前言

离散数学是计算机、软件工程、网络工程、大数据、人工智能和物联网等专业的核心基础课程。它涵盖了一系列基础且关键的知识点，是深入学习后续课程的基础。本书编写团队结合多年教学经验，致力于帮助学生深入理解离散数学的核心概念，系统掌握理论方法，并熟练运用现代工具解决复杂的工程问题。同时，本书案例与思政元素深度融合，旨在培养学生的社会责任感和家国情怀，引导学生在掌握专业知识的同时，树立正确的价值观，为成为德才兼备的高素质应用型人才奠定坚实基础。

1.  方法

学习离散数学是一个理解核心概念和定义，分析和掌握性质和计算，以及进一步将现实问题进行抽象建模并解决的过程。本书将重点介绍离散数学中的概念，用通俗易懂的语言对它们进行描述，并用形式化方法来表达和处理运算关系。为了更有效地学习离散数学，本书引入了Python编程语言，将其作为构建和理解知识模型的工具，同时引入大模型Agent以辅助学生自主探索与深入理解。通过编程实现这些示例，学生能够更深刻地理解离散数学的内涵和外延。

2. 组织与内容

本书基于Python语言实现，主要内容分为5部分，具体如下。

（1） 计数和数论基础部分，主要包括： ①计数基础，包括基本概念与鸽巢原理； ②数论基础，包括整除性和模运算、素数和最大公因数、同余方程、欧拉函数和费马小定理。

（2） 集合论部分，主要包括： ①集合概述，包括集合的基本概念、集合的表示法、集合的类型、集合之间的关系和幂集； ②集合运算和性质，包括集合运算、集合运算性质、集合划分和覆盖、容斥原理； ③二元关系，包括有序对、笛卡儿积、二元关系的定义、特殊关系、关系表示、二元关系的运算、性质和闭包； ④特殊关系，包括相容关系、等价关系、次序关系、函数基本概念、函数性质、函数复合和逆运算、无限集合基数和性质。

（3） 数理逻辑部分，主要包括： ①命题逻辑，包括命题及分类、命题标识符和联结词、命题公式定义和符号化、命题公式解释和真值表、命题公式之间的关系、对偶与范式、命题演算推证、命题逻辑推理系统及性质； ②谓词逻辑，包括个体词、谓词、量词、谓词公式与解释、谓词公式之间的关系、前束范式、谓词演算推证、谓词逻辑推理系统及性质。

（4） 图论部分，主要包括： ①图概述，包括图的基本概念、顶点的度、图同构、典型图、图的运算； ②图的连通，包括连通性、图的矩阵表示、最短通路； ③多类型的图，包括欧拉图、哈密顿图、二部图、平面图； ④多类型的树，包括树的基本概念、生成树、根树。

（5） 代数系统部分，主要包括： ①代数系统，包括代数系统运算的定义和性质、子代数和积代数、同态与同构； ②群论基础，包括群的定义与性质、阶和子群、群同态和同构、特殊类型群、陪集和拉格朗日定理、正规子群和商群； ③环、域、格和布尔代数，包括环和域的定义和性质、子环、理想、商环、环同态和同构、格的定义及性质、子格和格同态、特殊格、布尔代数。

3. 本书特色

（1） 应用性强。为了加强理论与实践的结合，本书每节都精心设计了应用示例，并使用Python编程语言进行实现，以便读者能够直观地看到数学概念如何转换为解决实际问题的工具。此外，每章末尾都提供了面向应用的案例，这些案例不仅可以帮助读者理解知识点，还展示了如何将理论应用于实践。

（2） 思政融入。通过在案例中融入思政要素，实现知识传授、能力培养和价值引领的有机结合。本书精选了一系列与国家发展、科技进步、社会管理等相关的案例，学生在学习离散数学的同时，能够建立其与各学科知识之间的联系，感受离散数学知识与生活生产、社会发展和国家建设等的紧密联系。本书鼓励学生将所学知识应用于实际问题的解决之中，如优化资源配置、提高生产效率、改善公共服务等，让学生在实践中体会离散数学的社会价值。

（3） 智能辅助。本书通过思维导图串联知识脉络，重点、难点一目了然；强调章节之间知识的连贯性。为了进一步辅助读者深入理解本书内容，实现自主化和个性化探索学习，本书引入了人工智能大模型Agent，其能够针对知识点、习题及探索性问题提供学习辅助，确保读者能够全面掌握并应用离散数学工具。

（4） 适合混合式教学。编者针对各个章节的重点、难点及习题精心准备了完整的微课视频、播客音频和学习指南，读者可进行自主学习，实现线上线下同步学习。本书还配套了教学PPT和Python代码等，读者可以下载相应的Python环境及配套代码，循序渐进地学习和应用离散数学知识。

编者由衷感谢湖南信息学院、大连海事大学、东北大学和大连理工大学的大力支持，感谢国防科技大学封孝生教授，湖南农业大学戴小鹏教授，邵阳学院谢兵教授，湖南信息学院戴林勋副教授、戴梅老师及湖南信息学院“离散数学”课程团队对于本书的持续支持和专业建议。由于编者水平有限，书中不足之处在所难免，诚挚地欢迎广大同行和读者提出宝贵的批评和建议。

谢鑫

2025年11月长沙

沐心·洞见空间