第1章 模糊数学导论
1.1 不确定性与模糊性
1.1.1 不确定性普遍存在  
根据大家的经验和知识，不难得出这样的结论： 不确定性普遍存在！全球经济是不确定的，社会对本专业大学生的需求是不确定的，股市的涨跌具有不确定性，房价能否下降具有不确定性，接下来的这个时段城区的交通是否拥堵具有不确定性，明天的天气状况具有不确定性；大家对你是否是帅哥（靓女）的评判具有不确定性（帅哥、靓女的标准因人而异，不能给出一个确切的结论，情人眼里出西施），这本教材是否优秀也是不确定的（什么是优秀？没有一个精确的尺度），等等. 
正因为不确定性的普遍存在，它成为许多学科领域的研究对象，维基百科（Wikipedia）是这样介绍uncertainty（不确定性）的： Uncertainty is a term used in subtly different ways in a number of fields, including physics, philosophy, statistics, economics, finance, insurance, psychology, sociology, engineering, and information science（不确定性是这样一个术语，它被多个领域以微妙的不同方式所使用，包括物理学、哲学、统计学、经济学、金融、保险、心理学、社会学、工程及信息科学）. 
在物理学中，有著名的“不确定性原理”，是由德国物理学家海森堡于1927年提出的量子力学中的不确定性，具体指在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定. 对“不确定性原理”可从数学的角度给出通俗化描述，有兴趣的读者可参阅“不确定性原理的前世今生·数学篇”（可浏览网站http://blog.farmostwood.net) . 
在经济学中，有“不确定性经济学”，它是西方经济学大家族中派生出来的交叉学科和边缘学派. 1921年，弗兰克·奈特（Frank Knight）正式将不确定性概念引入经济学的理论殿堂中. 对不确定性的分析和认识，同时也是新兴学科“信息经济学”的基本内容，杰克·赫什雷弗（J. Hirshleifer）说过： 信息经济学是经济不确定性理论自然发展的结果. 
“不确定性”同样是数学科学研究的重要对象，大家熟知的概率论就是一门研究不确定性的数学理论. 除此之外，20世纪下半叶以来，人们对不确定性现象、不确定性问题、不确定性信息等从不同角度进行了大量分析和研究，发展了多种不同的数学理论（可以统称为不确定性数学理论），模糊数学、粗糙集（rough sets）理论就是其中的典型代表. 
1.1.2 模糊性是不确定性的一个重要方面
由于事物类属划分的不分明而引起的判断上的不确定性，称为模糊性（fuzziness) ，它是不确定性的一种重要表现形式. 
模糊性是客观事物之间难以用分明的界限加以区分的性质，它产生于人们对客观事物的识别和分类之时，并反映在概念之中. 外延分明的概念，称为分明概念；外延不分明的概念，称为模糊概念. 在人类一般语言以及科学技术语言中，都大量地存在着模糊概念，例如，高与矮、胖与瘦、美与丑、清洁与污染、健康与不健康，等等. 健康人与不健康的人之间没有明确的划分，当判断某人是否属于“健康人”的时候，便可能没有确定的答案，这就是模糊性. 当一个概念不能用一个分明的集合来表达其外延的时候，便有某些对象在概念的正反两面之间处于亦此亦彼的形态，它们的类属划分便不分明了，呈现出模糊性，所以模糊性也就是概念外延的不分明性、事物对概念归属的亦此亦彼性. 
传统数学以康托尔集合论为基础，集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类的数学方法. 康托尔集合（也称经典集合）要求其分类必须遵从排中律，对于某个集合A，论域（即所考虑的对象的全体）中的任一元素要么属于集合A，要么不属于集合A, 两者必居其一，且仅居其一. 经典集合只能描述外延分明的“分明概念”，只能表现“非此即彼”，而不能描述和反映外延不分明的“模糊概念”. 为了克服经典集合的不足，1965年美国控制论专家L.A. Zadeh发表了著名论文《Fuzzy Sets》（模糊集），这标志着模糊数学的诞生. 
1.2 模糊集与模糊数学概述
1.2.1 模糊集是科学发展的必然产物
长期以来,人们一直把模糊看成贬义词，只对精密与严格充满敬意. 计算机是在精确科学的沃土中培育起来的一朵奇葩，计算机解决问题的高速度和高精度，是人脑望尘莫及的. 有了计算机，精确方法的可行性大大提高了. 但是也正是在使用计算机的实践中，人们认识到人脑具有远胜于计算机的许多能力，人们更深刻地理解了精确性的局限，促进了人们对其对立面或者说它的“另一半”--模糊性的研究. 
人脑能接受和处理模糊信息，能依据少量的模糊信息对事物做出足够准确的识别、判断和推理，能灵活机动地解决复杂的模糊性问题. 凭借这种能力，司机可以驱车安全穿越闹市， 医生可以依据病人的症状所提供的模糊信息进行准确诊断，画家不用精确的测量计算可以画出栩栩如生的风景和人物，儿童可以辨认潦草的字迹、听懂不完整的言语，甚至婴儿也可以迅速地从人群中识别出自己的妈妈. 而这一切都是以精确制胜的计算机所望尘莫及的，下面这张图片(图1-1)耐人寻味.  
图1-1 机器智能（和机器人聊天，总有个时候你会忍不住说“你真笨”) 
在围绕决策、控制及相关系列重要问题的研究中，从应用传统数学方法和现代电子计算机解决这类问题的成败得失中，使Zadeh逐步意识到传统数学方法的局限性. 他指出： “如果深入研究人类的认识过程，我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱. 这一点，是理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键. ”精确的概念可以用通常的集合来描述，模糊概念应该用相应的模糊集合来描述. Zadeh抓住这一点，首先在模糊集的定量描述上取得突破，奠定了模糊性理论及其应用的基础. 
1.2.2 隶属函数与模糊集
模糊概念的外延是不明确的，其边界是不清晰的，要表达模糊概念就不能用经典集合了. 比如，对于“年轻人”这个概念，假定用“年轻人的集合”来表达，若要判断20岁的张三或80岁的李四是否属于“年轻人的集合”，答案自然是明确的！但要判断36岁左右的人是否属于“年轻人的集合”，就不那么好确定了；对于一个实际年龄不超过36岁而又没有几根头发的人，就更难确定是否属于“年轻人的集合”了. 
在许多场合，是与不是，属于与非属于之间的区别不是突变的，而是有一个边缘地带、量变的过渡过程. 很自然地会提出疑问： 为什么要把自己局限于只考虑“属于”、“不属于”两种极端情况？如果分别用1、0表示“属于”、“不属于”，称为元素属于集合的隶属度. 上述问题就表示成： 为什么非要规定隶属度只取0、1两个值呢？就是说，一个对象是否属于某个集合，不能简单地用“是”或“否”来回答. Zadeh正是创造性地允许隶属度可取0、1之间的其他实数值，从而用隶属函数来表示模糊概念.
例如，设A表示“年轻人的集合”，则年龄0～25之间的人自然认为是属于A的，即隶属度为1；年龄25岁以上的人（假设用x表示其年龄），可以认为是以一定的“程度”属于A的，这个“程度”用A(x)表示. 这样，“年轻人的集合”A，可以用定义在年龄论域X=\上的函数（称为隶属函数或成员函数，membership function）来表示，例如：A(x)=1, 0≤x≤25,
1+x-2552〗-1, 25<x≤150.用Maple软件可绘制此函数的图像，见图1-2，从中可直观地看到，它与人们对“年轻人”的理解大致是相符的. 
图1-2 用隶属函数表示“年轻人的集合”A
1.2.3 什么是模糊数学
模糊数学（fuzzy mathematics）是一个新兴的数学分支，它并非“模糊”的数学，而是研究模糊现象、利用模糊信息的不确定性数学理论. 模糊数学的目标是仿效人脑的模糊思维，为解决各种实际问题（特别是有人干预的复杂系统的处理问题）提供有效的思路和方法. 
模糊数学的核心是模糊集合，因而也被称为“模糊集理论”. 从纯数学角度看，集合概念的扩充使许多数学分支都增添了新的内容，从而形成了模糊拓扑学、不分明线性空间、模糊代数学、模糊逻辑学、模糊分析学、模糊测度与模糊积分、模糊图论、模糊概率统计、模糊线性规划与模糊优化等众多研究方向.  
维基百科是这样介绍模糊数学的： Fuzzy mathematics forms a branch of mathematics related to fuzzy set theory and fuzzy logic（模糊数学是一门与模糊集合论和模糊逻辑相关的数学分支）. 
模糊数学已广泛应用于自动控制、医疗诊断、系统分析、人工智能、信息处理、模式识别、地质勘探、气象预报和管理决策，甚至那些与数学毫不相关或关系不大的学科，如生物学、心理学和语言学等. 
由于其研究内容越来越深入、应用越来越广泛，模糊数学远远超出了数学的范围，故又常被称为“模糊理论”. 又由于模糊数学的应用突出体现在控制系统中，因而也常被称为“模糊系统理论”. 另外，模糊数学的思想冲破了经典二值逻辑的范畴，因此模糊逻辑（fuzzy logic）常被作为模糊数学的代名词. 关于这些名称，Zadeh在文献\中指出：从狭义上说，模糊逻辑是一个逻辑系统，它是多值逻辑的一个推广且作为近似推理的基础；从广义上说，模糊逻辑是一个更广的理论，它与“模糊集理论”是模糊的同义语，即没有明确边界的类的理论.  
模糊数学、模糊集理论、模糊理论、模糊系统理论、模糊逻辑，所有这些概念，已很难给出一个明确的界定. 当然，这也说明了“模糊概念”、“模糊现象”的确无处不在！
1.2.4 模糊数学与概率论的比较
随机性和模糊性都是对事物不确定性的描述，但二者是有区别的. Zadeh在其开创性论文《Fuzzy Sets》中说： 应该注意，虽然模糊集的隶属函数与概率函数有些相似，但它们之间存在着本质的区别. 模糊集的概念根本不是统计学的概念. 
概率论研究和处理随机现象，所研究的事件本身有着明确的含意，只是由于条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现决定性的因果关系，这种在事件的出现与否上表现出的不确定性称为随机性. 而模糊数学研究和处理模糊现象，所研究的事物其概念本身是模糊的，模糊性是由于概念外延的不清晰而造成的不确定性. 
图1-3 模糊性与随机性
（带有标签K与M的两瓶液体）
下面的例子直观地说明了随机性和模糊性的区别（图1-3取自http://www.neuronet.pitt. edu/～bogdan/research/fuzzy/fvsp/fvsp.html) :  假如你不幸在沙漠中迷了路,而且几天没喝过水，这时你见到两瓶液体，其中一瓶贴有标签K:  “是纯净水的程度为0.91" ，另一瓶标有标签M:  “是纯净水的概率为0.91" . 你选哪一瓶呢？相信会是前者. 因为前者的水虽然不太干净，但不会是有毒液体，这里的0.91表明的是纯净程度而非“是不是纯净水”；而后者则表明有9%的可能不是纯净水，换句话说，或许是有毒液体. 
当然，学术界对模糊性与随机性之间关系的研究、争论，从模糊集理论产生开始就没有间断过，近来又有两种新的研究倾向（参阅文献\) :  一是将模糊集与概率论紧密结合，以期建立综合发挥其各自优势的更有效的不确定性数学方法；二是从新的层面或新的角度将模糊集与概率论统一起来，以期用一套理论体系给出模糊和概率的两种语义解释. 
1.3 模糊逻辑与模糊推理入门1.3.1 秃头悖论  1.3 模糊逻辑与模糊推理入门精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，它要求对每个命题做出要么真、要么假的非此即彼的明确判断，这是适合于处理清晰概念和命题的逻辑模式. 当把经典的二值逻辑用于处理模糊概念和模糊命题（含有模糊概念的命题）时，将会在理论上导致逻辑悖论. 
秃头显然是个模糊概念，日常生活中，某人是否秃头，不论成人还是儿童都能轻而易举地做出恰当的判断(见图1-4)，因为人脑拥有接受和处理模糊信息的能力. 图1-4 秃头悖论
若用精确方法来处理秃头问题会发生什么情况呢? 
首先我们都同意以下两条公设：
(1) 存在秃头的人和非秃头的人. 
(2) 若有n根头发的人秃，则有n+1根头发的人亦秃. 
若用经典的逻辑推理方法，由上述公设便会导致秃头悖论： 所有人都秃. 因为: (i) n=0的人显然是秃头；(ii) 假定n=k的人是秃头，由公设(2), n=k+1的人也是秃头. 于是由数学归纳法原理知，对于任意的自然数n≥0，有n根头发的人都是秃头. 从而，所有人都秃. 
秃头悖论出现的原因在于，数学归纳法是以通常集合论为基础的推理方法，而秃头是个模糊概念，这里把基于通常集合论的推理方法强行用于模糊概念，换句话说，是把一个经典的二值逻辑的推理，运用到二值逻辑所不能施行的判断上去，从而导致悖论的产生. 
从头发的根数来区分秃与不秃，其绝对的界限是没有的. 但量的变化包含着质的变化，在头发根数的加1与减1的微小量变之中已经蕴涵着质的差别，而这种差别只简单地用“是”与“非”这两个字是绝对不能刻画出来的. 
类似的悖论是很多的，例如：
朋友悖论 设命题A=“刚结识的朋友是新朋友”，命题B=“新朋友过一秒钟还是新朋友”，从常识看显然都是真命题. 但若以A和B为前提，反复运用精确推理规则进行推理，将会得出命题C=“新朋友过100年还是新朋友”. 这显然为假命题. 
年龄悖论 由显然为真的两个命题A= "20岁的人是年轻人”和B=“比年轻人早生一天的人还是年轻人”出发，可以推出显然为假的命题C= "100岁老翁也是年轻人”. 
身高悖论 以真命题A=“身高2m者为高个子”和B=“比高个子矮1mm者仍是高个子”为前提，可以推出显然为假的命题C=“侏儒也是高个子”. 
饥饱悖论 从真命题A= "3日未食者是饥饿者”和B=“比饥饿者多食一粒米者仍是饥饿者”出发，可以推出假命题C=“一个饥饿者日食3斤米仍是饥饿者”.
……
1.3.2 模糊逻辑简介
秃头悖论是古希腊学者早已发现的逻辑矛盾. 在那个时代，这种悖论不会对科学技术的发展产生什么影响，尽可以留给逻辑学家们去争论. 但是在现代社会中，科学研究和生产活动的深度和广度都极大地发展了，大量的模糊性问题摆在人们面前要求做出处理，从理论上克服这些悖论，从技术上提出解决模糊性问题的方案，这都是不能再回避的了. 于是，冲破传统逻辑的框架，建立适合于描述和处理模糊性问题的逻辑体系，就变得刻不容缓，模糊逻辑逐渐成为学术界的研究热点. 
二值逻辑是把“真”与“假”, “是”与“非”绝对化，只允许有1和0两个值. “秃头悖论”的谜底告诉我们，对于含有模糊概念的命题，仅用1和0两个逻辑值是不够的，必须在1与0之间采用其他中间过渡的逻辑值来表示不同真的程度. 比如逻辑值可以为0.7，表示一个命题三七开，七分真三分假，其真的程度是0.7. 这样，模糊逻辑将二值逻辑中命题的真值域{0,1}扩充为\. 
用数学的方法研究命题之间的关系、推理、证明等问题的学科叫做数理逻辑，也叫做符号逻辑. 数理逻辑的特点在于用符号去表示命题，比如用A,B等表示命题，它们既可以是真命题也可以是假命题；再引入逻辑连接词，表示“并非”，分别用逻辑连接词∧、∨与→表示“并且”、“或者”与“蕴涵”，这样就可以借助上述连接词去表达各种复杂命题了. 例如，用A表示命题“x是自然数”，用B表示命题“2x是偶数”，则A→B表示命题“如果x是自然数，那么2x 是偶数”. 
在经典逻辑中，可以根据命题A、B的真值简单地得到命题A、A∧B、A∨B及A→B的真值，即表1-1（表中1表示“真”、0表示“假”) .表1-1 经典逻辑真值表
AA0110∧01000101∨01001111→01011101  一个自然的问题是： 在模糊逻辑中，如果已知模糊命题A,B的真值（它们均是\中的实数），那么命题A、A∧B、A∨B及A→B的真值如何计算呢？有没有相应的计算公式？由于真值域从{0,1}变为\，上述问题变得异常复杂，这是模糊逻辑的研究课题，我们将在第2章中详细介绍. 
1.3.3 模糊推理概说
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科. 经典逻辑的推理（规则）常用的是假言推理、三段论推理. 肯定前件的假言推理规则英文称为MP (modus ponens）规则，或称为分离规则：大前提若x是A,则y是B.
小前提x是A结论       y是B.  作为传统的假言推理的发展和扩充，基于模糊逻辑的推理（模糊推理）的基本形式也有相应的肯定前件式推理（称为GMP) :   前提1若x是A, 则y是B.
前提2x是A′结论       y是B′.  注意： 在上述模糊假言推理模式中，由于涉及模糊概念，所以“前提2”中用A′表示与A比较接近的模糊前提，推理结果是与B接近的B′. 比如下面的推理过程：前提1如果小轿车在行驶中方向盘明显抖动，则多半是轮胎没气了. 
前提2当方向盘有抖动（但不明显）, 结论        则驾驶员往往会考虑“是否轮胎充气不足”.   以上是模糊推理（又称为近似推理）的基本形式，它只是逻辑结构形式，如何对其进行推理计算（包括其中的模糊概念如何用模糊集表示、如何用模糊蕴涵算子表示“前提1" 、如何由“前提1”及“前提2”计算出模糊结果，等等），这需要认真加以分析和研究，我们将在第2章中详细介绍. 
事实上，模糊数学在智能控制、机器人等领域的应用，本质就是模糊推理的应用，即将经验知识表达成模糊规则图1-5 移动机器人示意图
（具有A→B的形式）、用模糊集表达其中的模糊语言变量、选择恰当的模糊蕴涵算子及模糊假言推理方法，依据系统的输入计算出输出，以控制对象按期望的目标方向运动. 例如，考虑移动机器人的避障控制问题，移动机器人系统的结构如图1-5所示\. 移动机器人由两个独立的驱动轮、一个速度里程表、六个探测障碍物的超声波传感器（正前方、左方、右方各两个）和一个目标传感器组成. 控制系统的输入是超声波传感器的距离信息、机器人当前的运动速度和目标的方向信息，输出是移动机器人的左右轮加速度的信息. 
机器人的避障控制，是依据障碍物位置、目标位置的传感器信息和机器人当前运动速度来给出到达目标的策略. 当探测到障碍物接近机器人时，机器人将改变运动轨迹，以避免碰撞. 机器人转向的基本原则是： 当探测到机器人左（右）和前方出现障碍物时，机器人应即时转向右（左）方向. 机器人转向的改变是靠左右轮速度的改变来控制的，并且速度的改变还能有效控制机器人运动的时效性. 根据不同的机器人轨迹图和目标方位，可以制定一系列的模糊规则，例如：
如果左方和前方距离远、右方障碍物远、目标位置在右前方、当前速度慢，那么左轮加速度正大、右轮加速度正小；
如果左方和前方距离远、右方障碍物远、目标位置在右前方、当前速度快，那么左轮加速度取零、右轮加速度负小；
如果左方和前方距离远、右方障碍物近、目标位置在右前方、当前速度慢，那么左轮加速度负小、右轮加速度取零；
如果左方和前方距离远、右方障碍物近、目标位置在右前方、当前速度快，那么左轮加速度负大、右轮加速度负小；
……
图1-6所示为基于模糊推理的移动机器人避障控制仿真结果. 
图1-6 移动机器人避障仿真
1.3.4 倒立摆

图1-7 倒立摆示意图
一个游戏： 给你一支铅笔，你能让它笔尖向下立在手指上吗？试试看，这是一件非常困难的事，比用手指顶起一支长竹竿难得多.  
杂技中的顶竿表演： 一个演员在肩膀（或头）上顶着一根碗口粗的长竹竿，另一个演员在竹竿上面表演各种惊险的杂技动作，此时下面的演员不停地来回移动身体，以保持竹竿的平衡. 
倒立摆与上面的情境相似，倒立摆是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案. 图1-7是倒立摆系统的一个简单模型，它由倒立着的“摆”、“小车”和“驱动装置”组成，当“摆”直立时为系统的平衡状态. 显然，当“驱动装置”没有对小车施加任何力的作用时， 这个系统是不稳定的，即“摆”将向两边倒下. 
倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，图1-8 空间四级倒立摆从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围. 
三级、四级倒立摆是由一、二级倒立摆演绎而来，其实物系统控制的实现是公认的难题. 2002年8月，著名模糊理论专家李洪兴教授（现在大连理工大学工作）领导的复杂系统智能控制实验室，采用变论域自适应模糊控制在国际上首次成功实现了直线（二维）四级倒立摆的实物系统控制；2010年6月，李洪兴教授领导的科研团队又成功实现了空间四级倒立摆的实物系统控制，如图1-8所示. 
通俗地讲，二级倒立摆是在一个平面上运动的倒立摆，而空间倒立摆则是实现了左、右、前、后以及任何方向运动的倒立摆. 空间四级倒立摆的实物系统控制，是具有极大挑战性的世界性难题，李洪兴教授的上述成果达到了世界领先水平，也充分说明了模糊数学理论具有重要的应用价值.  
1.4 模糊数学发展历程回顾1.4.1 萌芽及初创时期  1.4 模糊数学发展历程回顾对模糊性的讨论，可以追溯得很早. 20世纪的大哲学家罗素（B. Russel）在1923年一篇题为《含糊性》 (Vagueness）的论文里专门论述过我们今天称之为“模糊性”的问题（严格地说，两者稍有区别），并且明确指出： “认为模糊知识必定是靠不住的，这种看法是大错特错的. ”尽管罗素声名显赫，但这篇发表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣. 这并非是问题不重要，也不是因为文章写得不深刻，而是“时候未到”，罗素精辟的观点是超前的. 
计算机的问世，为科学技术带来一场革命性变化；同时，也促使人们对人脑与机器进行比较研究. 计算机的缺点是： 不能像人脑思维那样灵活、敏捷地处理模糊信息，究其原因，它是基于二值逻辑的、与之相适应的是康托尔集合论. L.A. Zadeh正是深刻地认识到这一点，于1965年创造性地提出模糊集合的概念，为模糊数学的发展奠定了基础. 
自模糊数学诞生之日起，它就一直处于各派的激烈争论之中. 一些学者认为“模糊化”与基本的科学原则相违背. 最大的挑战来自于统计和概率论领域的数学家们，他们认为概率论已足以描述不确定性，而且任何模糊理论可以解决的问题，概率论也都可以解决得一样好或更好. 由于模糊数学理论在初期没有实际应用，所以它很难击败上述这种纯哲学观点的质疑. 当时几乎世界上所有的大型研究机构都未将模糊理论作为一个重要的研究领域. 
1.4.2 确立地位时期--在工业控制与家电中的成功应用
20世纪70年代到90年代初，模糊理论逐步确立了其在科学技术领域的一席之地. 1973年Zadeh发表了另一篇开创性文章《分析复杂系统和决策过程的新方法纲要》，该文建立了研究模糊控制的基础理论，在引入语言变量这一概念的基础上，提出了用模糊IF-THEN规则来量化人类知识. 1975年，英国工程师Mamdani和Assilian 创立了模糊控制器的基本框架，并将模糊控制器用于控制蒸汽机. 1978年，丹麦Holmblad和Qstergaard开发了模糊水泥窑控制器. 这些最初的应用已经表明这一领域的潜力.   
从理论角度讲，20世纪80年代初这一领域的进展缓慢. 然而，与理论进展缓慢相比， 模糊控制的应用非常振奋人心并引起了模糊领域的一场巨变. 日本工程师们，以其对新技术的敏感，迅速地发现模糊控制器对许多问题来讲都是易于设计的，而且操作效果也非常好. 因为模糊控制不需要过程的数学模型，它可以应用到很多因数学模型未知而无法使用传统控制论的系统中去. 1980年，Sugeno开创了日本的首次模糊应用--控制一家富士电子水净化工厂；1983年，他又开始研究模糊机器人，这种机器人能够根据呼唤命令来自动控制汽车的停放. 来自于日立公司的Yasunobu和Miyamoto开始给仙台地铁开发模糊系统，他们于1987年结束了该项目，并创造了世界上最先进的地铁系统. 
1987年7月，第二届国际模糊系统协会年会在东京召开. 会议是在仙台地铁开始运行后三天召开的，Hirota还在会议上演示了一种模糊机器人手臂，它能实时地做二元空间内的乒乓动作， Yamakawa也证明了模糊系统可以保持倒立摆的平衡. 此后，支持模糊理论的浪潮迅速蔓延到工程、政府以及商业团体中. 到了20世纪90年代初，市场上已经出现了大量的模糊消费产品. 在日本出现了“模糊”热，家电产品中不带fuzzy的产品几乎无人购买. 空调器、电冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器中已广泛采用了模糊控制技术. 我国也于20世纪90年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机. 
模糊数学于1976年传入我国后，得到迅速发展. 1980年成立了模糊数学与模糊系统学会，1981年创办《模糊数学》（现更名为《模糊系统与数学》）杂志. 中国被公认为模糊数学研究的四大中心（美国、欧洲、日本、中国）之一. 以下是Zadeh教授接受采访时的一段对话（取自An Interview with Lotfi A. Zadeh,Communication of the ACM,vol.27,no.4,304-311,April 1984) : 
问： Zadeh教授，自从你60年代建立了模糊逻辑的概念之后，对此的兴趣增加了很多吗？有无其他人追随了这一理论？
Zadeh:  ……人们正在日益接受这一理论，但对此还有很大的怀疑和反对. 目前，研究模糊集理论人数最多的国家是中国. 似乎在东方国家对于与二值逻辑不同的体系有更大的兴趣，大概这是因为他们的逻辑不像西方的笛卡儿逻辑. 
1.4.3 进一步发展时期--更广泛的应用与更严峻的挑战
日本模糊系统的成功震惊了美国和欧洲主流学者们（常说： 模糊理论生在美国，却长在日本）. 一些学者仍对模糊理论持批评态度，但更多的学者不仅已经转变观念，而且还给予了模糊理论发展壮大的机会. 1992年2月，首届IEEE模糊系统国际会议在圣地亚哥召开了， 这次大会标志着模糊理论已被世界上最大的工程师协会--IEEE所接受，而且IEEE还于1993年创办了IEEE模糊系统会刊IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 
同时，模糊数学理论的应用越来越广泛，除了前述的家电行业、工业控制等领域外，在军事航天领域，模糊技术用于巡航导弹、指挥自动化系统、飞行器对接等方面；在地震科学方面，模糊技术的应用已涉及中长期地震预测、潜在震源识别等领域；模糊理论在核反应堆的控制方面取得了极大的成功；在软科学方面，已应用于心理分析、投资决策、经济宏观调控、市场预测等领域；在公益事业方面，有交通管理、供电供水的管理与监控、气象预测等应用成果. 
此外，一些新概念、新分支相继提出，在传统方向和分支上也相继取得可喜进展，模糊数学理论体系更加丰富. 格值模糊集、区间值模糊集、直觉模糊集、二型模糊集等得到深入研究，模糊拓扑学、模糊测度与模糊积分、模糊自动机理论、模糊优化、模糊数据库理论、模糊图论、模糊认知图（fuzzy cognitive maps) 、模糊神经网络、模糊支撑向量机及模糊集的公理化等诸多方向有了长足进步；模糊集理论与概率论、Rough集理论等相结合，在智能信息处理的诸多方面发挥着越来越广泛而重要的作用（文献\) . 
尽管模糊数学理论的发展是迅猛的，但与应用相比，模糊逻辑的理论基础并非无懈可击， 比如1993年7月C. Elken博士在美国第11届人工智能年会上做了题为《模糊逻辑的似是而非的成功》的报告，引起了一场轩然大波. 在洛杉矶出版的IEEE Expert杂志编委会组织模糊界和人工智能界的15位专家学者对Elkan的文章进行评论，并于1994年8月在该刊物上出了一个专栏，其中包括C. Elkan的答复文章“关于模糊逻辑似是而非的争论”，这说明这场争论并未取得一致的意见. 事实上，这场争论始终没有平息，例如2001年西班牙学者E. Trillas与C. Alsina 在 International Journal of Approximate Reasoning上撰文再次论及C. Elken提出的问题. 有趣的是，针对E. Trillas与C. Alsina的上述论文，C. Elken本人在同一刊物发表了反驳文章， 而E. Trillas与C. Alsina又在同期杂志上发表了对C. Elken的反驳的“注解”，他们各持己见，仍然没能得到一致的结论. 
其实，模糊数学的不成熟是完全可以理解的. 因为经典数学已有了很长的历史，一代又一代的数学家们已经把现代数学的大厦建造得几乎达到了完美的地步. 与此相比较，诞生还不足半个世纪的fuzzy理论可以说尚处于牙牙学语的阶段，目前我们还没有完全成熟的章法可循. 模糊理论的目的在于进一步开发人脑的智能和模拟人脑的思维方式,而人脑是创造一切现代文明的源泉，所以模拟人脑既是极富于挑战性的任务，又必然是十分艰难的工作. 在这方面的点滴进步都是可贵的，并且终将把模糊理论推向成熟. 
学习模糊数学就如同营养和丰富你大脑的功能. 同时，正因为模糊理论尚不成熟，大家在学习过程中可以不断地尝试去改进它和完善它. 最后，让我们借用文献\序言中最后几句话作为本章的结束（这里对原话做了修改，文献\的作者是香港科技大学王立新先生，1992-1993年在Zadeh那里做博士后）: 
天苍苍，不确定性数学理论的梦想不知现在何方？
雾茫茫，模糊数学理论是不是正确的前进方向？
拨开迷雾，等待我们的一定是那灿烂的阳光!
实验1 体验模糊数学（借助MATLAB与Maple软件）
实验1 体验模糊数学（借助MATLAB与Maple软件）本实验使用MATLAB提供的模糊逻辑工具箱（Fuzzy Logic Toolbox）及仿真工具Simulink、或Maple软件的工具包FuzzySets，通过图形、动画的展示，身临其境地体会模糊数学及其在智能控制中的应用. 可根据实际情况选用一种软件进行实验，原则上并不需要读者具有MATLAB、Maple软件的使用经验. 
1.  使用MATLAB体验模糊数学
按以下步骤进行操作练习（可根据实际环境进行调整，这里以MATLAB 7.8.0，即R2009a版本为例进行说明）: 
 (1)  安装MATLAB，启动成功后显示如图1-9所示的MATLAB工作界面：
图1-9 MATLAB 7.8.0 (R2009a）工作界面
在Help菜单中选择Product Help选项，打开Help窗口；在其左窗格中选择Fuzzy Logic Toolbox，其中有What Is Fuzzy Logic选项（见图1-10所示），这实际是模糊逻辑入门指南，自学其中的内容. 
图1-10 MATLAB中关于模糊逻辑的介绍
 (2)  在Fuzzy Logic Toolbox中，有一些非常典型的例子，对于理解模糊逻辑方法很有参考价值. 在图1-10中，单击左侧窗格中（即Help窗口Fuzzy Logic Toolbox选项下）的Examples，帮助系统将详细分析一个小费问题（见图1-11. 这是国外模糊逻辑教材中一个非常经典的例子，考虑的问题是： 在饭店就餐后付给侍者多少小费合适，涉及服务质量、食物质量等因素），分别采用传统数学方法（包含使用线性或分段线性函数）和模糊数学方法（基于一些常识性模糊规则进行模糊推理，比如“当服务差或食物差的时候，小费少”、“当服务好的时候，小费中等”）求解此问题，从两者的比较中展示模糊数学的优势（见图1-12，左图使用精确数学方法--分段线性函数，右图使用模糊推理方法）. 自学这个例子，从中体会模糊数学方法的优势. 
 (3)  结合MATLAB的模糊逻辑工具箱（Fuzzy Logic Toolbox）及仿真工具Simulink，可制作基于模糊控制的仿真动画，以直观地感受模糊数学的作用. 下面就让我们体验一下吧！
① 在MATLAB命令窗口命令提示符后输入slcp然后按Enter键（这实际是打开MATLAB软件提供的仿真模型文件slcp.mdl，它位于MATLAB安装目录下的子目录toolbox＼fuzzy＼fuzdemos中），出现如图1-13所示的窗口；单击工具栏上的按钮，启动仿真动画，如图1-14所示. 这是一个带杆的小车装置（一级倒立摆），通过不断调整作用于小车上的力使杆能直立在小车上，这一控制系统是使用模糊推理实现的. 
图1-11 小费问题示例
图1-12 小费与食物质量、服务质量之间的关系图1-13 Simulink程序窗口
图1-14 带杆的小车（一级倒立摆）控制仿真
除了slcp外，系统还提供了slcp1、slcpp1、sltank（水箱水位控制的仿真动画）、slbb（一个类似于跷跷板的控制仿真动画）等模型文件，其仿真演示方法同上，请自选操作练习. 
② 模糊控制的核心是依据经验知识的模糊IF-THEN规则库进行模糊推理，一边展示控制规则的作用、一边展示控制对象状态的动态变化，这对理解模糊控制的过程有很大的帮助. MATLAB软件确实提供了这样的仿真程序sltankrule，利用它可以展示水箱水位的模糊控制过程，可同时看到模糊控制规则、水箱水位的动态变化. 具体操作方法是：
在MATLAB命令窗口命令提示符后输入sltankrule然后按Enter键，在随后出现的Simulink窗口单击工具栏上的按钮，启动仿真动画（同时出现两窗口，左图显示水位的变化情况，右图显示依据规则进行推理计算的过程），如图1-15所示. 反复观看此动画演示，体会模糊控制方法. 
图1-15 水箱水位的模糊控制仿真
2.  使用Maple体验模糊数学
Maple软件没有提供专门的模糊逻辑工具箱，不过有学者针对模糊集及模糊控制开发了在Maple环境下运行的程序包FuzzySets及Maple工作表FuzzyControllers，可以借助它们来体验模糊数学及其应用. 
(1) 安装Maple（这里以Maple 14为例），可以有两种方式使用它，一种是古典工作表模式（Classical worksheet Maple) ，另一种是Maple新界面模式. 这里先以古典工作表模式启动Maple 14，在命令提示符后输入：   A:=x->piecewise(x>=0 and x<=25,1,x>25 and x<=150,(1+((x-25)/5)^2)^(-1)):
plot(A(x),x=0..150,0..1);按Shift+Enter键，Maple将给出“年轻人”模糊集的隶属函数图像，如图1-2所示. 
前面输入的是两条Maple命令，第一条是定义一个函数，函数名为A、变量为x，函数本身是分段的，故使用了Maple提供的库函数piecewise，其使用方法可以通过Maple的帮助系统得到；第二条命令是绘制函数A(x)的图像，命令中给出了自变量及函数值的范围. 第一条命令后使用冒号，表示不输出当前命令的执行结果（对于那些强制输出执行结果的命令，冒号不起作用）；第二条命令后使用分号，Maple将显示当前命令的执行结果. 
当关闭Maple操作窗口时，系统会提示保存上述操作，输入一个文件名，Maple将以扩展名为.mws的文件保存执行过的命令及运算结果到磁盘上，以后可以在Maple中再次打开. 
关于Maple的基本使用方法，请读者浏览Maple的帮助系统或上网查阅相关资料. 
(2) 美国滑铁卢大学的Douglas Wilhelm Harder先生开发了程序包FuzzySets，可在Maple公司的网站http://www.maplesoft.com/下载，也可在Douglas Wilhelm Harder先生的主页https://ece.uwaterloo.ca/～dwharder/获得相关链接信息. 
下载FuzzySets程序包压缩文档（目前是FuzzySeys3.zip）后，将其解压到Maple所在目录的lib子文件夹中. 在Maple命令提示符后输入（并按Shift+Enter键执行）:    with(FuzzySets\):其含义是调用程序包FuzzySets的子包RealDomain（它允许用户创建和操作实直线上模糊集），以后就可以自由使用其中的命令或函数了. 比如，执行以下命令可以得到两个模糊集（它们都具有三角形的隶属函数）的并集，如图1-16所示.    plot(Lambda(1,2,3) union Lambda(2,3,4 ),0..5);图1-16 Maple程序包FuzzySets使用示例
(3) 在Maple公司网站的应用中心http://www.maplesoft.com/applications/下载Maple工作表FuzzyControllers.mw，双击打开该文档(这里使用Maple 14新界面模式)，如图1-17所示. 
此工作表在前述Maple程序包FuzzySets的支持下，借助Maple软件设计了倒立摆模糊控制仿真动画. 按以下步骤操作，可欣赏这些动画：
① 单击工具栏上的按钮，执行整个工作表（即依次执行该文档中的所有Maple命令）. 
② 执行完毕后，文档中出现一系列图像，其中一些包含有动画，单击它们时工具栏出现一组新按钮；单击工具栏上的按钮，即开始播放动画. 比如，在“InvertedPendulum(-10,40,Rules,100)”命令后的执行结果图像中，可播放如图1-18所示的倒立摆动画. 该文档中提供了多个这样的动画，请读者自行操作练习. 
图1-17 用Maple写的模糊控制介绍
图1-18 用Maple制作的倒立摆仿真动画

第2章 模糊集理论基础
2.1 模糊集的基本概念及基本运算
2.1.1 模糊集合的定义
1. 经典集合与特征函数  
首先说明论域的概念. 人们在研究具体问题时，总是对局限于一定范围内的对象进行讨论，所讨论的对象的全体称为论域. 
在论域X中任意给定一个元素x及任意给定一个经典集合A，则或者x∈A，或者xA，二者必居且仅居其一. 这种关系可用如下二值函数表示：
χA: X→{0,1};xχA(x)=1, x∈A;
0, xA.
图2-1 论域X中集合A的特征函数
上述函数χA称为集合A的特征函数. 显然，集合A完全由它的特征函数χA所确定（见图2-1) ，因此可以将集合A与特征函数χA等同起来. 
2. 模糊集合的定义
定义2.1.1 论域X上的模糊集合（或称模糊子集）A是X到\的一个映射（称为隶属函数）
μA: X→\.
对于x∈X, μA(x)称为x对于A的隶属度. 
根据定义，模糊集合与经典集合不同，它并没有确定的元素，我们只能通过隶属函数来认识和掌握它. 因此，模糊集合的定义也常被写成下面的样子：
论域X上的模糊集合A是X到\的一个映射A: X→\.
以后我们将μA(x)与A(x), μA与A等同起来，就如同将经典集合与其特征函数等同起来一样. 
如前所述，经典集合可用特征函数完全刻画，因而经典集合可看成模糊集的特例（即隶