前言

本书是“抽象代数”(也称“近世代数”)课程的教材,前半部分力求浅易具体、清楚易懂，详细讲解最基本的标准内容，引导读者进入抽象殿堂.后半部分内容渐进丰厚、涵盖较广、视角较新.

内容包含群、环、域的完整讲解，同态、同构、商群、商环、理想、多项式、域的扩张和嵌入等，也包含群作用于集合、西罗定理、唯一析因整环、主理想整环、伽罗瓦理论和应用(方程根式解和尺规作图等)、有限域及其上多项式等较深入的内容.后部分还介绍了模与正合序列、代数整数环、坐标环和诺特环、群的半直积等，可作选读参考.配有较多例题、习题，附有解答和提示，还加上3个附录.本科生或初学者可略去带*号等后部分内容.

作者长期在清华大学、中国科学技术大学、南方科技大学作代数方面的教学和研究工作.在清华尖子生“学堂班(基础科学班)”“钱学森班”和数学系长期主讲“抽象代数”课程.

此教材是基于长期科研和教学实践，反复完善授课讲稿，参阅文献，多年积累写成，融入了不少心得感悟.讲解力求清楚明白,具有透视性，科学准确并采用较新视角，避免不必要的过分形式化和臃肿、烦琐.旨在引导读者较快掌握本课的实质.

本书可作为本科生和研究生的教材，适用于数学、理工科、自动化与人工智能、信息通信、编码和密码学、计算机网络等领域的学生、学者、科技人员学习或参考.第1、2、4章为基本内容，其余内容可根据教学需求和学时情况取舍调整.

抽象代数是最重要的数学分支之一.按照布尔巴基(N.Bourbaki)学派的结构主义，全部数学是基于代数、顺序、拓扑这三种母结构,三者分化组合生发出来的.代数学衍生融合出众多现代数学分支，许多是菲尔兹等大奖的最重要获奖领域，例如代数数论、代数几何、交换代数、表示论、同调代数、代数拓扑、模形式、李群、李代数、范畴论，等等，都蓬勃兴旺.随着数字化时代的到来，信息处理、信息安全加密、代数编码、人工智能发展迅猛，代数学在其中起到理论核心作用,是创新的灵魂，应用日益深入广泛.

抽象代数的突出特点是“抽象”，它讨论的是“代数结构”(algebraical structures)，而不是数字或具体器物.“今天的数学主要关心的是结构以及结构之间的关系，而不是数之间的关系.这种情况最初发生在1800年左右，首次的突破是抽象群概念的引入.目前它在数学领域中已经无所不在.” (塞尔伯格(A.Selberg)语).在抽象代数的产生和发展中，问题和实例起到重要作用. 寻求五次以上一元多项式方程的求解公式的惊心历程，导致发现 “群” 以描述方程根的对称性(伽罗瓦的思想困惑了数学界1830年左右).对二次型、高次互反律、费马大定理的研究，产生了“环”和“理想”的概念(库默尔的理想数震惊了巴黎，1847).近世代数思潮的兴起，一扫两千年迷雾，古希腊的历史难题一时纷纷瓦解冰消.

发展到19—20世纪之交,抽象思潮引起数学巨变.数学家不再满足于研究具体对象的性质，而是要建立一般理论.各种数学结构和分类问题成为潮流.这种潮流在整个数学领域出现，代数学是引领者.通过基本运算和公理，形式地定义出许多代数结构，抽象的群论、环论、域论横空出世 (施泰尼茨的域论，希尔伯特，阿廷，诺特的环论，斐波那契，舒尔的群表示论等).1900年前后这半个世纪的辉煌建树，在1930—1931年被范德瓦尔登出版的《近世代数》两卷系统地总结，“代数”一词的含意从此永远改变，数学的含意也从此改变了. 此后，代数学及其融合的诸多学科都飞速发展.当初的高次互反律期望落实为类域论的优美理论，300多年对费马大定理的不懈追求终成正果.同时，又生发出郎兰兹猜想等新的梦想，也带给人类诸如椭圆曲线算法等强大的高科技能力.

历史缘由和现实经验告诉我们，代数的“理论抽象性”是必须学习的——这正是代数的“威力”和“精华”所在，正是代数的“独特性”“优越性”.代数为有志青年提供了大好用武之地，发展之基.既使是不打算做理论工作的同学,趁年轻多学习一些抽象理论也是最好的.事实上,代数没有传说的那样难学，它只是初学不习惯而已，“回头看”多了就亲切了.理论和实例交错，理解和记忆融合，反复多次，就能建立起直观认知，抽象就变得具体而且自然了.进一步，最好选择一个代数相关专业踏实学下去，更能深入真切.因为抽象代数现在是多个学科方向的共同基础课，内容难免庞杂，侧面较多,“绝知此事要躬行”.

总之，教书和读书都要用心.用心久了，岁月和实践会有回报.在这一点上，教学和科研有些像农林业，种下桃树精心培养定会果实累累； 而不太像工业制造业，人工合成桃子很难而且无味.校园里看到“香蕉开花一条心”很有感触，“志者心之所之也”.有《香蕉开花赞》一首赠给有心志的青年:  

四月芭蕉捧赤心,

紫霞丹玉献青君.

流光结下黄金果,

蜡卷贝叶隐诗痕.

张贤科

2021年2月12日于清华园