第1章chapter 1随机事件及其概率
1.1 随机试验、随机事件及样本空间
1.1.1 随机现象与统计规律性
人们在自然界和社会实践活动中所遇到的各种现象大体可以分为如下两类： 
一类是在一定的条件下，必然会出现某种确定结果的现象.例如，向上抛一粒石子，由于地球引力的作用，石子上升到一定高度后必定会下落.这类现象称为确定性现象(或必然现象).确定性现象大量存在于自然现象和社会现象中.例如，在没有任何外力作用的条件下，物体必定保持静止或匀速运动状态；异性电荷必定相互吸引，等等，这些都是确定性现象.
另一类则是在基本条件相同的情况下，可能会出现不同的结果，而且在结果出现之前不能预知确切结果的现象.例如，在基本条件相同的前提下抛同一枚硬币，结果可能是正面向上，也可能是反面向上，在硬币落地前不能预知究竟哪一面向上.这类现象称为随机现象(或偶然现象).随机现象也广泛存在于自然现象和社会现象中.例如，用同一测量工具测量同一物体的长度，每次测量的结果会有一定的差异，在测量结果出来之前不能预知确切的测量值；用同一门火炮向同一目标进行射击，各次弹落点不尽相同，在一枚炮弹落地前不能预知其确切的落点，等等，这些都是随机现象.
由于随机现象具有多种(两种或两种以上)可能的结果，而且事先不知道究竟会出现哪一种结果，因此随机现象似乎是杂乱无章、难以捉摸的.然而，通过长期实践、观察和深入研究，人们发现虽然从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但大量重复观察某个随机现象，其结果会呈现出某种固有规律性.例如，大量重复抛一枚硬币，正面向上与反面向上的次数大体相同；用同一门火炮向同一目标进行多次射击，虽然各次弹落点不尽相同，但大量炮弹的弹着点会按照一定的规律分布；用同一测量工具多次测量同一物体的长度，虽然每次测量的结果会有一定的差异，但测量结果的平均值会随着测量次数的增加逐渐稳定于某一常数，等等.随机现象在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律是客观存在的.数学家们通过对各种随机现象进行深入研究，取得了极其丰富的重要成果，形成了若干门研究随机现象的学科.概率论就是其中的基础学科，它在自然科学、社会科学、工程技术，乃至人们的日常生活中都有着广泛而重要的应用.
1.1.2 随机试验
我们是通过研究随机试验来研究随机现象的.概率论中将具有如下3个特点： 
(1) 可重复性： 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 多结果性： 每次试验的可能结果不止一个，并且全部可能结果都是明确可知的；
(3) 不确定性： 每次试验之前不能确定会出现哪一个结果.
具有上述3个特点的一切试验或观察称为随机试验，简称试验.通常用字母E表示表示随机试验. 下面给出一些随机试验的例子.
E1:  抛一枚硬币，观察正面(记为H)、反面(记为T)出现的情况；
E2:  将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况；
E3:  将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数；
E4:  掷一粒骰子，观察出现的点数；
E5:  记录某电话交换台1min内接到的呼叫次数；
E6:  在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命；
E7:  向平面区域D={(x,y)|x2+y2≤9}内随机投掷一点，观察落点P的坐标(假设点一定落在D上).
1.1.3 样本空间与随机事件
为了用现代数学方法描述和研究随机现象，奥地利数学家米泽斯(Richard von Mises)于1928年引进了样本空间的概念.
随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，一般记为ω；随机试验E的全体样本点的集合称为E的样本空间，一般记为Ω.
由于随机试验的所有可能结果是明确可知的，因此一个试验的样本点和样本空间是可以确定的.易知，上述7个试验的样本空间分别为： 
Ω1={H,T}; 
Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}; 
Ω3={0, 1, 2, 3}; 
Ω4={1, 2, 3, 4, 5, 6}; 
Ω5={0, 1, 2, 3,…}; 
Ω6={t|t≥0}; 
Ω7={(x, y)|x2+y2≤9}.
只包含有限个样本点的样本空间，如上述Ω1, Ω2, Ω3, Ω4，称为有限样本空间.只包含可列个样本点的样本空间，如上述Ω5，称为可列样本空间.有限样本空间和可列样本空间统称为离散样本空间.全部样本点可以充满某个区间(或区域)的样本空间，如上述Ω6, Ω7，称为连续样本空间.
需要注意的是： 一个试验的样本点和样本空间是由试验的目的所决定的.例如，在E2和E3中，虽然都是将一枚硬币抛三次，但由于试验目的不一样，其样本点和样本空间也不一样.
进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的样本点组成的集合.例如，若规定某种灯泡的寿命(单位： h)小于500为次品，则在E6中我们关心灯泡的寿命t是否满足t≥500.满足这一条件的样本点构成Ω6的一个子集A={t|t≥500}.我们称A为E6的一个随机事件.显然，当且仅当子集A的一个样本点出现时，有t≥500，即A发生.
一般地，我们称随机试验E的样本空间Ω的子集为E的随机事件，简称事件严格地说，事件是指Ω中的满足某些条件的子集.当Ω是可列样本空间时，Ω的每个子集都可作为一个事件.若Ω是连续样本空间，则某些子集必须排除在外，只有满足一定条件的子集才能作为事件（详见1.2.4节）.幸而这种必须排除在外的子集在实际应用中几乎不会遇到.今后，每当我们讲到一个事件时，都假定它是满足事件所规定的那些条件的子集..在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.只包含一个样本点的事件称为基本事件.包含多个样本点的事件称为复合事件.随机事件一般用大写英文字母A,B,C,…表示.
Ω是其自身的子集，它包含所有的样本点，在每次试验中总是发生，称为必然事件.是Ω的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不发生，称为不可能事件.
例如，在E4中，A:  “掷得1点”, B:  “掷得奇数点”, C:  “掷得点数不超过6" , D:  “掷得7点”均为事件，其中A={1}是基本事件，B={1, 3, 5}是复合事件，C=Ω4是必然事件，D=是不可能事件；在E6中，G:  “灯泡的寿命大于500h小于1000h" ，即G={t|500<t<1000}是复合事件.
由此可见，样本空间的引入使得对随机事件的研究转化成了对集合的研究，这样就架起了概率论与集合论之间的桥梁.
1.1.4 事件间的关系及运算
既然事件是集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合论中集合之间的关系和运算来表示和处理.下面给出集合论中一些常用关系和运算在概率论中的提法，并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率论中的解释.
设随机试验E的样本空间为Ω, A, B, Ak(k=1, 2, …)是Ω的子集，且为E的事件.
1. 事件的包含与相等
若AB，则称事件B包含事件A(也称A是B的子事件)，指的是事件A发生必然导致事件B发生.
若AB且AB，即A=B，则称事件A与事件B相等.
2. 和事件
A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}称为事件A与事件B的和事件，指的是“事件A与事件B至少有一个发生”.A∪B也可记为A+B.
类似地，∪nk=1AkdefA1∪A2∪…∪An称为n个事件A1, A2, …, An的和事件； ∪∞k=1AkdefA1∪A2∪…称为可列个事件A1, A2, …的和事件.
3. 积事件
A∩B={ω|ω∈A且ω∈B}称为事件A与事件B的积事件，指的是“事件A与事件B都发生”.A∩B也记为AB.
类似地，∩nk=1AkdefA1∩A2∩…∩An称为n个事件A1, A2, …, An的积事件；∩∞k=1AkdefA1∩A2∩…称为可列个事件A1, A2, …的积事件.
4. 差事件
A-B={ω|ω∈A且ωB}称为事件A与事件B的差事件，指的是“A发生而B不发生”.
5. 互不相容事件(互斥事件)
如果AB=，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件，指的是“A, B两事件不能同时发生”.
考虑事件A1, A2, …, An(, …)，如果对任意i≠j,AiAj＝，则称A1, A2, …, An(, …)两两互斥，或两两互不相容.
6. 对立事件(逆事件)
若A∪B=Ω且AB=，则称事件A与事件B互为对立事件，或事件A, B互为逆事件，指的是“在一次试验中，事件A, B必有一个发生且只有一个发生”.事件A的逆事件一般记为.
易知，对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件.
为帮助读者理解和记忆概率论中关于事件的一些概念和符号，现将其与集合论中的相应概念对照列成表1.1.1.表1.1.1 事件与集合对照表符 号概 率 论集 合 论Ω样本空间，必然事件全集不可能事件空集ω∈Ω样本点元素{ω}基本事件单点集续表符 号概 率 论集 合 论AB事件B包含事件A(事件A发生导致B也发生)A是B的子集A=BA与B相等A与B相等AB=A与B不相容A与B无公共元素A的对立事件(A不发生)A的补集A∪BA与B的和事件(A与B至少有一个发生)A与B的并集A∩BA与B的积事件(A与B同时发生)A与B的交集A-BA与B的差事件(A发生而B不发生)A与B的差集  以上事件之间的关系和运算可以用文氏(Venn)图来直观表示.若用平面上的一个矩形表示样本空间Ω，矩形内的点表示样本点，圆A与圆B分别表示事件A与事件B，则A与B的关系和运算如图1-1中(a)～(f)所示.
图 1-1
7. 事件的运算律
事件的运算满足下面4条运算律.设A, B, C为事件，则有：
(1) 交换律： A∪B=B∪A,  AB=BA; 
(2) 结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C,  A(BC)=(AB)C=ABC; 
(3) 分配律： A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C), 
A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC; 
(4) 德·摩根律(De Morgan):  A∪B=∩,  A∩B=∪.
德·摩根律可以推广到有限个以及可列个事件的情形，即有： ∪ni=1Ai=∩ni=1Ai,  ∩ni=1Ai=∪ni=1Ai; 
∪∞i=1Ai=∩∞i=1Ai,  ∩∞i=1Ai=∪∞i=1Ai.  例1.1.1 从一批产品中任取5件进行检查，用Ai表示“发现i件次品”(i=0,1,…,5)，则： 
(1) “发现2到3件次品”(设为事件B)可表示为： B=A2∪A3; 
(2) “最多发现2件次品”(设为事件C)可表示为： C=A0∪A1∪A2; 
(3) “至少发现1件次品”(设为事件D)可表示为： D=A1∪A2∪…∪A5; 
(4) “未发现次品”可表示为： =A0.
例1.1.2 考虑如图1-2所示的电路，以A表示事件“信号灯亮”, B, C, D分别表示事件： 继电器接点I, II, III闭合，试以B, C, D表示A.图 1-2

解 在图1-2所示的电路中，信号灯亮当且仅当接点I闭合且II与III中至少有一个闭合，因此由事件的运算，易得A=B∩(C∪D).  例1.1.3 设A, B是两事件，证明： 
(1) B=AB∪B,且AB与B互不相容；
(2) A∪B=A∪B，且A与B互不相容.
证明 (1) B=ΩB=(A∪)B=AB∪B.
因为(AB)(B)=ABB=A(B)B=A(B)B=(A)(BB)=,所以AB与B互不相容.
(2) A∪B=(A∪AB)∪B=A∪(AB∪B)=A∪B.
因为A(B)=(A)B=,所以A与B互不相容.
1.2 概率的定义及性质
1.2 概率的定义及性质我们研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性的大小.表征随机事件发生的可能性大小的数量指标称为概率.事件A的概率记为P(A).概率的概念形成于16世纪，但此概念最早由何人在何时提出已难考证.概率是一个发展的概念，如何定义事件的概率是概率论中长期关注的最基本的问题之一.下面我们分别介绍历史上先后出现的概率的统计定义、概率的古典定义、概率的几何定义以及概率的公理化定义4种定义.
1.2.1 概率的统计定义1. 频率的定义及基本性质  定义1.2.1 设E为一个随机试验，A是E的一个事件.在相同条件下，将E进行n次.在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数；比值nA/n称为事件A发生的频率，记为fn(A).
由上述定义，易见频率具有下列基本性质： 
(1) 非负性:  fn(A)≥0;
(2) 规范性:  fn(Ω)=1;
(3) 有限可加性:  若A1, A2, …, Am是两两互不相容的事件，则fn∪mi=1Ai=∑mi=1fn(Ai).2. 频率的稳定性及概率的统计定义
事件A的频率表示A发生的频繁程度.一般地，如果A在一次试验中发生的可能性即A的概率P(A)越大，那么在多次重复试验中A出现的就会越频繁，即A的频率越大；反之，A的频率越大，意味着A在一次试验中发生的可能性，即A的概率P(A)越大.因此频率与概率有紧密的关系.在实际中，常常把频率作为概率的近似值.但是用频率作为概率的定义却是行不通的，因为事件A在一次试验中的概率应是唯一确定的，但频率却具有波动性.
例如，考虑“抛硬币”试验.假设将一枚硬币抛5次、50次、500次各为一个试验，每个试验都重复做10次，得到数据如表1.2.1所示(其中nH表示H发生的频数，fn(H)表示H发生的频率).  表 1.2.1实验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494  从这些数据可以看出： (1)频率具有随机波动性，即对于同样的n，所得的fn(H)不尽相同； (2)抛硬币的次数n较小时，频率fn(H)随机波动的幅度较大；但随着n的增大，频率fn(H)的值呈现出某种稳定性.即当n逐渐增大时，fn(H)总是在0.5附近波动，且逐渐稳定于0.5.
历史上有不少名人曾进行过大量抛硬币的试验，表1.2.2列出了一些著名的结果.  表 1.2.2实 验 者nnHfn(H)德·摩根(De Morgan)204810610.5181蒲丰(Buffon)404020480.5069皮尔逊(Karl Pearson)1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005  类似的例子可以举出很多.大量试验表明： 随着重复试验的次数n逐渐增大，事件A的频率fn(A)会逐渐稳定于一个介于0和1之间的常数p附近，我们称该常数p为频率fn(A)的稳定值，并将之定义为事件A的概率，即P(A)=p.这一定义称为概率的统计定义.米泽斯于1919年以公理化的方式给出了这种定义.这种确定概率的方法称为统计方法.例如，在上述抛硬币的例子中，由概率的统计方法，我们可以认为P(H)=0.5.
显然，概率的统计定义有其局限性.例如，在实际工作中，人们无法把一个试验无限次地重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的.但概率的统计定义为我们提供了概率的一个可供想象的具体值；一种近似计算概率的方法，即当试验次数n充分大时，可以用频率fn(A)作为A的概率P(A)的近似值；并且给出了一种估计概率的方法.例如，在人口的抽样调查中，根据随机抽取的一部分人口的资料可以估计全国人口受教育程度的各种百分比；在工业生产中，根据随机抽取的一部分产品的检验结果可以估计整批产品的次品率；在医学方面，根据临床试验积累的资料可以估计一种新药对某种疾病的有效率；等等.另外，概率的统计定义还为我们提供了一种检验理论或假设正确与否的依据.设想根据某一理论或假设算出了某事件A的概率p，我们可以通过试验来分析这一理论或假设是否与实际相符： 进行大量重复试验得到事件A的频率fn(A)，如果fn(A)与p接近，则可以认为试验结果支持了该理论或假设；如果二者相差较大，则可怀疑该理论或假设的正确性.
1.2.2 概率的古典定义
在随机试验中，我们常常遇见这样一类简单的随机试验： 它的全部可能的基本结果只有有限个，而且每个基本结果发生的可能性相同.例如上节的E1和E4.这类试验就是所谓的古典概型.
1. 古典概型
定义1.2.2 若试验E具有如下特征： 
(1) 有限性： 试验只有有限个基本结果，即其样本空间只包含有限个样本点；
(2) 等可能性： 每次试验中，各个基本事件发生的可能性相同，
则称试验E为古典概型(或有限等可能概型).
古典概型在概率论发展的初期即被注意和研究，许多最初的概率论结果也是对它作出的.在古典概型中，事件的概率容易被合理地定义和有效地计算.
2. 概率的古典定义
定义1.2.3 设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成，事件A由k个样本点组成. 则定义事件A的概率为P(A)=k/n=A包含的样本点数/Ω中的样本点总数.(1.2.1)  法国数学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace)曾经在1812年把上式作为概率的一般定义.现在通常称之为概率的古典定义，因为它只适用于古典概型.这种确定概率的方法称为古典方法.
由定义不难看出古典概率具有下列基本性质： 
(1) 非负性:  对于任一事件A，总有P(A)≥0; 
(2) 规范性:  P(Ω)=1; 
(3) 有限可加性:  若A1, A2, …, Am是两两互斥的事件，即对于i≠j, AiAj=, i, j=1, 2, …, m，则P∪mi=1Ai=∑mi=1P(Ai).  证明 性质(1)、性质(2)显然成立.下面证明性质(3).
设样本空间Ω含n个基本事件，Ai含有ri个基本事件，i=1,2,…,m.由概率的古典定义可得P(Ai)=rin.由于A1, A2, …, Am两两互斥，所以∪mi=1Ai包含∑mi=1ri个样本点，于是P∪mi=1Ai=∑mi=1rin=∑mi=1rin=∑mi=1P(Ai).3. 古典概率的计算
例1.2.1(抛币问题) 将一枚硬币抛三次.求事件A1=“恰有一次出现H" , A2=“三次出现同一面”的概率.
解 考虑1.1节中的E2，其样本空间Ω2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}，而A1={HTT, THT, TTH}, A2={HHH, TTT}.
Ω2中只包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，故由(1.2.1)式得P(A1)=3/8, P(A2)=2/8=1/4.  注意，若考虑1.1节中的E3，其样本空间Ω3={0, 1, 2, 3}.如果我们认为抛一次硬币出现正面与反面是等可能的，那么E3中各个基本事件发生的可能性会不相同，因此不能用(1.2.1)式来计算P(A1)和 P(A2).
当样本点总数较多时，一般不再将样本点一一列出，而只需分别求出样本点总数和A中的样本点个数，再由(1.2.1)式算出P(A)即可.但并不是所有古典概型中事件的概率都容易计算.事实上，古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧，计算的要点是确定样本点，并准确计算样本点总数以及目标事件所包含的样本点个数.在这些计算中，经常要用到一些排列组合公式.
我们知道全部组合分析公式的推导基于下面两条原理： 
(1) 加法原理 设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，……，第m种方式有nm种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.
(2) 乘法原理 设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，……，第m个步骤有nm种方法，必须通过每一步骤，才算完成这件事，则完成这件事共有n1×n2×…×nm种不同的方法.
4. 几个常用的排列、组合公式
(1) 从n个不同元素中无重复地抽取k个(1≤k≤n)进行排列，不同排列的总数(称为排列数)为Akn=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=n!(n-k)!.这种排列称为选排列(Akn也记为Pkn).当k=n时，称为全排列.n个元素的全排列数为Ann=Pnn=n(n-1)(n-2)…2×1=n!.  (2) 从n个不同元素中有重复地抽取 k个(1≤k≤n)的排列数为n·n·…·n=nk.  (3) 从n个不同元素中任取 k个(1≤k≤n)得到一个组合，不同组合的总数(称为组合数)为Ckn=Aknk!=n!(n-k)!k!.Ckn也记为n
k，称为组合系数.
(4) n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的不同分法的总数为
n!r1!r2!…rk!, r1+r2+…+rk=n.
例1.2.2(有放回抽样与无放回抽样) 一袋子中装有N个球，其中N1个是白球，N2个是红球，分别采用“无放回”和“有放回”两种方式从袋子里任取a+b个球，试求其中恰有a个白球b个红球的概率.
解 设A表示事件“取到的a+b个球中恰好有a个白球b个红球”.
(1) 无放回抽样情形 无放回地从N个球中取出a+b个，可以有两种理解： 
① 一次取出a+b个球；
② 一次取一个，不放回，取a+b次.
对于①，每取一次就得到一个基本事件，只观察颜色不分顺序，所以样本点总数n=Ca+bN.要使A发生，必须从N1个白球中任取a个，从N2个红球中任取b个.根据乘法原理，A所包含的样本点数m=CaN1CbN2.于是所求概率为P(A)=CaN1CbN2Ca+bN.  对于②，一次取一个，不放回，这时取a+b个球是有顺序的(排列)，因此样本点总数n=Aa+bN.A可分解为如下过程： 在a+b个位置中，任选a个放白球，剩下的放红球，于是，A所包含的样本点数m=Caa+bAaN1AbN2.于是所求概率为P(A)=Caa+bAaN1AbN2Aa+bN=(a+b)!a!b!AaN1AbN2/Aa+bN
=AaN1a!AbN2b!Aa+bN(a+b)!=CaN1CbN2/Ca+bN.  由此可知，上述两种取球模式是一样的.
(2) 有放回抽样情形 此时只能一个一个地取，这是可重复的排列问题，样本点总数n=Na+b.类似于上面②的分析可得A所含样本点数m=Caa+bNa1Nb2.于是所求概率为P(A)=Caa+bNa1Nb2Na+b.  例1.2.3(盒子模型) 设有n个球，每个球都等可能地被放入N个不同盒子(n≤N)中的任一个里，每个盒子容量不限.求： 
(1) 某指定的n个盒子中各有一球的概率p1; 
(2) 恰有n个盒子中各有一球的概率p2; 
(3) 某个指定的盒子中恰有k个球的概率p3.
解 因为每个球都可放到N个盒子中的任一个里，所以放n个球的方式共有Nn种，且每种放球方式是等可能的.
(1) 因为n个盒子已经指定，所以事件“这n个指定的盒子中各有一球”所包含的样本点数为n!.于是p1=n!/Nn.  (2) 与(1)的差别在于这n个盒子可以在N个盒子中任意选取，因此事件“恰有n个盒子中各有一球” 所包含的样本点数为CnNn!=AnN.于是p2=AnN/Nn=N!/Nn(N-n)!.  (3) 该指定盒子中的k个球可以在n个球中任选，其他的n-k个球等可能地落在另外的N-1个盒子中，因此事件“某个指定的盒子中恰有k个球”所包含的样本点数为Ckn(N-1)n-k.于是p3=Ckn(N-1)n-k/Nn.  表面上看，盒子模型讨论的是球与盒子的问题，似乎是一种游戏，但实际上我们可以将这个模型应用到很多实际问题中.譬如，若将球解释为“粒子”，把盒子理解为相空间中的小“区域”，这里球是可辨的，则这个模型讨论的就是统计物理学中的麦克斯韦-玻尔兹曼(Maxwell-Boltzmann)统计问题；若假定球不可辨，则这个模型讨论的就是玻色-爱因斯坦(Bose-Einstein)统计问题；若假定球不可辨，且每个盒子最多只能容纳1个球，则本模型讨论的又是费米-狄拉克(Fermi-Dirac)统计问题参见文献\ p.31～32..
下面我们用盒子模型来讨论概率论历史上颇为有名的“生日问题”.
例1.2.4(生日问题) 假定每个人的生日等可能地取365天中的任何一天，求“n(n≤365)个人中至少有两人生日相同”的概率.
解 将n个人看成是n个球，一年365天看成是N=365个盒子，则“n个人的生日各不相同”就相当于“恰有n(n≤N)个盒子中各有一球”.所以，由上例知， "n个人的生日各不相同”的概率为pn=An365365n=365!365n(365-n)!. "n个人中至少有两人生日相同”的概率为qn=365n-An365365n=1-An365365n=1-365!365n(365-n)!.  表1.2.3列出了n取一些不同值时的计算结果.  表 1.2.3n1020232430405060100pn0.8840.5890.4930.4620.2940.1090.0300.0060.9999997qn0.1160.4110.5070.5380.7060.8910.9700.9940.0000003  由表1.2.3可知， "23个人中至少有两人生日相同”的概率已经超过了50%;  "60个人中至少有两人生日相同” 的概率超过了99%;  "100个人中至少有两人生日相同”的概率几乎就是100%.这些结果可能是出人意料的.另外，人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中几乎是不发生的”(这就是所谓的小概率原理).因此， "100个人的生日各不相同”几乎是不可能出现的，因为它发生的概率只有大约3/107.
例1.2.5(抽签与顺序无关) 一口袋中装有a个白球b个红球，现有a+b个人依次无放回地从中各取一球.求第k(1≤k≤a+b)个人取到白球的概率.
解法1 设想a+b个人取到的球依次排成一列，那么每种排列就是一个基本结果，因此样本点总数是a+b个元素的全排列数(a+b)!，第k个人取到白球，也就是第k个位置上放一个白球，该白球可以是a个白球里的任一个，因此共有a种选择.其余a+b-1个球在a+b-1个位置上任意排列，共有(a+b-1)！种排法.因此事件“第k个人取到白球”所包含的样本点个数为C1a(a+b-1)!.于是，所求概率为pk=C1a(a+b-1)!(a+b)!=aa+b.  解法2 本问题有另外一种解法.设想a+b个人取a+b个球相当于将a+b个球随机放入a+b个盒子中，每个盒子只许放1个球.我们关心的是哪a个盒子放有白球(另外b个盒子一定放黑球).这样，样本点总数为Caa+b，而第k个盒子放白球共有Ca-1a+b-1种选择.于是所求概率为pk=Ca-1a+b-1Caa+b=aa+b.  这两种解法的答案相同(为什么会相同？请读者思考).值得注意的是，概率pk与k无关，也就是说尽管取球的先后次序不同，但每个人取到白球的概率是一样的.这一结果也说明购买彩票时各人中奖的机会一样；抽签结果与抽签顺序无关(正因如此人们经常采用抽签的方法来体现公平性)，等等.不难看出，如果采用有放回的取球方式，本问题的答案不变.
1.2.3 概率的几何定义
利用概率的古典定义，可以成功地计算古典概型中事件的概率.但是，在概率论发展以后不久人们就注意到了这种定义的局限性.古典概型要求有限样本空间且每个基本事件发生的可能性相同.然而人们经常会遇到样本样本点总数无限且具有等可能性的情况，这时概率的古典定义显然是不适用的，但将概率的古典方法进行推广，就可以得到解决这类问题的几何方法.
1. 几何概型与概率的几何定义
为便于理解，我们从几个简单的例子入手.
例1.2.6 某人午觉醒来发现表停了，他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间短于10min的概率.
例1.2.7 假定在10000km2的沙漠下掩埋着一座面积为10km2的古城遗址.如果在这片沙漠中随机选定一点进行挖掘，问能挖到这座古城的概率是多少？
例1.2.8 如果在400mL自来水中有一个大肠杆菌，那么从中随机取2mL水样，其中含有大肠杆菌的概率是多少？
一种相当自然的答案是认为例1.2.6中所求概率为1/6，例1.2.7中所求概率是10/10000，例1.2.8中所求概率是1/200.其实，在得到这些概率时，我们就假定了某种等可能性，并采用了概率的几何方法.
在例1.2.6中，因为电台每小时报时一次，我们自然认为这个人打开收音机的时刻处于两次报时，比如说13:  00到14:  00之间，而且取其间各个时刻的可能性一样.由于只有当他打开收音机的时刻在13:  50到14:  00之间时，等待时间才少于10min，所以相应概率为10/60=1/6.
在例1.2.7中，由于选点的随机性，可以认为这片沙漠中各点被选中的可能性是一样的，因此所求概率等于古城遗址面积与整片沙漠面积之比，即为10/10000=1/1000.
同样地，例1.2.8中由于抽取水样的随机性，所求概率等于水样体积与总体积之比，即为2/400=1/200.
上述3个例子均是所谓的几何概型.一般地，我们有如下定义.
定义1.2.4 如果试验E具有如下特征： 
(1) 样本空间是某一个测度(指长度、面积、体积等)有限的一维、二维、三维甚至n维区域Ω; 
(2) 试验结果落在Ω的任一子区域g内的概率与g的测度成正比，与g的位置和形状无关.
则称E为几何概型.若E的事件A所包含的样本点充满Ω的某个子区域gA，则A的概率定义为P(A)=gA的测度Ω的测度.(1.2.2)上式称为概率的几何定义，这种确定概率的方法就是所谓的几何方法.由概率的几何定义可知概率具有如下基本性质： 
(1) 非负性:  对于每一个事件A，有P(A)≥0; 
(2) 规范性:  P(Ω)=1; 
(3) 可列可加性:  若A1, A2, …, Am, …是两两互不相容的事件，则P∪∞i=1Ai=∑∞i=1P(Ai).上述可列可加性也称为完全可加性.
2. 几何概率的计算
几何概率的计算要点是用适当的点集表示样本空间及目标事件，并确定其测度.
例1.2.9(会面问题) 甲、乙两人相约于某时间段T内在某地会面，并约定先到者应等候另一人，经过时间t(t<T)后方可离去.设甲、乙两人在时间段T内的任一时刻到达约会地点的可能性相同.试求这两人会面的概率.
解 设甲、乙到达约会地点的时刻分别为x, y，依题意有Ω={(x,y)|0≤x≤T,0≤y≤T},
A={(x,y)||x-y|≤t,(x, y)∈Ω},于是如图1-3所示，所求概率P(A)=阴影部分的面积正方形的面积=T2-(T-t)2T2=1-1-tT2.  由此可见，当t固定时，减少T可以增大会面的概率；当T固定时，增大t可以增大会面的概率.因此，我们可以通过改变T或t的值，调整会面成功的概率.
在历史上出现过不少著名的几何概型问题，下面的投针问题就是其中之一.这个问题是由法国科学家蒲丰于1777年在其著作《道德算术》中提出的，它开创了几何概率研究的先河.
图 1-3
图 1-4
例1.2.10(蒲丰投针问题) 如图1-4(a)所示，平面上等间距a画着一些平行线，向此平面任意投掷一枚长度为l(l<a)的针，试求此针与任一平行线相交的概率.
解 这是一个几何概率的问题.设A表示事件“此针与任一平行线相交”, M为针的中点，x是M与最近的平行线的距离，φ表示针与此线的夹角，则
Ω={(x, φ)|0≤x≤ a/2, 0≤φ≤π},  A=(x,φ)|0≤x≤l2sinφ,(x,φ)∈Ω.
于是，如图1-4(b)所示P(A)=A的面积Ω的面积=∫π0l2sinφdφaπ/2=2lπa.  这是一个非常有意思的结果，因为它含有重要常数π.由此可知，如果针长l和线距a已知，则以π的值代入上面的公式，即可算得P(A)的值；反之，如果已知P(A)的值，那么我们也可以利用上式来求π的值.1812年，拉普拉斯在《分析概率论》中重提“投针问题”，并指出根据该问题的答案，可以通过大量投针试验的结果求出π的近似值.事实上，由概率的统计定义知，当投针次数n很大时，可以用针与线相交的频率m/n作为针与线相交的概率P(A)的近似值，从而求得π的近似值，即π≈2Lnam.  历史上有一些学者曾经亲自做过这个试验，并据此得到了π的近似值.表1.2.4记录了其中一些结果.表1.2.4 投针试验的历史资料\实 践 者年份l/a投针次数相交次数π的试验值Wolf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554De Morgan, C18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1595Lazzerini19010.83340818083.1415929Reina19250.541925208593.1795  值得注意的是这里采用的方法： 设计适当的随机试验，使其中事件的概率与某些我们感兴趣的量有关，然后通过重复试验，并以频率估计概率，得到这些量的近似值.一般来说，试验次数越多，求得的近似值就越精确.随着电子计算机的出现和发展，人们可以利用计算机来模拟进行大量重复随机试验，这种方法得到了迅速的发展和广泛的应用.1946年，美籍匈牙利数学家冯·诺依曼(John Von Neumann)和美籍波兰数学家乌拉姆(Stanislaw Marein Ulam)首先用程序在计算机上模拟中子裂变连锁反应的结果，并用概率统计的方法研究反应后的结果，他们把这个程序命名为“蒙特卡罗程序”，自此兴起了蒙特卡罗(Monte-Carlo)方法，也称为随机模拟法，它在电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中有着重要的应用.
有了古典概型和几何概型的成功，19世纪时，人们曾一度认为只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答.然而，1899年，法国数学教授贝特朗(Joseph Louis Franois Bertrand)却提出了下述的著名问题.
贝特朗悖论 在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？
这是一个几何概率问题.但是，基于对术语“随机地”的含义的不同理解，这个问题存在着多种不同的答案，图1-5所示的就是其中的3种.
图 1-5
解法1 因为弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，所以不妨假定它垂直于某一直径.当且仅当弦与圆心的距离小于1/2，其长才大于3，因此所求概率为1/2，参见图1-5(a).
解法2 任何弦交圆周于两点，不妨设其中一点固定在圆周上，另一点等可能地落在圆周上.以上述固定点为顶点做一等边三角形，显然，只有落入此三角形内的弦才满足要求.由于这种弦的另一端位于该三角形顶角所对应的1/3圆周上，因此所求概率为1/3，参见图1-5(b).
解法3 弦被其中点唯一确定，不妨设弦的中点等可能地落在圆内各点的可能性是一样的.因为当且仅当弦的中点落在半径为1／2的同心圆内时，弦长才大于3，而此圆的面积是大圆面积的1/4，故所求概率应为1/4，参见图1-5(c).
同一问题居然有多种不同的答案！究其原因，是在取弦时采用了不同的等可能性假设： 第一种解法是假定弦的中点在直径上均匀分布；第二种解法是假定弦的端点在圆周上均匀分布；第三种解法则是假定弦的中点在圆内均匀分布.这意味着，上述3种答案实际上对应着3种不同的随机试验！这3种试验的样本空间各不相同，3种答案对于各自的试验而言都是正确的.
贝特朗悖论表明： 在使用“随机”、“等可能”等术语时，应明确规定其含义，以避免因主观因素带来的不同解读.然而，这些术语的含义又因试验而异，很难给出一般性的规定.另外，人们还发现许多随机现象的结果本身并不具有“等可能性”.例如，考虑天平称物的误差，其结果有无穷多个，而这些结果并不具有前述几何概率定义中的“等可能性”.
由于采用“等可能性”来定义概率有这些困难和局限，因此要给出适合一切随机现象的概率的最一般的定义，必须抛开“等可能性”假定以及具体规定概率的做法，选择另外的途径.随着数学的发展，尤其是集合论、测度论以及积分理论等现代数学分支的发展，人们认识到事件的运算与集合的运算完全相同，概率与测度有相同的性质，加之19世纪末以来数学各分支广泛流行的公理化思潮，概率论最终选择了公理化途径，即在定义概率这一基本概念时，只指明概率应当满足的基本性质，而不具体给出概率的确定方法.
现在普遍采用的概率的公理化定义和概率论的公理化体系是苏联数学家柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)在1933年提出的.该定义概括了历史上几种概率定义的共同特性，同时避免了各自的局限性和含混之处，为现代概率论的迅速发展打下了坚实的基础.概率论公理化体系的建立是概率论发展史上的里程碑，从此概率论真正成为了一门有着严格数学基础的数学分支.下面我们简要介绍概率的公理化定义.
1.2.4 概率的公理化定义
在具体的试验中，有些试验的样本空间的所有子集都可以是我们的研究对象即随机事件，有些则不是.例如，在古典概型中，样本空间的所有子集均可求其概率，因此都可以是我们讨论的随机事件；而在几何概型中，样本空间的某些子集是不可求长度、面积或体积的(也就是所谓的不可测集)，因此我们就不能将它们视为随机事件.一般地，对于随机试验E，设其样本空间为Ω，我们将Ω的某些子集作为随机事件，并将这些子集构成的集合簇记为F.考虑到事件的运算以及概率计算的需要，我们要求F对交、并等运算封闭，即F是所谓的事件域.
1. 事件域
定义1.2.5 设试验E的样本空间为Ω, Ω的某些子集组成的集合记为F，如果F满足下列条件： 
(1) Ω∈F, 
(2) 若A∈F，则∈F, 
(3) 若Ai∈F, i=1,2,3,…，则∪+∞i=1Ai∈F, 
则称F为事件域.
值得注意的是，按照这种定义，样本点不一定是事件.另外，虽然在上述定义中只要求事件域F对求逆和可列并运算封闭，但由集合的运算律可知，事实上这时F对交、差等运算也是封闭的.一般地，我们有下述定理.
定理1.2.1 设试验E的样本空间为Ω, F为其事件域，则F满足： 
(1) ∈F;
(2) 若A, B∈F，则 A∩B∈F, A-B∈F; 
(3) 若Ai∈F, i=1,2,3, …,n，则∪ni=1Ai∈F, ∩ni=1Ai∈F; 
(4) 若Ai∈F, i=1,2,3, …，则∩+∞i=1Ai∈F.
这些结果的证明是简单的，请读者自己完成.
下面我们举几个事件域的例子.
例1.2.11 F={Ω, }是事件域，它是最小的事件域.
例1.2.12 F={Ω, A, , }是事件域，它是包含A的最小的事件域.
例1.2.13 若Ω={ω1,ω2,…,ωn}, F由Ω的一切子集构成，则F是事件域，它是Ω的最大的事件域.
例1.2.14 对于一般的Ω, F由Ω的一切子集构成，则F是事件域，它是Ω的最大的事件域.
由此可见，事件域可以很简单，也可以十分复杂.对于实际问题，我们需要根据问题的不同性质来选择适当的事件域.在以后的理论中，我们总是假定F已经选定.
2. 概率的公理化定义
在公理化体系中，概率是针对事件定义的，即对于事件域F中的每一个元素(样本空间的一个子集)A有一个实数P(A)与之对应.一般把这种从集合到实数的映射称为集(合)函数.因此概率是定义在事件域上的一个实值集函数.此外，在公理化体系中只规定概率应满足的性质，而不具体给出它的计算公式或计算方法.
那么概率应该满足哪些基本性质呢？我们知道，频率、古典概率、几何概率都具有非负性、规范性以及可加性，其中频率和古典概率满足有限可加性，而几何概率满足可列可加性.由于一般来说，处理可列个事件的和是完全必要的，因此要求概率满足可列可加性是合理的.于是，我们有下述定义.
定义1.2.6 设F为事件域，P是定义在F上的实值集函数，如果它满足： 
(1) 非负性:  对于任意的A∈F, P(A)≥0; 
(2) 规范性:  P(Ω)=1; 
(3) 可列可加性:  若A1, A2, …, Am, …是两两互不相容的事件，则P∪+∞i=1Ai=∑+∞i=1P(Ai).我们就称P为定义在{Ω, F}上的概率，对于任意事件A，函数值P(A) 称为事件A的概率，三元总体{Ω, F,P} 称为概率空间.
在概率空间{Ω,F,P}中，样本空间Ω、事件域F和概率P都认为是预先给定的，并以此为出发点讨论种种问题.至于实际问题中，如何选定Ω，怎样构造F，怎样给定P，则要视具体情况而定.
例1.2.15 设Ω={ω1,ω2,…,ωn}，事件域F由Ω的一切子集构成.对于任意的A∈F，若规定P(A)=mn，其中m是A包含的样本点个数，则P(·)是定义在F上的实值集函数，而且它满足概率的公理化定义的3条基本性质，因此{Ω, F,P}是概率空间，这正是古典概型的概率空间.
例1.2.15说明，概率的古典定义是包含在概率的公理化定义中的.事实上，概率的公理化定义只规定概率应当满足的性质，并不具体给出其计算公式或计算方法，而统计概率、古典概率、几何概率都满足概率的公理化定义的条件，因此都可以纳入概率的公理化体系之中，把它们看作不同场合下确定事件概率的方法是适当的.另外，由概率的公理化定义易见，前述贝特朗悖论中的3种不同答案，其实分别对应着3种不同的概率空间，因此它们之间也就无矛盾可言了.
例1.2.16 设Ω={0,1,2,…}，事件域F由Ω的一切子集构成.对于任意的A∈F，若规定P(A)=∑k∈Ae-λλkk! (λ>0为常数),  P()=0, 则P(·)是定义在F上的实值集函数，而且P(Ω)=∑+∞k=0e-λλkk!=e-λeλ=1, 对于任意的A∈F, 
P(A)=∑k∈Ae-λλkk!≥0.
若A1, A2, …, Am, …是两两互不相容的事件，则P∪+∞i=1Ai=∑k∈∪+∞i=1Aie-λλkk!=∑+∞i=1∑k∈Aie-λλkk!=∑+∞i=1P(Ai).即P(·)满足概率的公理化定义的3条基本性质，因此{Ω,F,P} 是概率空间.
利用定义1.2.6，可以推出概率的另外一些重要性质.
性质1 P()=0.
证 令An=(n=1,2,…)，则∪+∞n=1An=，且AiAj=,i≠j,i,j=1,2,….由概率的可列可加性得P()=P∪+∞i=1Ai=∑+∞i=1P(Ai)=∑+∞i=1P().由概率的非负性知，P()≥0，故由上式知P()=0.
性质2(有限可加性) 若A1, A2, …, An是两两互不相容的事件，则P∪ni=1Ai=∑ni=1P(Ai).  证 令An+1=An+2=…=，则有AiAj=,i≠j,i,j=1,2,….由概率的可列可加性及上述性质1得P∪ni=1Ai=P∪+∞i=1Ai=∑+∞i=1P(Ai)=∑ni=1P(Ai)+0=∑ni=1P(Ai), 性质2得证.
性质3(逆事件的概率公式) 对于任意事件A,有P(A)=1-P().  证 因为A∪=Ω，且A=，所以由性质2，得1=P(Ω)=P(A∪)=P(A)+P(),性质3得证.
性质4(减法公式) 设A, B是两个事件，若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A),  P(B)≥P(A).  证 由AB知B=A∪(B-A)，且A(B-A)=，再由性质2，得P(B)=P(A)+P(B-A), 所以P(B-A)=P(B)-P(A).又由概率的非负性，有P(B-A)≥0，于是P(B)≥P(A).  
性质5(有界性) 对于任意事件A, P(A)≤1.