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第一篇复变函数论

第1章复变函数与解析函数

1.1复数及其基本运算(complex numbers and operations)

1.1.1复数的基本概念(concepts of complex numbers)

1.1.2复数的表示方法(algebraic and geometric structure of complex numbers)

1.1.3复数的基本运算(operation of complex numbers)

1.1.4基于MATLAB的复数运算(complex number operations based on MATLAB)

1.2复变函数(complex variable functions)

1.2.1复变函数的概念(concepts and properties of complex variable function)

1.2.2区域的相关概念(concepts of domain)

1.2.3复变函数的极限和连续(limit and continuity of complex variable function)

1.3导数及解析函数(derivative and analytic function)

1.3.1导数(derivative)

1.3.2函数可导的充分必要条件(sufficient conditions for derivability)

1.3.3解析函数(analytic function)

1.3.4初等解析函数及性质(elementary analytic function and properties)

1.3.5运用MATLAB工具使复变函数可视化(visualization of complex function 

based on MATLAB)

1.4解析函数的应用(application of analytic function)

1.4.1解析函数在平面静电场中的应用(application of analytic function in the 

plane electrostatic field)

1.4.2保角变换及其几何解释(conformal mapping and its geometric interpretations)

1.4.3解析函数在系统稳态响应问题求解中的应用(application of analytic 

function in oscillation system)

第1章习题

第2章解析函数积分

2.1复变函数的积分(integral of complex variable function)

2.1.1复变函数积分的基本概念(concepts of complex integral)

2.1.2复变函数积分的性质(properties of complex integral)

2.1.3复变函数积分实例(examples of complex integral)

2.2柯西定理(Cauchy theorem)

2.2.1单连通区域情形的柯西定理(Cauchy theorem in simply connected domains)

2.2.2不定积分和原函数(indefinite integral and antiderivative)

2.2.3复连通区域的柯西定理(Cauchy theorem in multiply connected domains)

2.2.4复变函数积分的MATLAB运算(calculation of complex integral 

based on MATLAB)

2.3柯西公式及推论(Cauchy formula and extension)

2.3.1单连通区域的柯西积分公式(Cauchy formula in simply connected domain)

2.3.2复连通区域的柯西积分公式(Cauchy formula in multiply connected domain)

2.3.3无界区域中的柯西积分公式(Cauchy formula for unbounded domain)

2.3.4柯西公式推论(extension of Cauchy formula)

2.4柯西定理及柯西公式应用实例(application examples of Cauchy theorem 

and Cauchy formula)

第2章习题

第3章复变函数级数

3.1复数项级数(complex number series)

3.1.1复数项级数的概念(concepts of complex number series)

3.1.2复数项级数的性质(properties of complex number series)

3.1.3复变函数项级数(series of complex functions)

3.2幂级数(power series)

3.2.1幂级数概念(concepts of power series)

3.2.2收敛半径与收敛圆(radius of convergence and circle of convergence)

3.2.3幂级数的性质(properties of power series)

3.3泰勒级数(Taylor series)

3.3.1解析函数的泰勒展开式(Taylor expansion of analytic function)

3.3.2泰勒级数的收敛半径(radius of convergence of Taylor series)

3.3.3将函数展开成泰勒级数的实例(examples of Taylor series expansion)

3.4洛朗级数(Laurent series)

3.4.1洛朗级数定义(definition of Laurent series)

3.4.2洛朗级数的收敛性(convergence of Laurent series)

3.4.3洛朗级数展开实例(examples of Laurent series expansion)

3.5单值函数的孤立奇点(isolated singular points of singlevalued functions)

3.6基于MATLAB的幂级数展开(power series expansion based on MATLAB)

第3章习题

第4章留数定理及其应用

4.1留数定理(residue theorem)

4.1.1闭合回路积分与留数的关系(loop integral and residue)

4.1.2留数的计算(calculation of residue)

4.1.3基于MATLAB的留数计算(residue calculation based on MATLAB)

4.2利用留数定理计算实积分(application of residue theorem for calculation of real integral)

4.2.1类型Ⅰ实积分计算(type Ⅰ real integral)

4.2.2类型Ⅱ实积分计算(type Ⅱ real integral)

4.2.3类型Ⅲ实积分计算(type Ⅲ  real integral)

4.3其他类型的实积分计算(calculation of other real integral)

4.4基于MATLAB的回路积分计算(loop integral calculation based on MATLAB)

第4章习题

第二篇数学物理方程及求解方法

第5章傅里叶级数

5.1周期函数的傅里叶展开(Fourier expansion of periodic function)

5.1.1傅里叶级数的定义(definition of Fourier series)

5.1.2傅里叶级数的实际意义(practical meaning of Fourier series)

5.1.3傅里叶级数的收敛性(convergence of Fourier series)

5.2奇函数及偶函数的傅里叶展开(Fourier expansion of odd and even function)

5.3定义在有界区间上函数的傅里叶展开(Fourier expansion of functions 

defined on an interval)

5.4复数形式的傅里叶级数(Fourier series in complex form)

5.5使用MATLAB完成傅里叶级数的可视化(visualization of Fourier series based 

on MATLAB)

第5章习题

第6章数学建模——数学物理定解问题

6.1基本概念(basic concepts)

6.2典型的数理方程(typical mathematical physics equation)

6.2.1波动方程(wave equation)

6.2.2热传导方程(heatconduction equation)

6.2.3泊松方程(Poisson equation)

6.3定解条件(definite solution condition)

6.3.1初始条件(initial condition)

6.3.2边界条件(boundary condition)

6.3.3数学物理定解问题的适定性(wellposed problems in mathematical physics)

6.4二阶线性偏微分方程的分类和特征(classification and characteristics of 

secondorder linear partial differential equations)

6.4.1二阶线性偏微分方程的分类(classification of secondorder linear 

partial differential equations)

6.4.2二阶线性偏微分方程解的特征(characteristics of solutions of secondorder 

linear partial differential equations)

6.5行波法与达朗贝尔公式(traveling wave method and DAlembert formula)

6.5.1一维波动方程的达朗贝尔公式(DAlembert formula for one 

dimensional wave equation)

6.5.2达朗贝尔公式的物理意义(physical meaning of DAlembert formula)

6.5.3达朗贝尔公式应用的MATLAB实现(application of DAlembert 

formula based on MATLAB)

第6章习题

第7章分离变量法

7.1分离变量法的理论(theory of variable separation)

7.1.1分离变量法简介(introduction of variable separation method)

7.1.2偏微分方程可实施变量分离的条件(conditions for variable 

separation of PDEs)

7.1.3边界条件可实施变量分离的条件(conditions for variable separation 

of boundary conditions)

7.2直角坐标系中的分离变量法(variable separation method in rectangular 

coordinate system)

7.2.1分离变量法的求解步骤(steps of variable separation method)

7.2.2解的物理意义(physical meaning of solution)

7.2.3三维情况下的直角坐标分离变量(variable separation for 3D problem 

in rectangular coordinate)

7.3非齐次边界条件齐次化(homogenization of nonhomogeneous boundary conditions)

7.3.1非齐次边界条件齐次化的一般方法(general method)

7.3.2非齐次边界条件齐次化的特殊方法(special method)

7.4非齐次方程 (inhomogeneous equation)

7.5泊松方程(Poisson equation)

7.6基于MATLAB的数学物理方程数值求解（numerical solution of mathematical 

physics equation using MATLAB）

7.6.1有限元法介绍（introduction of the finite element method）

7.6.2MATLAB PDE工具箱(MATLAB PDE toolbox)

第7章习题

第8章二阶常微分方程的级数解法和本征值问题

8.1柱坐标系和球坐标系下的分离变量法(variable separation in spherical and 

cylindrical coordinate system)

8.1.1三种常用的正交坐标系(three types of coordinates)

8.1.2拉普拉斯方程的分离变量(Laplace equation)

8.1.3三维波动方程的分离变量(3D wave equation)

8.1.4三维输运方程/热传导方程的分离变量(3D transport equation/

heatconduct equation)

8.1.5亥姆霍兹方程的分离变量(Helmholtz equation)

8.2常点邻域的级数解法(power series solution around ordinary points)

8.3施图姆刘维尔本征值问题(SturmLiouville eigenvalue problem)

8.3.1施图姆刘维尔型方程及本征值问题(SturmLiouville equation and 

eigenvalue problem)

8.3.2施图姆刘维尔本征值问题的性质及广义傅里叶级数(characteristics of 

SturmLiouville eigenvalue problem and generalized Fourier series)

第8章习题

第9章特殊函数

9.1勒让德多项式(Legendre polynomials)

9.1.1勒让德方程及其级数解(Legendre equation and power series solution)

9.1.2本征值问题(eigenvalue problem)

9.1.3勒让德多项式的表达式(the expression of Legendre polynomials)

9.1.4勒让德多项式的性质(characteristics of Legendre polynomials)

9.1.5勒让德多项式的MATLAB可视化(visualization of Legendre polynomials 

based on MATLAB)

9.1.6广义傅里叶级数(generalized Fourier series)

9.1.7轴对称定解问题(axisymmetric problems in spherical coordinate)

9.1.8勒让德多项式的生成函数(generating function of Legendre polynomial)

9.1.9勒让德多项式的递推公式(recurrence formula of Legendre polynomials)

9.2贝塞尔函数(Bessel function)

9.2.1三类柱函数(three types of cylindrical functions)

9.2.2贝塞尔函数和诺伊曼函数的MATLAB可视化(visualization of Bessel 

function and Neumann function based on MATLAB)

9.2.3贝塞尔函数的性质(characteristics of Bessel functions)

9.2.4贝塞尔方程本征值问题(Bessel equation eigenvalue problem)

9.2.5傅里叶贝塞尔级数(FourierBessel series)

9.3虚宗量贝塞尔函数(Bessel function of imaginary argument)

9.3.1虚宗量贝塞尔方程的解(solution of modified Bessel equation)

9.3.2虚宗量贝塞尔函数和虚宗量汉克尔函数的MATLAB可视化(visualization of 

modified Bessel function and modified Hankel function based on MATLAB)

9.3.3虚宗量贝塞尔函数和虚宗量汉克尔函数的性质(characteristics of modified 

Bessel function and modified Hankel function)

9.4特殊函数的应用实例(application examples of special functions)

9.4.1拉普拉斯方程定解问题(Laplace equation problems)

9.4.2阶跃光纤的分析(analysis of step optical fibre)

9.4.3表面等离激元(plasmonics)

第9章习题

第10章数理方程的其他方法

10.1保角变换法(conformal mapping)

10.1.1常用的保角变换函数(analytic functions for conformal mapping)

10.1.2应用举例(examples)

10.2有限差分法(finite difference method)

10.2.1差分的基本概念(concepts)

10.2.2二维拉普拉斯方程的差分方程(difference equation of  2D Laplace equation)

10.2.3边界上的差分方程(difference equation on boundary grids)

10.2.4二维静态电磁场差分方程的迭代法求解(iterative method solution for 

2D static electromagnetic field difference equation)

10.2.5曲线边界的处理（processing of curved boundary）

10.3有限元法(finite element method)

10.3.1有限元法的基本原理(principle of FEM)

10.3.2有限元法求解案例(examples)

第10章习题

第三篇线性空间与线性算子

第11章向量和向量空间

11.1向量的概念（concepts of vectors）

11.1.1向量的表示方法（vector representation）

11.1.2向量的加减和数乘（addition and scalar multiplication of vectors）

11.1.3向量的标量积和向量积（scalar product and vector product）

11.2向量空间（vector space）

11.2.1向量空间的定义（definition of vector space）

11.2.2线性组合与线性无关（linear combination and linear independence）

11.2.3笛卡儿坐标系（Cartesian coordinate system）

11.2.4子空间（subspace）

11.3向量空间的基和维数（basis and dimension of vector space）

11.3.1向量空间的基(basis of vector space)

11.3.2向量空间的维数（dimension of vector space）

*11.4MATLAB可视化向量场和标量场（visualization of vector and scalar 

fields using MATLAB）

11.4.1二维标量函数及其等值线（twodimensional scalar function and contours）

11.4.2二维标量函数的梯度及其箭头图（gradient of a 2D scalar 

function and arrow plots）

11.4.3曲面的法向量及其箭头图（normal vector of a surface and arrow plots）

第11章习题

第12章向量分析

12.1R3空间的向量代数（vector algebra in R3 space）

12.1.1向量的加法和数乘（addition and scalar multiplication of vectors）

12.1.2向量的标量积（scalar product of vectors）

12.1.3向量的向量积（vector product of vectors）

12.1.4向量的混合积（mixed product of vectors）

12.2柱坐标系和球坐标系（cylindrical coordinate system and spherical coordinate system）

12.2.1坐标变量和基本单位向量（coordinate variables and base unit vectors）

12.2.2三种坐标系中坐标变量之间的关系（the relationship between coordinate 

variables in different coordinate systems）

12.2.3基本单位向量之间的变换——单位圆法（conversion between basic 

unit vectors： unit circle method）

12.2.4三种常用坐标系中的线元、面元和体元（line element,area element 

and volume element in three common coordinate systems）

12.3R3空间的向量分析（vector analysis in R3 space）

12.3.1标量函数的梯度（the gradient of a scalar function）

12.3.2向量函数的散度（the divergence of the vector function）

12.3.3向量函数的旋度（the curl of the vector function）

12.3.4标量函数的拉普拉斯运算（Laplacian of the scalar function）

12.4向量积分定理（vector integral theorem）

12.4.1高斯散度定理（Gauss theorem）

12.4.2斯托克斯定理（Stokes theorem）

12.4.3格林定理（Greens theorem）

12.5向量分析的应用实例——梯度下降法的MATLAB编程（example of 

vector analysis： gradient descent method）

12.6向量分析的重要公式（important formulas）

第12章习题

第13章线性空间和线性算符

13.1线性空间的内积（inner product in linear space）

13.1.1内积空间（inner product space）

13.1.2点积和欧几里得空间（dot product and Euclidean space）

13.1.3施密特正交归一化（Schmidt orthonormalization）

13.1.4正交归一基的完备性（completeness of orthonormalized basis）

13.2希尔伯特空间（Hilbert space）

13.3线性算符（linear operator）

13.3.1线性算符的定义（definition of linear operator）

13.3.2常用的线性算符（commonly used linear operator）

13.3.3线性算符的本征值和本征向量（eigenvalues and 

eigenvectors of linear operators）

13.4线性算符的应用实例——MATLAB编程（application examples of 

linear operator： MATLAB programming）

13.4.1动力系统微分方程（Differential equations of dynamical systems）

13.4.2马尔可夫链（Markov chain）

第13章习题

附录A

习题答案

参考文献