组 合 系 数
大部分现金流序列的实际情况都无法与第2章所推导的系数和公式完全吻合,这时就需要将这些公式组合起来进行计算。对于给定的现金流量序列,可以通过很多方法确定其等价现值P、等价终值F或者等价年值A. 本章将解释如何将工程经济系数组合起来以解决那些涉及时间偏移的等额序列和等差序列等更为复杂情形的问题,并用电子表格函数来提高计算速度。
学 习 目 标
3.1 偏移等额序列计算
当一个等额序列并非起始于第1期期末,则称其为偏移等额序列。在这种情况下,可以有很多种方法求其等价现值P。例如,图3-1所示等额序列的现值P可以通过下面任何一种方法来确定。
图3-1 偏移等额序列
3 组合系数工程经济学（第6版）
 用P/F系数计算每笔支出在第0年的现值,然后加总。
 用F/P系数计算每笔支出在第13年的终值,然后加总,并由公式P=F (P/F, i, 13）求出总现值。
 用F/A系数计算终值F=A(F/A,i,10),然后用公式P=F(P/F,i,13)求出现值。
 用P/A系数计算“现值”(第3年而非第0年),然后用（P/F, i,3）系数计算第0年现值(“现值”加引号表示现值是第3年的现值,有别于第0年的现值). 
通常用最后一种方法来计算发生起始点不在第1期期末的等额序列的现值。对于图3-1,利用P/A系数得到的“现值”位于第3年,如图3-2中的P3所示。要注意,P值总是位于第1笔现金流量发生之前的1年(或期)。这是为什么呢?因为P/A系数是根据P位于第0期而A起始于第1期期末推导出来的。解决这类问题时最常犯的错误就是P的定位不恰当。因此,必须记住以下规则。
图3-2 偏移等额序列现值的位置
 (1)  当使用P/A系数时,现值总是位于等额序列第一笔现金流量的前一期。
若要计算终值F,回想2.3节中得到的F/A系数中的F值位于等额序列最后一笔现金流量相同位置。图3-3显示了用F/A系数求图3-1中现金流的终值位置。
图3-3 偏移等额序列F的位置和n的重新编号
 (2)  当使用F/A系数时,终值总是位于等额序列最后一笔现金流量的相同位置。
在P/A或F/A系数中期数n等于等额序列现金流量的笔数,这一点很重要。将现金流图重新编号对避免计算错误很有帮助。图3-3表示将图3-1的现金流图重新编号后得到n=10. 
正如上面所述,有很多种方法可以用于解决涉及偏移等额序列的问题。然而,使用等额序列系数通常比使用一次支付系数更简单。为避免错误,应遵循下列步骤。
 (1)  画出收入与支出现金流图。
 (2)  在现金流图上标出各序列的现值和终值。
 (3)  重新对现金流图编号,以确定n. 
 (4)  画出所要求的等价现金流图。
 (5)  建立并且求解方程。
下面将举例说明这些步骤。
例3.1 某工程技术公司刚刚购买了一套新的CAD软件,现在需要支付5000美元,从第3年开始还要连续6年每年支付500美元用于软件升级。若年利率为8%,求此项投资的现值是多少?
解 现金流图如图3-4所示。在本章中用符号PA表示等额年金序列A的现值,P′A表示非第0期的现值。同样,用PT代表第0期的总现值。图中也标注了P′A的正确位置及n的重新编号。注意对P/A系数而言,P′A位于第2年而非第3年,n=6而非8。首先计算偏移序列的P′A值：P′A=500 (P/A,8%,6)   因为P′A位于第2年,现在计算位于第0年的PA: 
PA=P′A (P/F, 8%, 2) 
PA与期初支付额P0相加得出总现值图3-4 例3.1中现金流图P值的位置    
PT=P0+PA
=5000+500 (P/A, 8%, 6)  (P/F, 8%, 2) 
=5000+500×4.6229×0.8573
=6981.60(美元)  现金流序列越复杂,电子表格函数就越有用。当等额序列A带有时间轴偏移时,NPV函数可用来求P值,PMT可用来求等价年值A。就像PV函数一样,NPV函数可以用来求P值,但是NPV函数还可以如同IRR函数一样,能够直接处理任何输入于单元格中的现金流量组合。可在相邻的单元格(纵列或者横行)中输入净现金流量,要确保零现金流量输入“0" ,然后使用以下格式：  NPV (i,second_cell: last_cell)+first_cell为使NPV函数正确计算出资金的时间价值,first_cell中应输入第0年的现金流量并单独列出。第0年的现金流量可以为0. 
求偏移等额序列n年的等价A值的最简单方法是使用PMT函数,这里的P值来自上面的NPV函数。其使用格式就像我们前面学的一样,但是P值的输入是一个单元格引用,不是数值。其使用格式为  PMT(i,n,cell_with_P,F)另外,也可以引用使用FV函数求得的F值,只需将PMT最后一个输入设为“cell_with_F”即可。
电子表格函数的输入参数本身也可以是一个函数。所以通过嵌入NPV函数(或者FV函数,如果需要的话)可以在单一的单元格中运用PMT函数。其使用格式为  PMT(i,n,NPV(i,second_cell: last_cell)+first_cell,F)当然,通过两个或单一单元格运算得到的A值结果是一致的。下面举例说明这些函数的应用。
例3.2 精确测量仪的校正每年要花费8000美元。如果从购买后的第3年开始,连续6年每年必须校正一次。当年利率为16%时,计算这8年等价等额序列。分别用手算和计算机求解。
手算解答 图3-5(a)和（b）分别表示原始现金流图和所要求解的等价现金流图。为了将8000美元的偏移等额序列转换成覆盖各周期的等价等额序列,首先需将等额序列转换成现值或终值,然后可以相应地用A/P或A/F系数算出等价年金值。这里将两种方法一并介绍。
图3-5 例3.2图    
(a) 原始的现金流图； (b) 等价的现金流图； (c) 用电子表格函数计算P和A      
 (1)  现值方法(见图3-5 (a) )
计算偏移等额序列在第2年的P′A和在第0年的PT:  P′A=8000(P/A,16%,6)
PT=P′A(P/F,16%,2)=8000(P/A,16%,6)(P/F,16%, 2)
 =8000×3.6847×0.7432=21907.75(美元)  则8年等价等额序列A′现在可通过A/P系数来确定。
 (2)  终值方法(见图3-5 (b) )
首先计算在第8年的终值F:  
F=8000(F/A,16%,6)=71820(美元)
  然后可以用A/F系数获得覆盖8年的A′值：A′=F(A/F,16%,8)=5043.20(美元)  计算机解答 如图3-5 (c)所示，将现金流量输入B3～B11单元格,其中前三个输入“0" 。在单元格D5中输入NPV(16%,B4∶B11)+B3就可得出P值为21906.87美元。
有两种方法可以求得8年的等价A值,按任何一种方法输入PMT函数即可。可以在PMT函数中输入NPV函数计算结果的单元格引用(见单元格E/F5的说明)；或者将NPV函数嵌入PMT函数(见单元格E/F8的说明). 
3.2 涉及等额序列和随机位置单笔金额的计算
当现金流中既包含有等额序列,又包含有随机位置的单笔金额时,可将3.1节的步骤用于等额序列的计算,而一次支付公式可用于其他单笔金额的计算。这种计算方法,实际上是前面所介绍方法的组合应用,例3.3和例3.4中对此进行了说明。若要使用电子表格解法,在使用NPV和其他函数之前必须输入净现金流量。
例3.3 怀俄明州的某家拥有50公顷土地的工程公司决定向一家采矿公司出租土地的开采权。初步打算是获得长期收入,从而为第6年和第16年的项目提供资金。这家工程公司给采矿公司提出付款计划方案： 采矿公司从第1年开始每年付20000美元,共付20年；另外,在第6年支付10000美元,在第16年支付15000美元。如果采矿公司想立即一次付清租金,它现在应该支付多少钱？假设年利率为16%. 
解 图3-6为工程公司所期望的现金流图。先求出20年等额序列的现值,再与两个一次性支付金额的现值相加，有P=20000 (P/A, 16%, 20) +10000 (P/F, 16%, 6) 
+15000 (P/F, 16%, 16) 
=124075(美元)图3-6 例3.3中包含等额序列和单笔金额的现金流图    
  注意,20000美元的等额序列从第1年年末开始,所以P/A系数确定的现值为第0年的现值。
对于涉及随机位置单笔金额和等额的现金流量序列,当计算A值时,可首先将所有的现金流量转换成现值P或者终值F,然后将P或者F与相应的A/P系数或者A/F系数相乘即可求得A。例3.4说明了这一计算过程。
例3.4 假设与前例(例3.3)中工程公司出租开采权计划相似的现金流,但将每年20000美元的序列开始年份向前移动两年,即在第3年开始支付并持续到第22年。通过手算和计算机方式,运用工程经济学关系在年回报率为16%的情况下,求解下列5个等价问题： 
 (1)  在第0年的总现值PT. 
 (2)  在第22年年末的终值F. 
 (3)  22年的等年值序列。
 (4)  前10年的等年值序列。
 (5)  最后12年的等年值序列。
手算解答 图3-7标出了等价的P和F现金流量,显示了使用P/A、P/F和F/A系数时正确的年数。
图3-7 将图3-6现金流图中的等额年值A序列向前移动两年 
 (1)  首先求第2年年末的现值。然后,总现值PT为以下三个P值之和： 用P/F系数确定的第0年的现值,在第6年和第16年两个单笔金额在第0年的P值。计算式为P′A=20000(P/A,16%,20)
PT=P′A(P/F,16%,2)+10000(P/F,16%,6)+15000(P/F,16%,16)
=20000(P/A,16%,20)(P/F,16%,2)+10000(P/F,16%,6)
+15000(P/F,16%,16)
=93625(美元)(3.1)  (2) 为了从原始现金流(图3-7)中确定在第22年的终值F,可先计算出20年等额序列的F值再加上两个单笔金额的终值F。注意求两笔金额的n值分别如下：  10000美元为n=22-6=16,15000美元为n=22-16=6。则有F=20000 (F/A, 16%, 20) +10000 (F/P, 16%, 16) +15000 (F/P, 16%, 6) 
=2451626（美元）(3.2)   (3)  将题(1)中计算出的现值PT乘以22年的A/P系数来确定22年的等价年值序列,记为A1-22: A1-22=PT (A/P, 16%, 22) =93625×0.16635=15575(美元)(3.3)  另外,利用题(2)计算出的F值也可以求出22年的等额序列,即A1-22=F(A/F,16%,22)=15575美元。注意,在这两种方法中,首先应确定等价的P或者F的值,然后应用22年的A/P或者A/F系数。
(4) 本题和下面的题(5)都是在工程经济中经常发生的特殊情况,需要计算与原始现金流年数不同的等价年值A序列,一般发生在研究周期或计划周期预先设定的情况下。(下文还会涉及更多的研究周期问题)为了确定从第1年至第10年的等价A序列(记作A1-10),需要先计算PT值和n=10时的A/P系数,然后把图3-7所示的原始现金流量转换成图3-8 (a)中的等价等额序列A1-10:  
   A1-10=PT(A/P,16%,10)=93625×0.20690=19371(美元)(3.4)
图3-8 将图3-7中的现金流转换成(a)从第1年至第10年的等价
等额序列和(b)从第11年至第22年的等价等额序列
   (5)  要计算从第11年至第22年等价的12年序列(记作A11-22),需要先计算F值和年数n=12的A/F系数。这就将图3-7转换成图3-8 (b）中12年的序列A11-22: A11-22=F(A/F,16%,12)=2451626×0.03241
=79457(美元)(3.5)1.12节
  
全局变量
  
附录A  注意,题(5)与题(4)计算出的等价年值相差了60000美元之多,这再次说明了资金的时间价值。
计算机解答 图3-9中的电子表格包含上面5个问题的答案。20000美元序列和两个单笔金额已经输入到各自的纵列中(B和C). 0现金流量也已经输入以保证函数的正确性。这个例题很好地说明了NPV, FV及PMT函数的多种用途。为了进行敏感性分析,这些函数的参数以单元格引用或者全局变量输入,如说明标签所示。这意味着任何一个数值--利率、序列或者单笔金额现金流量,以及22年内的时间变量,都可以随时更改并能够立即显示新的答案。这是在电子表格中进行工程经济敏感性分析的通用表格的结构方式。
图3-9 例3.4使用单元格引用格式的电子表格
 (1)  在E6和E10单元格中分别用NPV函数确定等额序列和单笔金额的现值,在E14中求和得出PT=93622,对应于式(3.1)的值。
(2) 在E18单元格中FV函数使用E14中的P值(前面加了负号)来求22年后的F值。这明显比式(3.2)中先分别确定各个F值再把它们相加得出F=2451626美元要简单得多。当然,这两种计算方法都是正确的。
(3) 为了算出从第1年开始年值为15574美元的22年等额序列,E21单元格中PMT函数引用了E14中的P值。这实际上与式(3.3)中得出A1-22的步骤一样。
对于喜欢使用电子表格的人来说,通过使用嵌入NPV函数的PMT函数可以直接在单元格E21中计算出22年的等额序列年值,其单元格引用格式为PMT(D1,22,-(NPV(D1,B6:  B27)+B5+NPV(D1,C6:  C27)+C5))(4),  (5)  如果序列开始于P值后面的一个周期,或者结束于与F值相同的周期,用电子表格可以非常方便地计算出任何周期段上的等价等额序列。这两题中要求的序列都符合这些条件--前10年序列可以使用单元格E14中的P值,最后12年序列可以使用单元格E24中的F值,而计算结果E24和E27则分别对应式(3.4)和式(3.5)中的A1-10,A11-22. 
评论 应注意,当比较手算和计算机计算的结果时会出现四舍五入造成的差异。运算中,电子表格函数计算出的数值比复利表中查到的数值有更多的小数位数。当建构电子表格函数时应该小心,因为在这过程中很容易输入错误,例如在建构FV函数时漏掉P或者F,或者丢掉负号等。在按Enter键之前一定要仔细检查你的函数输入。
附加例题请见例3.10. 
3.3 偏移等差或等比序列的计算
在2.5节中,我们导出了关系式P=G(P/G,i,n)来计算等差序列的现值。式(2.15)中的P/G系数用于求解等差额起始于周期1和2之间的等差序列在第0年的现值。
等差序列的现值总是位于其等差额开始的前两个周期。
可参照图2-13中的现金流量图来说明。
关系式A=G(A/G,i,n)也是在2.5节推导出的。式(2.17)中的A/G系数把等差序列等价转换到从第1年到n年的等额年值A序列,如图2-14所示。回想一下,当存在基础金额时,必须把它和等差序列分开计算,然后根据式(2.18)和式(2.19)将其等价P值或A值求和得出总现值PT和总年值序列AT. 
常规等差序列的等差额起始于第1和第2周期之间。等差额开始于任何其他时间的等差序列被称为偏移等差序列。
偏移等差序列P/G系数和A/G系数中的n值可通过对时间轴重新编号来确定。等差额第一次出现的周期被标定为第2周期,最后一个出现等差额的周期的新编号便是n. 
将等差序列从总现金流序列中分解出来单独考察可以更容易确定n值。例3.5中对分解方法有所说明。
例3.5 Gerri是Fujitsu公司的一名工程师,8年来他一直跟踪记录一个机器人生产线的平均检测成本。前4年平均成本保持在每单位100美元,但是后4年每年都比上一年每单位增加50美元。Gerri打算用P/G系数分析该等差序列。该等差序列的现值应该位于哪个周期?试给出计算第0年总现值的一般关系式。
解 Gerri画出如图3-10(a)所示的现金流图。从图中可看出基础金额为A=100美元,开始于周期4和5之间的等差额为G=50美元。
图3-10 例3.5分解后的现金流图,(a)=(b)+(c)（单位： 美元）
图3-10(b)和(c)分别是分解后的两个分量序列。从图3-10(c)中可以看出等差额开始的年度2也就是原始序列的第5年,很明显其P/G系数中的n=5. PG=?的箭头被正确定位在等差序列的第0年,即原始现金流量序列的第3年。
由式(2.18)可得到PT的一般关系式。等额序列A=100美元持续了8年,而G=50美元的等差序列的现值位于第3年，则