第3章
CHAPTER 3


运算放大器应用





本章目标

本章主要围绕以下主题展开： 
 多级放大器的特性及其设计，包括增益、输入电阻、输出电阻等。
 放大器级联的频率响应。
 仪表放大器。
 基于运算放大器的有源滤波器，包括低通、高通、带通及带阻电路。
 滤波器的幅度和频率范围。
 开关电容电路技术。
 模/数转换器和数/模转换器原理。
 模/数转换器和数/模转换器的基本结构。
 振荡器的巴克豪森准则。
 基于运算放大器的振荡器，包括文氏桥和相移电路。
 振荡器的振幅稳定性。
 精密半波和全波整流电路。
 正反馈电路，包括施密特触发器和非稳态、单稳态多谐振荡器。
 电压比较器。
本章将继续对运算放大器电路的学习，主要研究运算放大器的应用。通常来说，有时单级运算放大器不能满足实际中所遇到问题，需要多级运算放大器才能实现，本章将通过一些实例进行多级运算放大器的讨论，接下来介绍用3个运算放大器实现的仪表放大器。


μA709运算放大器芯片版图照片(仙童国际半导体公司版权所有)


滤波器是运算放大器非常重要的一项应用，本章将讨论基于运算放大器的有源滤波器，包括低通、高通和带通电路。另外，本章还将对开关电容技术进行简单介绍，在CMOS工艺中该技术广泛用于实现现代滤波器。
用数字信号处理来增强或替代传统模拟电路的应用日益增加。模拟信号与数字信号的接口需要用到模/数转换器和数/模转换器。本章将给出模/数和数/模转换器的特性曲线和几种基本的电路实例。
在前面的章节中，通常都是假设电路使用了负反馈，而在本章中，将会介绍用正反馈来实现的电路，包括用于产生信号的振荡器和多谐振荡器及利用非线性反馈来实现的精密整流电路。
3．1级联放大器
通常，许多设计要求是无法用单个放大器来满足的。例如，我们无法用一个放大器同时满足增益、输入阻抗和输出阻抗的要求，或者无法同时达到增益和带宽的要求应用实例可以参见习题2．21和习题2．22。。但是，这些设计要求常常可以通过将若干个放大器进行级联来满足，如图3．1所示为三级放大器级联。此时，前级放大器的输出与下一级放大器的输入相连。如果前级放大器的输出阻抗远小于下一级放大器的输入阻抗，即RoutARinB、RoutBRinC，那么这一级放大器电路的负载对另一个放大器的影响就可忽略，总的电压增益就是各级放大器的开路电压增益之积。为了全面认识这一原理，下面用放大器二端模型来描述这些放大器电路。






图3．1




图3．1（续）


3．1．1二端口表示
图3．1所示电路的每一级，我们用电压增益、输入电阻和输出电阻值描述的二端口模型表示一个“放大器”，如图3．1(b)和(c)所示。每一级放大器(A、B和C)都是由增益为A、输入电阻为Rid及输出电阻为Ro的运算放大器来构建的。这几个变量通常称为运算放大器的开环参数： 开环增益、开环输入阻抗和开环输出阻抗。这些参数将运算放大器描述成一个没有连接其他元件的二端口电路。
每一级放大器都由一个运算放大器和由电阻R1、R2构成的反馈电路构成，称为闭环放大器。对每一个闭环放大器及所构成的整个放大器，我们都釆用Av、Rin和Rout这3个参数。表3．1中对这些专有名词进行了总结。


表3．1反馈放大器的专有名词比较


电 压 增 益输 入 电 阻输 出 电 阻
开环放大器ARidRo
闭环放大器AvRinRout
多级放大器AvRinRout

三级级联放大器的二端口模型
在图3．2中，将每个放大器都替换成了二端口模型。由左向右对放大器进行分析，可写出整个放大器的总增益表达式为

vo=AvAviRinBRoutA+RinBAvBRinCRoutB+RinCAvC(3．1)

到目前为止，所讨论的电压放大器，其输出阻抗都比较小(理想情况下为零)。因此，正常情况下可以参考抗失配要求(参见1．4节)，级联放大器的总增益等于三级放大器电路的开环增益的乘积： 

Av=vovi=AvA·AvB·AvC(3．2)


如果在输入端施加测试源vx，可以计算出输入电流为ix，这时候我们发现整个放大器的Rin完全由第一级放大器的输入阻抗决定。在本例中，可以求出Rin=vx/ix=RinA。类似地，如果将测试源vx施加至输出端，然后计算电流ix，此时会发现整个放大器的输出阻抗仅由最后一级放大器的输出阻抗决定，在本例中，Rout=RoutC。


图3．2三级级联放大器的二端口模型


设计提示
级联放大器的输入阻抗由第一级放大器的输入阻抗决定，而级联放大器的输出阻抗由最后一级放大器的输出阻抗决定。人们通常会存在误解，认为级联放大器的输入阻抗由所有各级放大器的输入阻抗组合而来，或者认为级联放大器的输出阻抗是所有各级放大器的输出电阻的函数。


练习： 在图3．1中，已知放大器的电阻R2=68kΩ，R1=2．7kΩ，那么图3．2所示放大器的等效电路中AvA、AvB、AvC、RinA和RinC的值各为多少？
答案： -25．2； -25．2； -25．2； 2．7kΩ； 2．7kΩ。
练习： 对于图3．1(a)所示的三级放大器，如果R2=68kΩ，R1=27kΩ，那么该三级放大器的增益、输入电阻和输出电阻各为多少？
答案： (-25．2)3=-1．60×104； 2．7kΩ； 0。
练习： 假设上一练习中放大器的3个输出电阻都为非零值，为了使增益减小的数值不超过1%，则Rout可允许的最大值是多少？假设3个输出电阻的阻值都相等。
答案： 13．5Ω。


3．1．2放大器专有名词回顾
至此，我们已经分析了放大器的结构，下面来回顾一下曾经用到过的专有名词。放大器这一名词常常会引起一些概念上的混淆，因为电路中被称为放大器的部分通常必须根据所讨论的内容来决定。
举例来说，在图3．1中，整个放大器(三级放大器)由3个反相放大器(A、B、C)级联而成，而每一个反相放大器都由一个运算放大器组成(运算放大器1、运算放大器2和运算放大器3)。因此，在图3．1中我们至少能找出7个不同的“放大器”： 运算放大器1、2、3； 反相放大器A、B、C，以及由3个反相放大器组合起来的三级放大器。但遗憾的是，很多时候所提及的放大器通常必须由所讨论的内容来推断它指的是什么。
例3．1级联放大器的计算。
本例描述了一个三级级联放大器的特性，并研究了电源供电限制带来的影响。
问题： 在下面的电路中，运算放大器的供电电压为±12V，其他与理想运算放大器相同。试求三级放大器的电压增益、输入电阻和输出电阻各是多少？(a)若输入电压vI=5mV，则电路中10个节点上的电压值各是多少？(b)如果输入电压vI=10mV，那么3个运算放大器的输出电压各是多少？(c)假设输入电压vI=Visin200πt，那么在放大器的线性工作区，输入电压Vi的最大值是多少？
解： 
已和量： 下图给出了三级放大器的电路结构及各电阻阻值，除了电源供电为±12V以外，运算放大器其他情况与理想运算放大器相同。




未知量： (a)三级放大器的电压增益、输入电阻和输出电阻； (b)当输入电压vI=5mV时，电路中10个节点上的电压值； (c)当输入电压vI=10mV时，电路中10个节点上的电压值； (d)在放大器的线性工作区，正弦输入电压的最大幅值。
求解方法： 对各级放大器运用反相放大器和同相放大器公式。整体增益为各级增益的乘积，输入电阻为第一级放大器的输入电阻，输出电阻等于最后一级放大器的输出电阻。
假设： 除电源供电为±12V外，运算放大器其他情况与理想运算放大器相同。Rin和Rout之间的相互影响可以忽略。每个运算放大器都采用负反馈，并且都在线性区工作。
分析： 三级放大器中3个独立的放大器分别是同相、反相和同相放大器。
(a) 利用表1．3中的表达式Av=Av1Av2Av3

Av1=1+R2R1Av2=－R4R3Av1=1+R6R5
Av=1+150kΩ15kΩ－420kΩ21kΩ1+100kΩ20kΩ=－1320

从第一个运算放大器的同相输入端“看过去”的输入电阻为无穷大，但是该同相输入端并联了一个75kΩ的电阻。因此Rin=75kΩ‖∞=75kΩ。输出电阻等于第三个放大器的输出电阻，即Rout=RoutC=0。

(b) vI=5．00mV，vOA=11vI=55．0mV，vOB=-20vOA=-1．10V，vO=6vOB=-6．60V。
由于运算放大器是理想运算放大器，因此每个运算放大器的输入电压必须为零： 

v-A=v+A=+5．00mV，v-B=v+B=0V，v-C=v+C=-6．60V
V+=12V，V-=-12V，Vgnd=0V


(c) vI=10．00mV，vOA=11vI=110mV，vOB=-20vOA=-2．2V，vO=6vOB=-13．2V<-12V→vO=-12V，因为输出电压不能超过电源电压的限制。前两个运算放大器都工作在线性区，因此这两个运算放大器的输入电压为零： v-A=v+A=100mV|v-B=v+B=0V。但是，第三个放大器的输出在-12V时处于饱和状态，其增益为零，反馈回路被“破坏”。其同相和反相输入不再相等。

v－C=－12V20kΩ20kΩ+100kΩ=－2VV+=12VV－=－12VVgnd=0V



(d) 输入电压vI的值受供电电压的限制，不能使输出端电压超过电源供电电压。

vI≤12VAv=121320=9．09mV


结果检查： 所有未知量均已求出。Rin为75kΩ，Rout非常小。对于5mV输入电压，预期的输出电压为vo=-1320×(0．005V)=-6．6V，检查通过。对于10mV输入电压，预期的输出电压vo=-1320×(0．005V)=-13．2V，低于负电源电压值。因此vo=-12V，此时输出电压超出了假设的线性工作范围。
计算机辅助分析和讨论： SPICE仿真运用直流分析，采用直流输入求出节点电压，并通过传递函数分析，从输入vI到I3上的压降即V(I3)求出增益，进而得到输入电阻和输出电阻的值。运算放大器的电源电压设为±12V，增益默认为120dB。
SPICE传递函数分析的结果为Av=-1320，Rin=75kΩ，Rout=0，与手工计算的结果一致。SPICE仿真计算出来电路中各节点的电压值如下表所示。


SPICE仿真得出的各节点直流电压值


输 入 参 数5mV10mV
vI5．000mV10．00mV
v－A5．000mV10．00mV
vOA55．00mV110．0mV
v－B1．100μV－2．200μV
vOB－1．100V－2．200V
v－C－1．100V－2．000V
vOC－6．600V－12．00V
V+12．00V12．00V
V－－12．00V－12．00V
Vgnd0．000V0．000V


SPICE仿真计算的节点电压与手工计算结果到小数点后4位基本一致，只有第二个放大器反相输入端的电压存在差异，SPICE仿真结果为vB=1．100μV。我们来分析一下造成结果不一致的原因。SPICE中放大器的有限增益为120dB，因此运算放大器的差分输入电压值并不为零。运算放大器的输入电压必须为非零值才会在输出端产生非零电压输出。因此每个运算放大器的vID值将变为

vIDA=55mV106=55nVvIDB=－1．1V106=－1．1μVvIDC=－6．6V106=－6．6μV

运算放大器B反相输入端的电压为vIDB的负值，这与 SPICE分析一致。如果手工计算v-A和v-B，四舍五入之后vID的影响基本消失:

v－A=vI－vIDA=5mV－55nV=55mV

v－C=vOB－vIDC=－1．100V－(－6．6μV)=－1．100V


而对于vi=10mV时的情况，除了vB之外，其他节点电压与手工计算结果一致。需要注意的是，第三个运算放大器的差分输入电压并不为零，而是等于-2．2V-(-2V)=-0．200V。运算放大器的输出达不到使vID=0所需的数值。
3．1．3级联放大器的频率响应
如图3．3所示，当多个放大器级联时，总的传递函数可写为各级传递函数之积，有

Av(s)=VoN(s)VI(s)=Vo1VIVo2Vo1…VoNVo(N－1)=Av1(s)Av2(s)…AvN(s)（3.3）


需要特别指出的是，该乘积表达式隐含了假设各级电路之间不存在相互作用，而这种情况只有在Rout=0或Rin=∞时才能达到(也就是说，不同放大器之间的相互连接绝对不会改变任何放大器的传递函数)。


图3．3多级放大器级联


一般情况下，每级放大器的直流增益和带宽都不相同，则总的传递函数为(假设都为单极点放大器)

Av(s)=Av1(0)1+sωH1Av2(0)1+sωH2…AvN(0)1+sωHN（3.4）


在低频(s=0)时的增益为

Av（0）=Av1（0）Av2（0）…AvN（0）(3．5)


多级级联放大器的总带宽定义为电压增益减为低频值的1/2或-3dB时对应的频率。其数学表达式为

AvjωH=Av1（0）Av2（0）…AvN（0）2(3．6)


一般情况下，根据式(3．6)手工计算ωH是相当麻烦的，第8章将会介绍ωH的近似估值技巧。借助计算机或者计算器，可以采用运算程序或迭代运算直接求出ωH。例3．2就是用式(3．6)进行直接代数运算来求出两级级联放大器情况下的增益和带宽。
例3．2两级级联放大器。
试计算两级级联放大器的增益和带宽。
问题： 将两个传递函数分别为Av1(s)和Av2(s)的两个放大器进行级联。所构成的两级级联放大器的总直流增益和带宽是多少？

Av1=5001+s2000和Av2=2501+s4000


解： 
已知量： 两级级联的放大器、每级放大器的传递函数。
未知量： 两级级联放大器的总增益Av(0)和带宽fH。
求解方法： 级联放大器的传递函数为Av=Av1×Av2，可以求出Av(0)。再根据带宽定义求出fH。
假设： 放大器除了频率相关特性之外可以认为是理想的，且级联放大器之间不会相互作用，即总增益等于各传递函数之积。
分析： 总的传递函数为

Av（s）=5001+s20002501+s4000=1250001+s20001+s4000

直流增益Av(0)为

Av（0）=500×250=125000或102dB

注意，Av(0)为两个放大器的直流增益之积。
令s=jω，可得频率响应的幅值为

Avjω=1．25×1051+ω2200021+ω240002

根据ωH的定义，可得

AjωH=Amid2=Av（0）2=1．25×1052

令上述两个等式的分母相等，并对两边求平方可得

1+ω2H200021+ω2H40002=2

将上式进行整理，可得ω2H的二次方程式为

ω2H2+2．00×107ω2H－6．40×1013=0

利用二次方程求根公式或者计算器的求根计算可解得ω2H的值为

ω2H=2．81×106或-4．56×107

由于ωH的值必须是实数，因此可得唯一解为

ωH=1．68×103或fH=267Hz


结果检查： 组合放大器的带宽应该小于两个单独放大器的带宽，两个放大器的带宽分别为

fH1=20002π=318Hz和fH2=40002π=637Hz

计算所得的组合放大器带宽确实小于两个单独放大器的带宽。


练习： 两个放大器级联构成一个组合放大器，每一级放大器的传递函数如下所示。试计算该组合放大器的低频增益。在fH时的增益为多少？fH是多少？

Av1（s）=501+s10000π和Av2（s）=251+s20000π


答案： 1250； 884； 4190Hz。
练习： 3个放大器级联构成一个组合放大器，每一级放大器的传递函数如下所示。试计算该组合放大器的低频增益。在fH时的增益为多少？fH是多少？

Av1（s）=-1001+s10000π，Av2（s）=66．71+s15000π，Av3（s）=501+s20000π


答案： -3．33×105； -2．36×105； 3450Hz。


相同放大器的多级级联
有一种特殊的级联放大器，其结构由多个相同的放大器级联而成，则这种级联放大器的总带宽可以方便地求出。对于N级相同放大器的级联结构而言，有

Av（s）=Av1（0）1+sωH1N=Av1（0）N1+sωH1N和Av（0）=Av1（0）N(3．7)

其中，Av1(0)和ωH1为每一级放大器的闭环增益和带宽。
级联放大器的总带宽ωH由下式确定： 

AvjωH=Av1（0）N1+ω2Hω2H1N=Av1（0）N2(3．8)

则，可以求得用ωH1表达的级联放大器的带宽为

ωH=ωH121/N－1或fH=fH121/N－1（3.9）


可看出级联放大器的带宽小于每个单独放大器的带宽。表3．2中给出了几个带宽缩减因子(Bandwidth Shrinkage Factor)21/N-1的值。


表3．2带宽缩减因子


N21/N－1
11
20．644
30．510
40．435
50．386
60．350
70．323
尽管大部分级联放大器并非每一级采用相同的放大器，但式(3．9)同样对多级放大器的设计具有指导意义，或者在某些时候，可以用它来估计更为复杂的放大器中某一部分的带宽(其他有用结果可参见习题3．33和习题3．34)。


练习： 3个相同的放大器级联构成一个如图3．23所示的放大器电路。每级放大器都有Av=-30且fH=22．31Hz，那么三级放大器总的增益和带宽为多少？
答案： -27000，17．0kHz。


设计实例
例3．3级联放大器设计。
在本例中，我们将运用电子表格辅助设计一个较为复杂的多级放大器。
问题： 试设计一个放大器，需满足如下要求： Av≥100dB，带宽fH≥50kHz，Rout≤0．1Ω，Rin≥20kΩ，并且Av=100dB，fT=1MHz，Rid=1GΩ，Ro=50Ω。
解： 
已知量： 运算放大器参数及总的放大器的设计要求。
未知量： 选择反相还是同相结构； 每一级放大器的增益和带宽； 反馈电阻的值。
求解方法： 由于Rin的值要求相对较低，因此可以用一个电阻来实现，反相和同相放大器都要考虑。由于仅用一个运算放大器无法同时满足Av、fH和Rout的设计要求，因此需要采用多级结构。例如，如果只用一个开环运算放大器来实现，虽然它可以提供100dB(105)的增益，但是其带宽只能为f1/105=10Hz。因此，必须减少每一级的增益，以增加带宽(也就是说，需要牺牲增益来换取带宽)。
为简单起见，假设此放大器结构为N级相同放大器的级联。我们可以按照逻辑推理顺序来建立设计公式，选择一个设计变量，其余设计公式可以进一步求出。对于这种特殊设计方法，增益和带宽是最难满足的设计要求，而要求的输入电阻和输出电阻却很容易满足。因此，可以首先让设计尽量满足增益或者带宽的要求，然后再计算需要用多少级级联来满足其他的设计要求。
假设： 此设计需要用最少的级数来满足所有设计要求，这样做可以将成本降到最低。
分析： 在本例中，首先考虑多级放大器要满足的增益要求，然后通过反复迭代运算来计算满足带宽要求所需的级数。
为了满足增益的要求，设每一级放大器的增益为

Av（0）=N105

基于这一选择，可以用以下步骤来计算放大器的其他特征参数： 
① 选择放大器级联级数N；
② 计算每一级的增益Av（0）=N105；
③ 利用步骤②中的结果求出β；
④ 计算每一级的带宽fH1；
⑤ 用式(3．9)计算N级放大器的带宽；
⑥ 用Aβ计算Rin和Rout。
检查最终结果是否满足设计要求，如不满足，则返回第①步重新选择N值。
对于同相和反相放大器，所用的设计公式稍有不同，表3．3对此进行了总结。根据这些公式所得的设计结果如表3．4所示。


表3．3N级级联的同相和反相放大器


β=R1R1+R2同相放大器反相放大器
单级增益Av(0)=N105Av(0)=1+R2R1Av(0)=－R2R1
反馈因子β=1Av(0)β=11+Av(0)
每一级的宽度fH1=fTAo1+AoβfH1=fTAo1+Aoβ续表