        227

习题 6.4        231

总习题 6       232

综合测试题及参考答案                  234

习题参考答案                 235

参考文献               257