第1章 弹性波 在可变形固体介质中，对力学平衡状态的扰动表现为质点速度的变化和相应的应力、应变状态的变化。由于可变形介质的特性，当固体中的某些部分受到扰动因而处于力学上的不平衡状态时，固体中的其他部分需要一定的时间才能感受到这种不平衡。这种因应力和应变的变化而引起的扰动以波的形式在固体中传播，就称为应力波。 1.1 圆杆中的弹性波弹性压缩波的传播 如图1.1所示，考虑一个各向同性材料制成的半无限长的均质圆杆，坐标原点O点固定于半无限长杆的自由端。设x表示杆上某点到原点O的距离；u(x)表示杆上距O点初始距离为x的平面AB发生的位移；平面A′B′平行于AB且距离原点O的初始距离为x+δx，该平面的位移为u+uxδx. 从t=0时刻起，在x=0的端面上作用一个集中压力，它将引起一个沿杆传播的弹性扰动。在t时刻，扰动传播至截面AB，因此该截面上受压应力 -σ0的作用。需要注意的是，这里的分析采用了细长杆假设，即认为脉冲载荷的长度至少是杆横截面尺度的6倍。在这种情况下，可以忽略横向应变和横向惯性效应。此外，在分析中还忽略了杆的重力和材料的阻尼。 如图1.2所示，取均质圆杆中的一个单元进行受力分析。设A0是杆的初始截面积，ρ0是材料初始密度，-σ0是杆中传播的应力水平，负号表示压应力。由牛顿第二定律，该单元的运动方程，-σ0x·δx·A0=ρ0·A0·δx·2ut2, 即图1.1 弹性压缩波在均质圆杆中的传播 图1.2 均质圆杆代表单元的受力平衡 σ0x=-ρ02ut2(1.1) 分析此代表单元的变形可知，单元长度为δx，单元中的应变为ε=ux(1.2) 设材料的杨氏模量是E，在线弹性范围内由胡克定律有-σ0=Eux(1.3)对上式求偏导数，进而得到应力在单元上的变化率： σ0x=-E2ux2(1.4) 第一篇 固体中的应力波第1章 弹性波 将（1.1)式代入(1.4)式，得到ρ02ut2=E2ux2(1.5)引入cL=E/ρ0，则上式可以表示为2ut2=c2L2ux2(1.6) (1.6)式是一个典型的一维波动方程，考虑此方程的求解。对于具有如下形式的波动方程，2ut2=c22ux2(1.7)其通解u(x,t)具有如下形式:u(x,t)=f1(x-ct)+f2(x+ct)(1.8) 将(1.8)式代入波动方程(1.7)验证可知，ut=-cf′1(x-ct)+cf′2(x+ct), 2ut2=c2f" 1(x-ct)+c2f" 2(x+ct) ux=f′1(x-ct)+f′2(x+ct), 2ux2=f" 1(x-ct)+f" 2(x+ct)显然，表达式(1.8)是波动方程(1.7)的通解。 为阐明通解(1.8)式的力学意义，只考虑其中的一项，即设f2=0，则有:u(x,t)=f1(x-ct). 图1.3 给出了不同时刻，扰动波在均质圆杆中产生的位移分布。若在t=t1时刻，杆中x=x1位置处的位移为u=s；而且在t=t2时刻，杆中x=x2位置处也有相同位移u=s，则s=f1(x1-ct1)=f1(x2-ct2)，也就是x1-ct1=x2-ct2。可以得到波传播的速度为c=x2-x1t2-t1(1.9)图1.3 不同时刻扰动波在均质圆杆中产生的位移 这说明，对于由方程(1.6)控制的波的传播过程，cL=E/ρ0恰恰代表了纵波(即压缩波或拉伸波)的波速。 波动方程的通解(1.8)式中的两项，f1(x-ct) 表示波沿着+x方向传播，也就是右行波；f2(x+ct)表示波沿着-x方向传播，也就是左行波。通解(1.8)式中的两个行波f1(x-ct)和f2(x+ct)都具有如下的特点： 首先，在波的传播过程中波形和幅值都不改变；其次，波传播的速度c是恒定的。也就是说，一维纵波(压缩波或拉伸波)在传播过程中是不弥散的。 如何区分一维纵波中的压缩波和拉伸波呢？从应力的角度讲，压缩波产生负的应力，拉伸波产生正的应力；从物质点的运动速度来看，压缩波中物质点速度方向与波传播方向一致，而拉伸波中物质点速度方向与波传播方向相反。表1.1给出了几种典型固体材料的弹性纵波波速。表1.1 典型固体材料的弹性纵波波速 碳钢铝合金玻璃 聚苯乙烯E/GPa2057595ρ0/(g/cm3)7.82.72.5cL/(m/s)51005300620023001.2 弹性波的分类 不同种类的弹性波都可以在固体中传播。弹性波的分类通常源自固体内物质点的运动方向与波自身传播方向之间的关系，以及问题的边界条件。最常见的弹性波种类如下： 1) 纵波(无旋波); 2) 横波(畸变波，剪切波); 3) 表面波(Rayleigh波); 4) 界面波(Stoneley波); 5) 在梁和板中的弯曲波(挠曲波). 纵波 纵波是物质点的运动速度与波传播速度平行的波。若物质点的速度与波速相同则为压缩波，若物质点的速度与波速相反则为拉伸波。纵波也称作无旋波，在地震学中，被称为推动波、初至波或P波；在无限和半无限介质中，因其可以引起物质体积变化，也被称为“膨胀波”. 横波(剪切波) 横波的特点是，其物质点的运动速度方向垂直于波传播的速度方向。如图1.4所示，圆杆某处被夹具卡紧后，在其中自由的一端施加扭矩。图1.4 圆杆扭转释放产生的横波 由于存在夹具的作用，另一端初始时刻处于无应力状态。突然释放夹具，杆中会产生由加载端向远端传播的扰动。由于物质点的运动速度方向处于杆的横截面内，而波传播方向沿着杆的方向，此波动为横波，也称剪切波。横波引起的法向应变(正应变)都等于零，不会引起材料密度的变化；而引起剪切应变非零，会引起形状变化。因此横波也被称为畸变波，或等体积波。 可以证明，横波的波速为cS=G/ρ0，其中G为固体材料的剪切模量。比较弹性材料横波和纵波的波速可知，cScL=GE=12(1+ν)<1，式中ν为泊松比；即同种材料中，横波的波速小于纵波的波速。在地震学中，横波也被称为次至波，摇晃波，S波。 表面波(Rayleigh波) 在表面波中，质点既上下运动、又前后运动，描绘出的轨迹是个椭圆。水面上水波的运动是表面波，如图1.5所示，用一个漂浮软木塞的运动可以看出表面波中物质点的运动规律。表面波的传播局限于邻近表面边界的区域内，在远离表面的区域，质点的速度按指数形式快速下降。 图1.6是以小锤敲击半无限固体的表面，产生的波的示意图，它比较了几种波的传播形式。其中纵波(P波)的速度比横波(S波)快。而表面波(Rayleigh)只在物体表面的有限区域内有影响。 图1.5 水表面的表面波 图1.6 锤击无限大平面产生的波 界面波(Stoneley波) 当两个材料属性不同的半无限介质互相接触而受到扰动时，它们的接触面上存在界面波。固体的表面波(Rayleigh波)可以看成是界面波的一种特殊情况，即两种相邻的介质中有一种的密度和弹性波速可以忽略(如空气). 分层介质中的波(Love波) 地球其实是由性质不同的地层组成的，因此形成了一种特殊的波，因其最初研究者Love而命名。地震产生的位移中，水平方向的分量可以明显大于垂直分量。这种行为与Rayleigh波不相符，而是Love波的作用结果。 弯曲波(挠曲波) 图1.7 梁受弯以及其微元受力分析图 (a) 受弯曲的梁； (b) 微元受力分析弯曲波指的是弯曲变形在一维(梁、拱)和二维(板、壳)构型中的传播。如图1.7所示，对于一个受弯曲作用的直梁，截面积为A0，截面关于中性轴的惯性矩为I，沿梁的长度方向的坐标为x, 垂直于梁长度方向的坐标为z，在弯矩M和剪力Q的作用下产生挠度w。梁的材料的密度为ρ0，弹性模量为E. 取一段微小单元δx进行受力分析。考虑此微元z方向的受力平衡有 -(ρ0A0·δx)·2wt2=Qx·δx(1.10)由弹性力学中给出的梁的变形方程： EI3wx3=Q(1.11)综合（1.10)式和(1.11)式，可以得到弯曲波的波动方程： ρ0A02wt2=-EI4wx4(1.12)或者表示为2wt2=-c2Lk24wx4(1.13)上式中cL=E/ρ0是纵波波速，k是梁的横截面关于中性轴的回转半径，也就是I=A0k2. 显然，w(x,t)=f1(x-ct)或者w(x,t)=f2(x+ct)形式的解不再能够满足 (1.13)式的弯曲波波动方程。这表明任意形式的弯曲扰动(即对挠度施加的扰动)都不会无耗散地传播。 1.3 波的反射和相互作用机械阻抗(mechanical impendance) 仍以一维压缩波为例，研究波的反射及相互作用。如上节所示，在波动方程的通解(1.8)式中， 右行纵波(即波传播方向沿着x轴正向的波)中物质点的位移为u(x,t)=f(x-ct)(1.14) 将位移（1.14）式对时间t求偏导数，可以得到物质点的速度为v0=ut=-cf′(x,t)(1.15) 将位移（1.14）式对空间位置x求偏导数，可以得到物质点的应变为ε=ux=f′(x,t)(1.16) 利用弹性材料的本构关系，可得该物质点处的应力水平为σ=-Eε=-Ef′=Ev0c(1.17)考虑波速c=E/ρ0, (1.17)式可以变化为σ=Ev0c=ρ0cv0=v0Eρ0(1.18) (1.18)式中的物理量ρ0c 称为杆的机械阻抗(mechanical impedance)或者波阻抗(sonic/sound impedance). 将上述表达式写成如下形式，v0=σEρ0=cEσ=σρ0c(1.19) (1.19)式给出了物质点运动速度与应力水平之间的关系式。例如，对于钢材，若应力水平为100MPa,可计算出对应的物质点运动速度为v0=cEσ=5100m/s·100MPa205GPa≈2.49m/s(1.20) 钢材的波阻抗为ρ0c=7800kg/m3×5100m/s≈4×107N·s/m3(1.21) 波速和波阻抗是两个很重要的物理量，波速的物理意义是扰动在可变形固体中的传播速度，而波阻抗的物理意义是代表了可变形固体对扰动的抵抗程度。 波在边界上的相互作用 这里我们简要描述一下波传播到两种介质的边界时所发生的力学现象。当界面两侧的介质的波阻抗(由介质的密度乘以弹性波速决定)不相同时，图1.8给出了一个入射的纵波在边界上发生的反射和透射现象。该纵波传播到边界上时，除了反射和透射产生的纵波以外，还同时在界面上产生了两个横波。反射角、透射角和入射角间的关系可以由以下的公式简单给出，sinθ1cL=sinθ2cS=sinθ3cL=sinθ4c′L=sinθ5c′S(1.22)图1.8 纵波在界面上的反射和透射 作为特殊情况，当入射波沿分界面法向入射的时候(θ1=0)，一个入射纵波将只反射和透射纵波，而一个入射横波将只反射和透射横波。问题可以简化成一维波的反射和透射。 一维纵波的反射和透射 图1.9 细长圆杆中一维纵波的反射和折射 如图1.9(a)所示，一个纵波在细长圆杆中以波速c传播，此时物质点的速度为v，应力水平为σ。假定细长圆杆由两种介质构成，分别标记为A和B; 当波传播到两种介质的边界时，将发生反射和透射。图1.9(b)给出了分界面上由入射波、透射波和反射波分别引起的应力水平；对应的图1.9(c)给出了分界面上的物质点由入射波、透射波和反射波分别产生的速度。根据两种介质的密度ρA,ρB以及波速cA,cB，可以对透射波和反射波的幅值进行计算。 分别用下标I, T和R表示入射波、透射波和反射波。在细长杆中A, B两种介质的分界面上进行分析。首先根据力的平衡方程得到σI+σR=σT(1.23) 再根据物质点运动的连续性条件，有vI+vR=vT(1.24)利用物质点速度与应力水平之间的关系式(1.19)式，对于入射波、反射波和透射波分别有vI=σIρAcA, vR=-σRρAcA, vT=σTρBcB(1.25)由(1.23)式，(1.24)式和(1.25)式，容易得到透射波及反射波的应力幅值分别为σTσI=2ρBcBρBcB+ρAcA, σRσI=ρBcB-ρAcAρBcB+ρAcA(1.26) 根据(1.26)式，显然透射应力波和反射应力波的幅值都取决于介质(材料)的机械阻抗(波阻抗)。若B介质的波阻抗大于A介质，ρBcB>ρAcA，有σR/σI>0，即反射应力波的符号与入射波相同；反之，若B介质的波阻抗小于A介质，ρBcB<ρAcA，有σR/σI<0，即反射应力波的符号与入射波相反。 利用类似的方法对物质点的速度进行分析，可以得到反射波和透射波导致的物质点运动速度，结果如下： vRvI=ρAcA-ρBcBρAcA+ρBcB, vTvI=2ρAcAρAcA+ρBcB(1.27)第一种特殊情况，应力波在自由端的反射 对于自由端来说，相当于B介质为真空(或空气)，即ρBcB=0。代入(1.26)式和(1.27)式可以分别得到透射应力波和反射应力波的幅值，以及透射和反射引起的物质点运动速度，得σTσI=0, σRσI=-1, vRvI=1, vTvI=2(1.28)因而，在自由端发生反射之后，应力和物质点速度的分布如图1.10所示。 图1.10 一维应力波在自由端的反射 当一个入射波到达自由端时，自由端的应力水平始终保持为零。自由端产生的反射波与入射波符号相反，也就是说压缩波产生的反射波为拉伸波，而拉伸波产生的反射波为压缩波。 入射波到达自由端时，自由端的物质点速度加倍；反射完成之后，杆中的物质点速度和入射波产生的物质点速度相同。 第二种特殊情况，应力波在固定端的反射 对于杆的一端完全固定的情况，可以认为B材料无限刚硬，即EB=∞，相应的波阻抗ρBcB=∞。代入(1.26)式和(1.27)式可以分别得到透射应力波和反射应力波的幅值，以及透射和反射引起的物质点运动速度为σTσI=2, σRσI=1, vRvI=-1, vTvI=0(1.29)因而，在固定端发生反射之后，应力和物质点速度的分布如图1.11所示。 当一个入射波到达固定端时，固定端的应力水平加倍。固定端产生的反射波与入射波符号必定相同，也就是说压缩波产生的反射波仍为压缩波，而拉伸波产生的反射波仍为拉伸波。 入射波到达固定端时，固定端的物质点速度始终保持为零；反射完成之后，杆中的物质点速度方向和入射波产生的物质点速度方向相反，但速度大小和入射波相同。 图1.11 一维应力波在固定端的反射 一维波的传播与相互作用示例 【例1】 矩形脉冲的产生 考虑如图1.12所示半无限长的细长弹性杆。 图1.12 半无限长细长弹性杆中的矩形脉冲 在t=0时刻，在杆的自由端A点施加一个向右初速度v0，将引起一个向右传播的压缩波。 在t>0的t时刻，压缩波的前沿到达B点，其中B点离自由端的距离为AB=ct；同时原来的A点运动到A′点，位移为AA′=v0t。此时在杆的A′B段中所有物质点均具有相同的速度v0，由于压缩波产生的压应力大小则为σ=ρcv0. 在t=T的时刻，在A点再施加一个向左的速度v0，这将引起一个向右传播的拉伸波。 在t>T的t时刻，拉伸波前沿到达D点，D点到A′的距离为A′D=c(t-T)。同时原自由端A点运动到A" 位置处。两个弹性波互相叠加，作用效果是产生了一个长度为cT，应力幅值为σ=ρcv0的矩形脉冲。脉冲(对应杆中DB段)是一个有限长度的压缩波，以弹性波速c向右传播。除了DB段以外，细长杆中其他的物质点的运动速度为零都而且不承受应力，和没有受到扰动的状态相同。 【例2】 压缩脉冲和拉伸脉冲的相互作用 如图1.13所示，细长杆A1A2，杆的中点为B。在杆的A1B段，一个应力幅值为σ的压缩脉冲由左向右传播，易知脉冲中物质点的运动速度为+v0(方向向右)。在相对于B点与A1B段对称的A2B段中，同时有一个应力幅值为σ的拉伸脉冲由右向左传播，脉冲中物质点的运动速度也为+v0(方向向右). 经过一定的传播时间后，压缩脉冲和拉伸脉冲在截面B处相遇。拉压应力叠加的效果是B点的应力降为零，同时物质点速度叠加的效果造成B点的速度加倍，变成2v0. 相遇后的两个脉冲各自向前传播，分别完全经过B点后，压缩波继续在A2B段传播，而拉伸波继续在A1B段传播。由于在任意时刻B点的应力都为零，可以设想细长杆A1A2在B点被切断，产生了A1B和A2B两根均以B点为自由端的杆；其结果，如图1.13中两脉冲相遇的图像就正好代表了一个脉冲在自由端B点反射的情况，即： 当一维纵波在自由端反射的时候，应力符号改变，物质点速度加倍。 图1.13 细杆中的压缩脉冲和拉伸 脉冲的相互作用 图1.14 细杆中的两个相向的拉伸 脉冲的相互作用 【例3】 拉伸脉冲和拉伸脉冲的相互作用 如图1.14所示，细长杆A1A2，杆的中点为D。在杆的A1D段和A2D段，分别有两个应力幅值为σ的拉伸脉冲相向传播。A1D段中为右行波，物质点的运动速度为-v0(方向向左). A2D段中为左行波，物质点的运动速度为+v0(方向向右). 经过一定的传播时间后，两个拉伸脉冲在截面D处相遇。两个拉应力叠加的效果是D点的物质点速度降低为零，同时应力叠加的效果造成D点的应力加倍，变成2σ. 相遇后的两个脉冲各自向前传播，分别完全经过D点后，仍然是两个拉伸脉冲各自在A2D段和A1D段中继续传播，但是A1D段中为左行波，而A2D段中为右行波，均与到达D点的入射波方向相反。由于在任意时刻D点的物质点速度都为零，可以设想细长杆A1A2在D点被切断，产生了A1D和A2D两个均以D点为固定端的杆；其结果，如图1.14中脉冲相遇的图像就代表了波在固定端D点反射的情况，即： 当一维波在固定端反射的时候，物质点速度保持为零，应力水平加倍。反射波经过杆的其他部分时，波传播方向和物质点速度方向均反号。 【例4】 两相同杆发生共轴正碰撞后的应力波传播 如图1.15(a)所示，两根材料和尺寸都完全相同的杆，以相同的速度v0相向运动。设在t=0时刻，两个杆发生共轴的正碰撞。碰撞同时产生应力幅值为σ=ρcv0的两个压缩波，沿两杆各自传播。压缩波前沿经过的区域，物质点的速度降低为零。 图1.15 两相同杆发生共轴正碰撞后的应力波传播 (a) 力学图像； (b) 位置-时间图 图1.15(b)在位置-时间(x-t)平面上显示波的传播与反射，称为位置-时间图或Lagrange图。由于弹性纵波的波速为常数，在(x-t)平面上每个波都表现为一条斜率为1/c的直线。于是，碰撞产生的两个压缩波在图1.15(b)上表现为从原点O出发的斜率为1/c的，分别朝向右上方和左上方的两条直线。 若杆的长度为L，在t=L/c的时刻，两杆中的物质点速度处处为零，即该时刻杆处于静止状态，但同时处处都受到σ=ρcv0的压应力作用。 两个压缩波在t=L/c的时刻在自由端分别发生反射，变成拉伸波。两个拉伸波向内相向传播，拉伸波前沿经过的区域应力降低为零，但物质点重新获得向外的速度v0。这两个反射产生的拉伸波在图1.15(b)上表现为从左右边界分别出发的斜率为1/c的两条直线。 在t=2L/c的时刻，上述两条代表拉伸波的直线在x=0相遇，即： 两个拉伸波各自重新到达接触面，接触面上的点也获得了向外的速度v0，因此两根杆分离并各自向外运动。从这个例子我们看到，Lagrange图是显示波的传播和相互作用的有力工具。 设杆的截面积为A，则一根杆的初始动能为K0=ALρv20/2。在t=L/c时刻，动能全部转化为杆件的弹性变形能，We=ALσ2/2E=ALρv20/2。在t=2L/c时刻以后，弹性能重新转化为动能。整个撞击过程中没有能量损失，因此在这种情况下，碰撞的恢复系数(coefficient of restitution，简称COR), e=1，对应于理想状态下的完全弹性碰撞。这是一个假设，在真实情况下是很难实现的。 思考题 1. 列出一维弹性波理论的基本假设，并指出其局限性。 2. 在实际工程应用中，在哪些种情况下必须考虑弹性波传播效应？ 习题 1.1 细长圆杆一端受到突加扭矩的作用，请证明弹性扭转波传播的速度是ct=G/ρ0，其中G和ρ0分别为材料的剪切模量和密度。 1.2 如图所示，三根完全相同的杆共轴线，杆长度均为L。初始时刻杆2和杆3互相接触，杆1以初速度v0朝向杆2运动。请绘制位置-时间图(x-t图)，说明碰撞时刻t=0后发生的现象。 习题1.2图 第2章 弹塑性波2.1 一维弹塑性波 如图2.1所示，考虑一个具有均匀截面和初始密度ρ0的半无限长细杆，在自由端(x=0)处突然施加应力σ或初速度v. 若应力波幅值小于材料的屈服应力Y，即σY时，应力-应变曲线的斜率不再保持为常数，因而导致应力波传播速度的改变。注意非线性弹性材料在卸载时应力-应变沿非线性的加载曲线返回，而弹塑性材料卸载时应力-应变则按弹性斜率进行变化。下面我们着重讨论弹塑性材料中的一维纵波。 图2.1 半无限长细杆中诱发应力波 图2.2 弹塑性材料的应力-应变关系 设在波传播过程中细长杆的横截面保持为平面，则所有的变量都只是位置x和时间t的函数。假设位移函数u(x,t)是连续可微的，则应变和物质点速度都可以表示成位移的偏导数形式，即ε=ux, v=ut根据函数的连续条件，交换求偏导数顺序可得vx=ut(2.1)由牛顿第二定律，得到物质点的动力学方程为ρ0vt=σx(2.2) 设固体为应变率无关材料(即应力σ不是应变率ε·的函数)，且不考虑温度的影响，则不失一般性可将材料的应力-应变关系写为σ=σ(ε)(2.3) 第一篇 固体中的应力波第2章 弹塑性波 由(2.2)式和(2.3)式可以得到vt=1ρ0·σx=1ρ0·dσdε·εx=c2εx(2.4) 只要材料的应力σ是随应变ε增加的，上式中定义的c2≡1ρ0dσdε>0。将(2.1)式代入(2.4)式可得到一维波动方程如下： 2ut2=c22ux2(2.5)波动方程中的c为波传播速度，且有c=1ρ0dσdε=c0, σ≤Y,dσ/dε=E c=1ρ0dσdεY,dσ/dεY)，塑性波速cp也为恒定值，其大小取决于塑性模量Ep: cp=Epρ0=const.(2.7)图2.3 弹塑性材料中波速随应 力-应变关系的变化 图2.4 线性硬化材料的应力-应变 关系及波速随应变的变化 线性硬化材料受阶跃载荷作用 如图2.5(a)、2.5(b)所示，一根均质半无限长细杆由线性硬化材料制成，在其自由端突然受到阶跃载荷σ0的作用，而载荷高于材料屈服应力，σ0>Y。为了分析此阶跃载荷在杆中引起的应力波，首先看到由于阶跃载荷已经超过材料的屈服应力，加载的瞬间同时产生弹性应力波和塑性应力波。由于在线性硬化材料中弹性波速c0大于塑性波速cp，弹性波的前沿必定在塑性波前沿之前方传播。整个细长杆可以分为三个部分： 弹性波前未到达的部分为未扰动区域，应力水平为零；而弹性波前已扫过、塑性波前尚未到达的部分承受的应力刚刚达到材料的屈服应力Y，对应于弹性区；速度较慢的塑性波前扫过的部分具有阶跃载荷的应力水平σ0>Y，对应于塑性区。 图2.5 线性硬化半无限长细杆受阶跃载荷作用 (a) 应力波传播示意图； (b) 应力-应变关系曲线； (c) 位置-时间图 在图2.5(c)中给出了相应的位置-时间图。由之可见，随着时间t的增加未扰动区域逐渐减小，弹性区和塑性区则随时间增长而扩大。 渐减硬化材料受单调增加载荷作用 仍然考虑半无限细长杆的自由端受到载荷作用的情况，但假设材料为渐减硬化材料。如图2.6(a)所示，所谓渐减硬化材料(decreasingly hardening)，是塑性应力随应变增加而增加，即dσdε>0；但塑性区应力-应变曲线的斜率随应变增加而减少的材料，即d2σdε2<0。在单调增加的载荷作用下，开始阶段载荷尚未达到塑性屈服应力Y，因此只有弹性应力波以弹性波速传播。在载荷未达到屈服应力之前，从原点发射出的不同幅值的弹性应力波以相同的速度向右传播。在图2.6(b)的位置-时间图中，弹性波表现为一系列互相平行的直线。而当载荷增大到屈服应力以上之后，塑性波开始形成并在杆中传播。由于材料是渐减硬化材料，塑性波速随着应变增加而逐渐降低，即后发出的塑性波(高应力-应变水平)的波速要低于先发出的塑性波；因此，在位置-时间图中，塑性波表现为一系列斜率渐增的直线，先发出的塑性波斜率小(代表波速快)，后发出的塑性波斜率大(代表波速慢)，造成图中塑性波传播线是逐渐分散的。这就表明，此时塑性波是弥散的，在传播过程中不能保持其原有波形。 图2.6 渐减硬化材料受单调增加载荷作用 (a) 应力-应变关系曲线； (b) 位置-时间图 渐增硬化材料受单调增加载荷作用 与渐减硬化材料相对应，现在考虑渐增硬化材料受单调增加载荷作用时候的应力波传播规律。如图2.7(a)所示，所谓渐增硬化材料(increasingly hardening)，是塑性应力随应变增加而增加，即dσdε>0，同时塑性区应力-应变曲线的斜率随应变增加也增加的材料，即d2σdε2>0。在单调增加的载荷作用下，在载荷未达到屈服应力Y之前，发出的弹性应力波以相同的速度向右传播。在图2.7(b)的位置-时间图中，弹性波表现为一系列互相平行的直线。而当载荷增加到屈服应力以上之后，塑性波开始形成并在杆中传播。由于材料是渐增硬化材料，随着应变增加塑性波速也逐渐增加，即后发出的塑性波(高应力-应变水平)的波速要高于先发出的塑性波，因此在位置-时间图中，塑性波表现为一系列斜率渐减的直线，先发出的塑性波斜率大(代表波速慢)，后发出的塑性波斜率小(代表波速快)，最终造成图中塑性波传播线是汇聚的。 图2.7 渐增硬化材料受单调增加载荷作用 (a) 应力-应变关系曲线； (b) 位置-时间图 由于后面的塑性波传播得比前面的快，就会逐渐追上前面的塑性波。这种情况会造成波形前沿变得陡峭，因此最终形成冲击波(shock wave). 如图2.8所示，在t=t1时刻，固体中的波具有一个比较平滑的波形；由于位于A点后面的应力更大的B点具有更大的波速，随着时间增加到t2, B点与A点距离更近，此时刻波形的前沿比t1时更陡峭；总可以找到一个时刻t3，原来位于后面B点追上A点，形成了一个冲击波的前沿。 图2.8 冲击波的形成示意图 这里介绍的冲击波的形成条件是固体为渐增硬化材料，这在均匀的工程材料中并不多见。但是，近年来轻质结构和能量吸收结构中常用的多胞材料(cellular material)，包括格栅、蜂窝、泡沫等多胞结构，它们的等效应力-应变曲线从平台段到压实段具有向下凹的特征，也就是具有图2.7(a)所示渐增硬化材料的特点，因此它们在冲击加载下会产生汇聚的塑性波，以至出现冲击波。 卸载波 在不考虑卸载的情况下，非线性弹性材料和弹塑性材料没有区别。在考虑卸载以后，弹塑性材料是按弹性斜率卸载的，即在卸载过程中有dσdε=E。这表明，卸载扰动也是以弹性波速传播的。对一般情形，除了已经讨论过的加载条件下的弹塑性波以外，还需要考虑波速为弹性波速c0=E/ρ0的卸载波的作用。 现在以线性硬化材料制成的半无限长细杆受到矩形脉冲载荷σ0>Y的作用为例来分析卸载波的影响。如图2.9所示，在加载阶段，弹性波和塑性波的影响和前面所分析的完全相同。但在t=td时刻，在承受载荷的自由端将应力水平卸载为零。这个卸载过程也产生一个扰动，由此产生的卸载波以弹性波速c0向右传播。由于弹性波速c0大于塑性波速cp，卸载的弹性波将追上加载塑性波，并对塑性波进行卸载。在t=tu时刻，塑性波被完全卸载。 图2.9 线性硬化材料中的卸载波 (a) 应力-应变关系曲线； (b) 位置-时间图 初始时刻t=0在杆的自由端加一个矩形应力脉冲σ(t)。在t