前言

——从“一题多解”到“多解归一”

在学习中，常有同学感慨上课听懂了，但是题目不会做。这个问题的原因有很多，而且理论与实践本身就有一定的差别。那怎样才算真正听懂了，而且还能实现从听懂到会做题的突破呢？主要还是在学习中抓住要点，认识事物的本质。在数学中，常常通过“一题多解”到“多解归一”来促进对知识的深度理解。

为什么要一题多解？只要会做题不就好了吗？这是很多同学会问的问题。实现一题多解本身不是最终目的，更不是无意义的炫技。而是希望通过解一道题通一类题，对某个知识点或者题型有更深刻的认识，达到举一反三的效果。下面以教材中的三角形内角和定理的证明来感受一下从“一题多解”到“多解归一”。

【三角形内角和定理的证明】

一、 三角形内角和定理

如图1，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。

图1

三角形的内角和为180°，这是小学阶段学过的知识。小学阶段通过操作的方式验证了结论。到了初中阶段，我们需要学会如何证明该结论，见图2。

图2

二、 分析

在初中阶段，由180°能想到的就是平角（邻补角互补）与同旁内角（两直线平行，同旁内角互补）。

① 如图3，∠BAC=180°。

② 如图4，因为AB∥CD，所以∠A+∠C=180°。

图3

图4

三、 一题多解

1. 构造平角

① 如图5，过点A作DE∥BC，把三个内角和转化为平角∠DAE。

② 如图6，延长BA至点D，过点A作AE∥BC，转化为平角∠BAD。

③ 如图7，在边AB上取一点D，过点D分别作DE∥AC交BC于点E，作DF∥BC交AC于点F，转化为∠BDA。

图5

图6

图7

④ 如图8，过点O分别作DE∥BC，FG∥AC，HI∥AB，把三个内角和转化为平角∠HOI。

构造平角的方法，除了以上几种之外，还有很多种其他作法。如图9，在平面内任取一点O，过点O作△ABC三边的平行线，把三个内角转化为一个平角即可。

图8

图9

2. 构造同旁内角

① 如图10，过点A作AD∥BC，转化为求∠B与∠BAD之和。

② 如图11，分别过点B,A,C作BC的垂线，垂足分别为B，D，C，转化为∠CBE与∠BCF之和。

构造同旁内角的方法，除了以上两种方法之外，也是有很多其他作法。如图12，在平面内任取一点O，连接AO，再分别过点B，C作AO的平行线，转化为一组同旁内角即可。

图10

图11

图12

四、 多解归一

虽然上面的解法多种多样，但是它们之间也是有联系的。可以发现，辅助线的形式主要是构造平行线。把三角形的三个内角转化到一个平角上，或转化为一组同旁内角。细心的同学可以发现，一组同旁内角通过平行线的性质，也可以转化为一个平角。

五、 拓展

如图13，AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，求证： ∠A+∠C＝∠P。

以往，我们常见的辅助线添加方法是过点P作AB（或CD）的平行线，再证明该平行线与CD（或AB）平行，进而利用平行线的性质得到结论。受到前面三角形内角和定理的证明方法的启发之后，还有其他方法吗？

如图14，在平面内任取一点作所有已知直线的平行线，利用平行线的性质，把三个角转化到一个角的位置即可。当点O与点P重合时，就是我们常规的方法。

又或者在平面内任取一点O，连接OA，再过点P，C作OA的平行线，（也可连接OP或OC，做相应的平行线）进而再把三个角转化到一起即可（见图15）。当点O与点P重合时，也变成了常规的方法。

图13

图14

图15

六、 总结

由实际生活中的操作入手，发现了证明三角形内角和定理的方法，再推广到更多的方法，实现了一题多解。从不同的解法中，发现它们的共同点都是构造平行线，对角进行转化，最终转化为一个平角，这就实现了多解归一。理解了证明三角形内角和定理的方法，再把这种方法应用到更多的角度问题中，学会了举一反三。

在数学的知识海洋中，还有无数的问题可以通过“一题多解”到“多解归一”，找到知识之间的联系。当然，在学校课堂中，不会有那么多的时间对每个知识点进行如此深入的研究。那么我们就需要借助外力。本书的特点就是“一题多解”与“多解归一”。每道例题通常会给出不同的解法，让你从不同的角度对该题型有更深入的理解。再通过解题之后的反思与总结实现升华，达到真正掌握该问题解法的目的。

无论一道题目多么典型，或者一种方法多么巧妙，如果只是简单地看一下而不亲自体验，是很难有收获的。因此希望大家做一个有心人，用心地解答某一类问题，结合书中的不同解法，不断推敲琢磨，直至融会贯通。千里之行，始于足下，每一个成功都来自点滴的积累。希望大家不要贪多求全，而是一步一个脚印，在解决一个个问题的过程中，积累成功的经验，培养自信心。

最后，祝所有的读者心想事成！

编者2022年11月