1绪 论 1.1 测试技术的发展与研究的内容 知识的获取往往从测量（measurement）开始。人类在其自身的社会发展中创造并发展了测量科学。英国物理学家开尔文勋爵（William Thomson，温度单位K即以他的名字来命名）说过： “凡存在之物，必以一定的量存在。”他又说： “我经常说，当你能测量你在谈及的事物并将它用数字表达时，你对它便是有所了解的；而当你不能测量它，不能将它用数字表达时，你的知识是贫瘠且不能令人满意的。”开尔文勋爵的这两段话指出了测量的广博性，也指出了测量的内涵及其科学性。 人类早期的测量活动涉及对长度（距离）、时间、面积和重量等量的测量。随着社会的进步和科学的发展，测量活动的范围不断扩大，测量的工具和手段不断精细和复杂化，从而也不断丰富和完善了测量的理论。早在公元前3000年，古埃及人出于对工程和生产的需要建立了长度的统一标准--埃尔（Ell) ，他们将当时统治埃及的法老的自肘关节到中指指尖的长度加上他手中一根棕榈枝长的总长度定义为“1埃尔”，并将该长度标准用黑色花岗岩来实现，作为原始长度标准。埃及人在建造众多的祠庙和金字塔的浩大工程中正是使用了这一长度标准。秦始皇在统一六国后便立即建立了统一的度量衡制度。这些都说明了测量对促进当时生产发展和社会进步的重要性。今天，测量已渗透到人类活动的各个领域。从日常生活的“三表”（水表、电表、煤气表）、每日的天气预报、医院中的病人监护设施、汽车中的各种指示仪表，直至宇宙飞船的姿态控制装置、飞机的导航仪表，测量无处不在。科学技术的发展给测量学这一古老的学科注入了新的活力，现代电子技术，尤其是信息技术的发展更进一步推动了测量学科的发展。测量学是一门多学科交叉的边缘学科。毫不夸张地说，任何一门学科都可以在测量学科中找到它的踪迹。反过来说，测量学科的发展也进一步促进了其他学科的发展。 世界已进入信息化时代，信息技术正成为推动国民经济和科技发展的关键技术。信息技术包括计算机、通信和仪器测量技术，而仪器测量技术是对客观世界的信息进行感知的基本技术，因此它是信息技术的源头和基础，具有任何技术不可替代的作用，在当今社会的发展中起着举足轻重的作用。 测量提供有关物理变量和过程的现实状态的定量信息，如果没有测量，对这种现实状态便只能进行估计。测量是对客观世界重新认识的工具，也是对任何理论或设计的最终检验。测量是一切研究、设计和开发的基础，它的作用在工程中十分显著。 所有的工程设计均涉及3个要素： 经验要素、理性要素和实验要素。经验要素基于之前对类似系统的经历，是基于工程人员的一种共同感觉；理性要素依据定量的工程原理和物理定律；而实验要素则以测量为基础，亦即它基于对被开发的装置或过程操作和性能方面的不同量的测量。测量则在被期望的和实际所得到的结果之间提供一种比较。 测量也是控制过程的一个基本元素。当实施一个控制过程时，则要求在实际的和所希望的性能间具有测量到的差别。控制装置必须知道该差别的大小和方向，以此来作出明智的反应。 许多日常的操作要求通过测量来获取正确的性能。如一个现代化的中央发电厂，要求对温度、流量、压力以及振动幅度等量用测量来加以恒定监测，以保证系统的正常工作。此外，测量对于商业也是不可缺少的。商业上各项费用的确定是建立在对材料、动力、时耗和工耗以及其他约束条件的定量分析基础上的。 我们处在一个广大的物质世界中，面对着众多的测量对象和任务，被测的量千差万别、种类各异。但根据被测的物理量随时间变化的特性，可将它们总体地分成静态量和动态量。静态量指静止的或缓慢变化的物理量，对这类物理量的测量称为静态测量；动态量指随时间快速变化的物理量，对它们的测量相应地称为动态测量。测试技术（measurement and testing）是关于测量和试验的技术： 为了保证加工零件的质量，要对机床主轴的振动特性进行监测和分析；飞机在飞行时依靠众多的仪表来测量和指示航向、速度、加速度、里程等一系列数据，从而确保飞机位于正确的航程中；轧钢过程中需要对轧制的带钢厚度及宽度尺寸进行连续自动检测；旋转机械因轴承摩擦磨损而引发的机械故障的诊断和预报……. 本书主要研究对动态量的测量，亦即动态测量的理论、方法及应用。 一个测量或测试系统（measurement system）总体上可用如图1.1所示的原理方框图来加以描述。 图1.1 测试系统原理框图 传感器（sensor,transducer）是测试系统中的第一个环节，用于从被测对象获取有用的信息，并将其转换为适合于测量的变量或信号。如在测量物体受力时使用弹簧秤，其中的弹簧便是一个传感器或敏感元件，它将物体所受的力转换成弹簧的变形--位移量。又如在测量物体的温度变化时，采用水银温度计作传感器，将热量或温度的变化转换为汞柱亦即位移的变化；同样也可采用热敏电阻来测温，此时温度的变化便被转换为电参数--电阻率的变化。再如在测量物体振动时，采用磁电式传感器，将物体振动的位移或振动速度通过电磁感应原理转换成电压变化量。由此可见，对于不同的被测量要采用不同的传感器，由此所依据的构成传感器原理的物理效应便千差万别。对于一个测量任务来说，首先是能够（有效地）从被测对象来取得能用于测量的信息，因此传感器在整个测量系统中的作用十分重要。 信号调理（signal conditioning）是对从传感器所输出的信号作进一步的加工和处理，包括对信号的转换、放大、滤波、存储、重放和一些专门的信号处理。由于从传感器出来的信号往往除有用信号外，还夹杂有各种干扰和噪声，因此在作进一步处理之前必须要将干扰和噪声滤除掉。另外，传感器的输出信号具有光、机、电等多种形式，而对信号的后续处理往往都采取电的方式，因而必须将传感器的输出信号转换为适宜于电路处理的电信号，包括信号的放大。通过信号调理部分的处理，最终希望获得能便于传输、显示和记录以及可作进一步后续处理的信号。 显示和记录（data displaying and recording）部分是将经信号调理处理过的信号用便于人们所观察和分析的介质和手段进行记录或显示。 测试系统是用来测量被测信号的，被测信号在经系统的加工和处理之后以不同的形式在系统的输出端输出。输出信号应该真实地反映原始被测信号，这样的测试过程被称为“精确测试”或“不失真测试”。如何实现一个“精确的”或“不失真”的测试？系统各级应具备什么样的条件才能实现精确的测试？这是测试技术研究的一个主要问题。本书在下面的叙述中将始终围绕精确测试这一主题在各章节展开讨论。 “测试技术”是高等院校机械工程类各专业的一门专业基础课。通过对本课程的学习，要求学生掌握有关测试技术的基本理论和技术，掌握使用测试仪器对不同参数进行测量和分析的方法和手段，从而为进一步研究和处理工程测试技术问题打下基础。因此，本书的重点如下： (1) 信号与信号处理的理论和方法，包括信号的时域和频域的描述方法，信号的频谱分析方法，信号的卷积与相关，数字信号处理的基本理论和方法。 (2) 测试系统的参数及其评价方法，包括测试系统传递特性的时域、频域描述，脉冲响应函数和频率响应函数，一、二阶系统的动态特性描述及其参数的测量方法，不失真测试的条件。 (3) 传感器理论，包括各类常用传感器的原理、结构及性能参数，以及传感器的典型应用。 (4) 信号调理的原理和方法，包括电桥电路，信号的调制与解调，信号的滤波，信号的模/数转换，以及上述各种电路的原理及典型应用。 (5) 常用显示与记录仪器的工作原理及结构，它们的动态性能及应用。 (6) 典型物理量（力、位移、温度、流量、声学）的测试方法与工程应用。 测试技术是一门实践性很强的课程。本课程在理论学习的同时，强调学生实验能力的培养。为此，在每章的学习过程中均安排有实验，使学生通过做实验来进一步加深对所学章节内容的消化和理解，同时培养学生运用测试技术解决工程问题的能力。 1.2 测量的本质和基本前提 广义地讲，测量过程一方面是采集和表达被测物理量，另一方面是与标准作比较。因此测量数值总是与一定的标准紧密相连的。 将度量数字x作为比较量N（标准）的倍数赋予被测量X，则有X=xN(1.1) 从量纲上考虑对应上式有下述公式成立： ［d］=［-］·［d］(1.2)式中，［d］表示量纲；［-］表示无量纲。 式（1.1）和式（1.2）即为测量定义的数学表达。应注意的是，上述操作亦即测量只有在满足以下两个基本前提条件下才能实施： (1) 被测的量必须有明确的定义（definition) ; (2) 测量标准必须通过协议(convention)事先确定。 这两个条件并不是自然地就能被满足的，亦即并非所有的量都有明确的定义。像长度、时间和重量等量是已经被人们明确定义了的，而另外一些量，诸如空调技术中的“环境舒适度”或人的“智力”等，至今也不可能有一致公认的定义，因而在上述意义上是不可测的(unmeasurable). 彼此相互独立的标准称为绝对标准或基本标准(basic standard)。在国际计量大会 (Conférence Générale des Poids et Mésures, CGPM ）上定义了7个基本标准： 长度、质量、时间、温度、电流、光强和原子物理中的物质的量。 1.3 标准及其单位 所有的国家在商业及其他涉及公众利益的范围内都制定有法定计量学的规定条例，这些条例涉及法定计量学的三大范畴： (1) 确定单位和单位制； (2) 确定国家施加影响的范围（测量仪表的校准义务，官方的监督职能和校准能力）; (3) 实施校准和官方监督。 这一体制一方面用于保证正当竞争，另一方面应保护公民免遭不公平的对待或由不正确计量结果所带来的损害。而最重要的是要保护消费者的利益，使之能得到计量准确的商品，并通过对计量仪器提出的最低要求来促进有效的竞争。通常在上述规定范围内所使用的仪器必须经过校验，这种校验多数情况下要事先经过上级计量局的准许，它大多数由国家级机构进行的多级检验所组成，最后盖章完成。 目前各国对给予许可和进行校验所依据的条文的规定还不完全相同，因为它涉及仪表结构和误差的范围。一些国际团体，如作为米制公约组织的国际计量大会、法定计量学国际组织以及欧共体等正努力统一各国的法定条例。 1.3.1 国际单位制及其基本单位 国际计量大会在1960年将大会以前所确定的7个基本单位所组成的系统命名为“国际单位制”，国际上统一缩写为SI (Système International d’Unités) 。这7个基本单位分别赋予7个基本量，经协议规定被认为是彼此独立的（表1.1) . SI基本单位的定义如下： (1) 1米定义为真空中的光在1299792458s（秒）时间内所经过的距离（1983年）。该标准的复制精度可达±10-9. (2) 1千克定义为国际千克原型器的质量（1889年），该国际千克原型器是保存在法国巴黎塞夫勒博物馆中的一根铂铱合金圆柱体。其复制精度可达10-9数量级。 (3) 1秒定义为铯133原子基态的两个超精细能级间的跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间（1967年）. (4) 1安培定义为流经在真空中两根平行且相距1m（米）的无限长直导线（其圆横截面可忽略不计）并能在其每米长导线之间产生0.2×10-6 N（牛）的电动力的不随时间变化的电流量（1948年）. 表1.1 国际单位制的基本量和基本单位 量的名称量 纲SI 单 位单位名称单位符号长度 质量 时间 电流 热力学温度 物质的量 发光强度L M T I Θ N J米 千克 秒 安\ 开\ 摩\ 坎\m kg s A K mol cd (5) 1开尔文定义为水的三相点的热力学温度的1/273.16 (1967年）. (6) 1摩尔定义为一个由确定成分组成的系统，如果它含有粒子的个数等于碳12原子核的121000kg（千克）质量中所含原子的个数，则该系统的物质的量为1摩尔（1971年），此处所述的粒子可以是原子、分子、离子或电子及其特定组合。 (7) 1坎德拉定义为一个在一定方向上发送频率为540×1012Hz（赫兹）的单色光辐射的辐射源，在该方向上的辐射强度为1683W/sr（瓦/立体角）时的光强（1979年）. 1.3.2 国际单位制的导出单位 导出单位从基本单位出发，用乘、除符号以代数式来表达。不同的导出单位有各自专门的名称和专门的单位符号，这些单位名称和单位符号可单独使用，也可和基本单位一起合成进一步的导出单位 . 热力学温度 (T）除用开尔文表示外，也可用摄氏温度（t）表示，定义如下： t=T-T\-0式中规定T\-0=273.15K。摄氏度的单位等于开尔文的单位。 球面度(sr)在本书中作为基本单位来处理。 国际单位制的导出单位分别示于表1.2、表1.3和表1.4. 表1.2 用基本单位表示的SI导出单位 量的名称SI导出单位名 称符号面积 体积 速度 加速度 波数 密度 电流密度 磁场强度 物质的量浓度 \亮度平方米 立方米 米每秒 米每二次方秒 每米 千克每立方米 安培每平方米 安培每米 摩尔每立方米 坎德拉每平方米m2 m3 m/s m/s2 m-1 kg/m3 A/m2 A/m mol/m3 cd/m2表1.3 具有专门名称的SI导出单位 量的名称SI导出单位名 称符号用SI基本单位表示频率 力 压强 能\，功，热量 功率，辐射通量 电荷\ 电压，\ 电容 电阻 电导 磁通\ 磁通密度，磁感应强度 电感 摄氏度 光通量 \照度 \活度 吸收剂量赫\ 牛\ 帕\ 焦\ 瓦\ 库\ 伏\ 法\ 欧\ 西门子 韦\ 特\ 亨\ 摄氏度 流\ 勒\ 贝可\ 戈\Hz N Pa J W C V F Ω S Wb T H ℃ lm lx Bq Gys-1 m·kg·s-2 m-1·kg·s-2 m2·kg·s-2 m2·kg·s-3 s·A m2·kg·s-3·A-1 m-2·kg-1·s4·A2 m2·kg·s-3·A-2 m-2·kg-1·s3·A2 m2·kg·s-2·A-1 kg·s-2·A-1 m2·kg·s-2·A-2 K cd·sr m-2·cd·sr s-1 m2·s-2表1.4 专用名称单位表示的导出单位 量的名称SI导出单位名 称符 号用SI基本单位表示\黏度 力矩 表面张力 熵 比内能 热导率 能量密度 电场强度 电荷\密度 电通\密度，电位移帕秒 牛\米 牛\每米 焦\每开\ 焦\每千克 瓦\每米开\ 焦\每立方米 伏\每米 库\每立方米 库\每平方米Pa·s N·m N/m J/K J/kg W/(m·K) J/m3 V/m C/m3 C/m2m-1·kg·s-1 m2·kg·s-2 kg·s-2 m2·kg·s-2·K-1 m2·s-2 m·kg·s-3·K-1 m-1·kg·s-2 m·kg·s-3·A-1 m-3·s·A m-2·s·A介电常数 磁导率 摩尔内能 摩尔熵,摩尔热容法\每米 亨\每米 焦\每摩\ 焦\每摩\开\F/m H/m J/mol J/(mol·K)m-3·kg-1·s4·A2 m·kg·s-2·A-2 m2·kg·s-2·mol-1 m2·kg·s-2·K-1·mol-11.3.3 单位的十进制倍数和小数 表1.5列出的国际单位制词头可用来表示国际单位制中单位的十进制倍数或小数。表1.5 国际单位制的词头 因 数词头名称英文中文符号因 数词头名称英文中文符号1018exa艾［可萨］E10-1deci分d1015peta拍［它］P10-2centi厘c1012tera太［拉］T10-3milli毫m109giga吉［咖］G10-6micro微μ106mega兆M10-9mano纳\n103kilo千k10-12pico皮\p102hecto百h10-15femto飞\f101deca十da10-18atto阿\a 词头紧接着写在单位名称前，词头符号也紧接着写在单位符号前，中间不留空位，如： 千米（单位符号： km) ; 毫米（单位符号： mm) ; 微米（单位符号： μm) . 不允许使用两个以上的词头符号，如百万分之一秒（10-6s）不能写成mμs, 只能写成ns. 有关计量单位的其他立法规定，请参阅有关的文献资料\，这里不再详述。 习 题 1-1 什么是测量？试用数学关系式表达一个测量过程。 1-2 实施测量的基本前提条件是什么？ 1-3 什么是国际单位制？其基本量及其单位是什么？ 1-4 试述一个测试系统的基本组成及其各环节的功能。 1-5 考虑一根玻璃水银温度计作为一个测温系统，详细讨论组成该系统的各级。 1-6 自己选择一本有关测试的参考书，写一篇关于其中一章测量某物理量的过程与方法的总结。 2测试信号分析与处理 2.1 信号与测试系统 在第1章已经介绍过，一个测试系统从大的方面来讲主要是由信号的传感部分、信号的调理、信号的显示与记录3部分组成。测试系统的任务是获取和传递被测对象的各种参数（温度、压力、速度、位移、流量等）。为了将被测参量传输到接收方或观察者，必须采用适当的转换设备将这些参量按一定的规律转换成相对应的信号，一般为电的信号，再经合适的传递介质，如传输线、电缆、光缆、空间等将信号传递到接收方。图21所示为一个接收物体振动信号的测试系统结构框图，图中被测的物理量假设图2.1 简谐振动信号测试系统结构框图为一物体的简谐振动，其振动的位移为x，频率为fx。采用位移传感器将该振动信号转换为毫伏量级的电压信号。但同时该传感器也敏感到邻近设备的高频干扰信号，该信号叠加到有用信号上。采用一个放大器将上述信号放大到一个足以方便计算机进行记录和处理的电平（图2.1中放大器的增益为100) 。同时，为了去除不希望的干扰噪声信号，在放大之后设置了一级低通滤波器。经过滤波后的信号再送给计算机进行记录或显示。在上述测试系统中，放大器和低通滤波器组成了系统的信号调理部分，而计算机组成了系统的显示与记录部分。对于不同的被测参量，测试系统的构成及作用原理可以不同。另外，根据测试任务的复杂程度，测试系统也可以有简单和复杂之分。一个较复杂的系统可以像图21所示的系统那样，包括有数个功能部件；但有时候一个简单的测试系统可能仅包括传感器本身。根据不同的作用原理，测试系统可以是机械的、电的和液压的等。尽管这些系统所处理的对象有所不同，但它们都可能具有相同的信号传递特性。实际中，在属性各异的各类测试系统中，常常略去系统具体的物理含义，而将其抽象为一个理想化的模型，目的是得到系统共性的规律。将系统中变化着的各种物理量，如力、位移、加速度、电压、电流、光强等称为信号。客观地研究信号作用于测试系统的变化规律，可揭示系统对信号的传递特性。 因此，信号与系统是紧密相关的。信号按一定的规律作用于系统，系统在输入(input)信号的作用下，对它进行加工(processing)，并输出(output)加工后的信号。 图2.2 系统与信号的关系 通常将输入信号称为系统的激励(excitation)，而将输出信号称为系统的响应(response),如图2.2所示。 由图2.2可见，信号与系统之间的关系共涉及3个量： 输入、输出和系统特性。在这3个量中，一般总希望通过已知的两个量，来求出第三个量，因此这3个量之间可能的组合情况为： (1) 已知输入和输出，求系统在各频率下的传输特性。例如，对机器和各种结构的频响特性的测定，对各类传感器特性的测试等。 (2) 已知输入和系统特性，估计系统的输出。例如，我们经常涉及的对各种物理量的测量。 (3) 根据系统的传输特性和输出量的测试结果来估计输入量。例如，对机械零件或机构进行动平衡，以及对机械进行故障诊断等。 可以看出，测试所处理的对象是信号，信号的理论包括信号分析、信号处理和信号综合。信号分析涉及信号的表示和性质。由于信号分析与测试系统的分析紧密相关，因此本章将着重介绍信号与信号分析的基本概念，在此基础上，在第3章中深入展开对测试系统动态特性分析的讨论。 2.2 信 号 描 述 信号(signal)一词最初起源于符号(sign)、记号(signum--拉丁语)，表示用来作为信息向量的一个物体、一个记号、一种语言的元素或一个特定的符号等。信号的历史可追溯到史前时代。19世纪30年代，随着电报的发明（Morse, Cooke, Wheatstone, 1830-1840年）诞生了电信号。此后很快又发明了电话（Bell, 1876）和无线电波发送技术（Popov, Marconi, 1895-1896年）. 20世纪初电子学的诞生（Fleming, Lee de Forest, 1904-1907年）使得人们能检测和放大微弱信号，通常认为这是信号处理学说的真正起始点。早在1822年，傅里叶（Fourier）在研究热传播的过程中便已建立起他的傅里叶解析方法学。后人又将这一方法学应用到对电流波动的数学研究中，做了大量基础性工作。20世纪30年代，维纳和辛钦（Wiener和Khintchine）首次发表了有关将傅里叶解析方法应用于随机信号及现象分析方面的著作，从而将信号的理论大大地向前推进了一步。第二次世界大战期间，通信与雷达技术的发展进一步促进了信息和信号理论的发展。早在1920年前后，奈奎斯特（Nyquist）和哈特利（Hartley）便已着手研究在电报线上所传输的信息量，且已经观察到信号的最高传输率与所用的频带宽成正比。1948-1949年，香农（Shannon）发表了有关通信的数学理论的基础性著作，维纳（Wiener）发表了关于控制论以及对受噪声影响的信号或数据进行最优处理的著作，其中主要考虑了所研究现象亦即信号的统计特征。20世纪30年代是信号理论发展较快的时代，出现了一系列的有关著作。到了1948年出现了第一支晶体管，几年之后又发明了集成电路，从而使得实现复杂的信号处理系统成为可能，同时也大大扩展了信号处理的应用范围。1965年由库利（Cooley）和图基（Tukey）提出了一种适合于计算机运算的离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，即后来被称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）的算法，使人们能用计算机来进行复杂的信号处理。快速傅里叶变换的问世标志着数字信号处理这一学科的开始，大大促进了数字信号分析技术的发展，同时也使科学分析的许多领域面貌一新。如今，信号处理已经是个成熟的科研和应用领域。随着计算机技术的迅速发展，信号理论与信号处理技术已经被广泛应用到机械、电子、医学、农业等几乎所有的科学领域，成为科研和生产中一种不可缺少的工具和手段。 以上是对信号理论发展的一个历史回顾。 2.2.1 信号的定义 信号是信号本身在其传输的起点到终点的过程中所携带的信息的物理表现。 例如，在研究一个质量-弹簧系统在受到一个激励后的运动状况时，便可以通过系统质量块的位移-时间关系来描述。反映质量块位移的时间变化过程的信号则包含了该系统的固有频率和阻尼比的信息。 在讲到信号时不能不提及噪声(noise)的概念。噪声也是一种信号，定义为任何干扰对信号的感知（perception）和解释(interpretation)的现象。“噪声”一词本来源于声学，意思也是指那些干扰对声音信号的感知和解释的声学效应。 信噪比是信号被噪声所污染的程度的一种度量。信噪比ξ表达为信号功率Ps与噪声功率Pn之比： ξ=Ps/Pn(2.1)通常将信噪比用分贝所测量的对数刻度来表示： ξdB=10lgξ(2.2) 必须指出的是，信号与噪声的区别纯粹是人为的，且取决于使用者对两者的评价标准。某种场合中被认为是干扰的噪声信号，在另一种场合却可能是有用的信号。举例来说，齿轮噪声对工作环境来说是一种“污染”，但这种噪声也是齿轮传动缺陷的一种表现，因而可用来评价齿轮副的运动状态，并用它来对齿轮传动机构作故障诊断。从这个意义上讲，它又是一个有用的信号。一个被干扰的信号仍然是一个信号，因此仍采用相同的模型来描述有用信号及其干扰，这样，信号理论也必须包括噪声理论。 2.2.2 信号的分类 对信号的分类(signal classifications)有多种方法，其中主要的有以下几种： (1) 表象(phenomenological)分类法。这是一种基于信号的演变类型、信号的预定特点或者信号的随机特性的分类方法。 (2) 能量(energy)分类法。这种方法规定了两类信号，其中一类为具有有限能量的信号，另一类为具有有限平均功率但具有无限能量的信号。 (3) 形态(morphological)分类法。这是一种基于信号的幅值或者独立变量是连续的还是离散的特点的分类方法。 (4) 维数(dimensional)分类法。这是一种基于信号模型中独立变量个数的分类方法。 (5) 频谱(spectral)分类法。这是一种基于信号频谱的频率分布形状的分类方法。 以下分别加以介绍。 1. 确定性（deterministic）信号和随机（random）信号 表象分类法是考虑信号沿时间轴演变的特性所作的一种分类。根据这种时域分类法可定义两大类信号： 确定性信号和随机信号。 确定性信号是指可以用合适的数学模型或数学关系式来完整地描述或预测其随时间演变情形的信号。 随机信号是指那些具有不能被预测的特性且只能通过统计观察(statistical observations)来加以描述的信号。 确定性信号又分为周期(periodic)信号和非周期(nonperiodic)信号。 (1) 周期信号: 满足下面关系式的信号,即x(t)=x(t+kT)(2.3)式中， T为周期。即周期信号服从一种规则的、周期重复的规律，重复的周期为T. 图2.3 正余弦信号 (2) 非周期信号： 不具有上述性质的确定性信号。 周期信号一般又分为正余弦（sinusoidal）信号、多谐复合(periodic compound)信号和伪随机(pseudo-random)信号。其中正余弦信号具有如下的一般表达式（图2.3) : x(t)=Asin2πTt+α=Asin2πT(t+τ)(2.4) 多谐复合信号由多个具有谐波频率的信号组成，其基本特性与正余弦信号的相同。 伪随机信号组成周期信号的一个特殊范畴，它们具有准随机的特性（图2.4) . 非周期信号又可分成准周期(quasi-periodic)信号和瞬态（transient）信号两类。其中准周期信号由多个具有周期不成比例的正弦波之和形成，或者称组成信号的正（余）弦信号的频率比不是有理数（图25) 。瞬态信号是指时间历程短的信号（图26) . 图2.4 伪随机信号 图2.5 准周期信号 图2.6 瞬态信号 x(t)-矩形脉冲信号(rect); y(t)-衰减指数脉冲信号； z(t)-正弦脉冲信号 随机信号又可分成两大类： 平稳(stationary)随机信号和非平稳(nonstationary)随机信号。 (1) 平稳随机信号: 信号的统计特征是时不变的（图2.7) . 图2.7 平稳随机信号 x(t)-宽带信号（白噪声）; y(t)-经低通滤波后的信号 (2) 非平稳随机信号: 不具有上述特点的随机信号称为非平稳随机信号（图2.8) . 图2.8 非平稳随机信号 如果一个平稳随机信号的统计平均值或它的矩等于该信号的时间平均值，则称该信号为各态历经(ergodic)的。 综上所述，信号按时域特性的表象分类法所进行的分类示于图2.9. 2. 能量(energy)信号和功率(power)信号 图2.10所示为一个单自由度振动系统，其中x(t)为质量m的位移，由弹簧所积蓄的弹性势能为x2(t)。若x(t)表示运动速度，则x2(t)反映的是系统运动中的动能。测量中常将被测的图2.9 信号的分类 图2.10 单自由度振动系统 机械量（位移、速度等）转换为电信号（电压、电流）来加以处理。把电压信号加到单位电阻R (R=1Ω）上，得到瞬时功率： P(t)=x2(t)R=x2(t)(2.5)而瞬时功率P (t）的积分便是信号的总能量W (t) :W(t)=∫∞-∞P(t)dt=∫∞-∞x2(t)dt(2.6)从而便把信号的幅值x (t）和信号的能量联系起来了。 当x (t）满足关系式∫∞-∞|x(t)|2dt<∞(2.7)时，则称信号x (t）为有限能量信号，亦称平方可积信号，简称能量信号，如矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。能量信号仅在有限时间区段内有值，或在有限时间区段内其幅值可衰减至小于给定的误差值或趋近于零。它们的平均功率为零。 当信号满足条件0<limT→∞1T∫T/2-T/2|x(t)|2dt<∞(2.8)时，亦即信号具有有限的（非零）平均功率时，则称信号为有限平均功率信号，简称功率信号。 图2.10所示为无阻尼振动系统，其位移信号x (t）便是能量无限的正弦信号。但在一定的时间区间内，其功率是有限的。如果该系统加上阻尼之后，其振动将逐渐衰减，此时的信号便是能量有限的。 3. 连续(continuous)信号和离散(discrete)信号 基于信号的形态分类法可将信号分成连续信号和离散信号两大类。分类的根据是信号的幅值及其自变量（即时间t）是连续的还是离散的。 若信号的独立变量或自变量是连续的，则称该信号是连续信号；若信号的独立变量或自变量是离散的，则称该信号为离散信号。对连续信号来说，信号的独立变量（时间t或其他量）是连续的，而信号的幅值或值域可以是连续的，也可以是离散的。自变量和幅值均为连续的信号称为模拟（analog）信号(图2.11(a));自变量是连续的，但幅值为离散的信号称为量化(quantized)信号(图2.11(b))。图2.11(b)中的信号f2(t)为f2(t)=0, t<-1 1, -13(2.9)其自变量t的范围是连续的(-∞,∞)，而其函数值或信号的幅值只取-1, 0, 1. 图2.11 连续时间信号 信号f2(t)在t＝-1, t＝1和t＝3处有间断点，一般不可以定义间断点的函数值(式（2.9) ). 为使函数定义更加完整而规定： 若函数f (t）在t＝0处有间断点，则函数在该点的值等于其左极限f(t0-)与其右极限f(t0+)之和的1/2, 即f(t0)=12［f(t0-)+f(t0+)］(2.10)式中，f(t0-)deflimε→0f(t0-ε), f(t0+)deflimε→0f(t0+ε).  由此，信号在定义域(-∞,∞)均有确定的函数值。图2.11(c)所示的单位阶跃函数ξ(t)定义为ξ(t)def0, t<0 1/2, t=0 1, t>0(2.11) 对于离散信号来说，若信号的自变量及幅值均为离散的，则称为数字(digital)信号，因为它们能表达为一个数字序列，因此有时亦称这样的信号为序列。若信号的自变量为离散值，但其幅值为连续值时，则称该信号为被采样(sampled)信号。 表2.1示出了上述4种信号的表达形式，读者可对它们加以比较，从中体会出它们之间的差别。实际应用中，连续信号与模拟信号两词常不加区分，而离散信号与数字信号两词也常互相通用。 此外，在对信号作频谱分析中还常常根据信号的能量或功率的频谱来将信号区分为低频信号、高频信号、窄带信号、宽带信号、带限信号等；根据信号的波形相对于纵轴对称性将信号分为奇信号和偶信号；根据信号的函数值是实数还是复数将它们分为实信号和复信号等。在此不再一一讨论。表2.1 信号按形态分类法区分的4种形式 时间幅 值连 续离 散连续离散2.2.3 信号的时域和频域描述方法 描述一个信号的变化过程通常有时域和频域两种方法。在时域描述法（time-domain description）中，信号的自变量为时间，信号的历程随时间而展开。信号的时域描述主要反映信号的幅值随时间变化的特征。与之相对应，对一个测试系统的时域分析法也是直接分析时间变量函数或序列，研究系统的时间响应特征。在分析一个系统时，除了采用经典的微分或差分方程外，还可借助卷积积分的方法，引入单位脉冲响应和单位序列响应的概念。一个线性系统对于一个输入x (t) （激励）所引起的零状态响应是输入x (t）与该系统的单位脉冲响应的卷积积分（连续系统）或x (t）与系统单位序列响应的卷积和（离散系统）.  频域分析法（frequency-domain description）是将信号和系统的时间变量函数或序列变换成对应频率域中的某个变量的函数，来研究信号和系统的频域特性。对于连续系统和信号来说，常采用傅里叶变换和拉普拉斯变换；对于离散系统和信号则采用Z变换。频域分析法将时域分析法中的微分或差分方程转换为代数方程，给问题的分析带来了方便。 一般来说，实际信号的形式通常比较复杂，直接分析各种信号在一个测试系统中的传输情形常常是困难的，有时甚至是不可能的。因此常将复杂的信号分解成某些特定类型的基本信号之和，这些基本信号应满足一定的数学条件，且易于实现和分析。常用的基本信号有正弦信号、复指数型信号、阶跃信号、冲激信号等。 因此，信号的频域描述即是将一个时域信号变换为一个频域信号，根据任务分析的要求将该信号分解成一系列基本信号的频域表达形式之和，从频率分布的角度出发研究信号的结构及各种频率成分的幅值（amplitude）和相位(phase)关系。 将一个复杂的信号分解为一系列基本信号之和，对于分析一个线性系统来说特别有利。这是因为这样的系统具有线性和时不变性，多个基本信号作用于一个线性系统所引起的响应等于各基本信号单独作用所产生的响应之和。此外，这些信号都属于同一种类型，比如都是正弦信号，因此系统对它们的响应也都具有共同性。 采用时域法或频域法来描述信号和分析系统，完全取决于不同测试任务的需要。时域描述直观地反映信号随时间变化的情况，频域描述则侧重描述信号的组成成分。但无论采用哪一种描述法，同一信号均含有相同的信息量，不会因采取不同的方法而增添或减少原信号的信息量。 2.2.4 周期信号的频域描述 在有限区间上，一个周期信号x (t) 当满足狄里赫利条件狄里赫利 (Dirichlet）条件是： (1）函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋向于该间断点时，函数有有限的左极限和右极限）; (2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。时可展开成傅里叶级数(Fourier series)。傅里叶级数的三角函数展开式为x(t)=a02+∑∞n=1(ancosnω0t+bnsinnω0t)(2.12)式中， ω0为圆频率或角频率，ω0=2π/T;T为周期；an(含a0) , bn为傅里叶系数，其中an=2T∫T/2-T/2x(t)cosnω0tdt, n=0,1,2,3,…(2.13) bn=2T∫T/2-T/2x(t)sinnω0tdt, n=0,1,2,3,…(2.14) 由式（2.13）和式（2.14）可见，傅里叶系数an和bn均为nω0的函数，其中an是n或nω0的偶函数（even function) , a-n=an；而bn则是n或nω0的奇函数(odd function)，有b-n=-bn. 将式（2.12）中正、余弦函数的同频率项合并并整理，可得信号x (t）的另一种形式的傅里叶级数表达式： x(t)=a02+∑∞n=1Ancos(nω0t+φn)(2.15)式中，An=a2n+b2n φn=-arctanbnan, n＝1,2,… (2.16) An为信号频率成分的幅值(amplitude), φn为初相角(phase)。比较式（2.12）和式（2.15) ，可看出两式中系数之间有如下的关系： an=Ancosφn bn=-Ansinφn, n＝1,2,… (2.17)  由式(2.16)可见，An是n或nω0的偶函数，A-n=An; 而相角φn是n或nω0的奇函数，即φ-n=-φn。傅里叶系数的这些重要性质在分析问题中是很有用的。 从式（2.15）可知，周期信号可分解成众多具有不同频率的正、余弦（谐波）分量，式中第一项a02为周期信号中的常值或直流分量，从第二项依次向下分别称为信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、……、n次谐波。An为n次谐波的幅值，φn为其初相角。为直观地表示出一个信号的频率成分结构，将信号的角频率ω0作为横坐标，可分别画出信号幅值An和相角φn随频率ω0变化的图形，分别称为信号的幅频谱和相频谱图。从式（2.15）可知，由于n为整数，各频率分量仅在nω0的频率处取值，因而得到的是关于幅值An和相角φn的离散谱线。因此，周期信号的频谱是离散的。 例2.1 求图2.12所示的周期方波信号x (t）的傅里叶级数。 图2.12 周期方波信号 解: 信号x (t）在它的一个周期中的表达式为x(t)=-1, -T2