前言

数学思想方法，顾名思义，是数学的指导思想和普遍适用的方法。指导思想属于世界观范畴，普遍适用的方法属于方法论范畴，哲学既是世界观又是方法论，因而数学思想方法可以理解为数学的哲学，是数学的精华，是数学的一般规律，可以指导具体的数学发现、数学解题、数学证明、数学应用、数学研究。

纵观数学发展史，数学的发展存在两条主线，一条是数学知识的积累，另一条是数学思想方法的确立，二者存在密切联系。数学发展的历史已经证实： 一个人若想在数学上有所作为，不论是从事数学科研、数学教育教学，还是从事数学应用，仅掌握数学知识是不够的，还必须同时掌握数学思想方法。古人云： “授之以鱼，不如授之以渔”。如果把数学知识比作“鱼”，那么数学思想方法就是“渔”，可见其重要性！

我国高校普遍开设的数学课程有高等数学、线性代数、概率论与数理统计，对理工科专业一般还开设一些数学选修课，如复变函数、离散数学、组合数学、线性规划与组合优化、数值计算方法、矩阵分析等，所涉及的数学内容丰富多样，怎样把这些数学内容整合起来以提升综合数学能力？一个重要的方法就是提炼数学思想方法，用数学思想方法把数学知识串起来，达到融会贯通的境界，这也有助于将数学应用于解决实际问题。因此，数学思想方法的学习和运用对高校大学生而言十分重要。此外，科学技术是第一生产力，而数学是一切科学技术的基础，同时，由于数学的深刻性和超前性，数学也发挥着引领科技的作用，因此数学思想方法的掌握和运用对科学研究人员、工程技术人员也非常重要。

本书作者多年来在中山大学为本科生讲授数学思想方法课程，该课程是面向各专业本科生开设的公共选修课程(通识教育课程)。本书是在多年使用的讲义基础上修订完善而来的。

全书共8章。

第1章，探索和讨论“什么是数学”，同时介绍数学思想方法的概念、内容和作用，并对数学思想方法的哲学依据——逻辑学的相关基础知识进行简要介绍。

第2章，介绍古代数学成就及其思想方法。人类数学文化的源头在古埃及和古巴比伦，这两个文明古国历史最悠久，数学的发展也最早，因此对其数学进行介绍并分析其思想方法。古希腊数学崇尚逻辑推理和证明，《几何原本》是古希腊数学的代表性成就。中国古代的《九章算术》则是另一种注重计算和实际应用的数学，这两本著作对世界数学的发展影响巨大。本章详细介绍和讨论这两本著作的主要内容和思想方法。印度和阿拉伯是古希腊数学在东方的继承者和传播者，本章最后对其数学成就及思想方法进行介绍。

第3章，介绍近代数学成就及其思想方法。从17世纪初到19世纪末近300年的时间属于数学史的近代期，这一时期数学发展迅速，实现了由常量数学到变量数学的转变。本章列举近代数学的若干重大成就，并分析其思想方法。

第4章，介绍现代数学及其思想方法。现代数学以德国数学家康托尔在19世纪末创立集合论为起点。集合论的思想和概念渗透到大部分数学分支，成为现代数学的通用语言和严格的公共基础。20世纪上半叶，法国布尔巴基学派提出结构主义，认为数学研究的核心是结构，其成果很有启发性，促进了人类数学思想的进步。19世纪末以来，代数、分析、几何三大数学分支都各有突破，抽象代数、泛函分析、拓扑学相继创立并迅速发展，体现了数学的深刻变化，被称为现代数学的三大支柱。本章介绍这些内容并分析其思想方法。

第5章，介绍数学发现与数学解题的思想方法。数学发现与数学解题涉及建立数学概念、提出数学方法。本章介绍抽象法与概括法、数学观察法与数学实验法、归纳法、类比法与联想法、化归法。

第6章，介绍数学证明的思想方法，包括演绎法、构造法和其他思想方法。

第7章，介绍几种典型的数学应用方法，包括数学建模、数值计算方法、概率论与数理统计，并分析其思想方法。

第8章，介绍其他数学思想方法，包括分析法与综合法、一般化与特殊化。

本书注重数学思想方法阐述、推导和讨论的严谨性，同时也注重数学思想方法与实践的结合，每章均设有大量例题，章末的“问题研究”也颇具难度，需要进行资料查阅和深入思考才能完成。

本书参考和引用了许多出版物的论点和资料，除了书末列出的参考文献外，恕不一一列举，借此机会，向有关作者表示衷心的感谢。

国防科技大学张新建教授、中山大学黄海风教授、黄小红副教授审阅了书稿并提出许多有益的修改意见，在此向他们表示衷心的感谢。

感谢中山大学电子与通信工程学院的领导和同事在本书写作过程中给予的支持。

感谢清华大学出版社崔彤编辑在本书的编校工作中所提出的宝贵建议和付出的辛勤劳动。

虽然作者在本书的编撰过程中已力求精益求精，但由于时间仓促和水平有限，书中难免有疏漏和不足之处，恳请读者批评指正!

郭东亮

2025年3月