第1章数学思想方法与选择、
填空题解题技巧 

1.1数学思想方法


一、 函数与方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决。方程思想是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解。函数与方程在一定条件下可以相互转化。









例1
如图1.1.1所示，正方形ABCD中，E，F均为中点，现有下列结论： ①AF⊥DE； ②AD=BP； ③PE＋PF=2PC； ④PE＋PF=PC。其中正确的是()。


图1.1.1


A.  ①④ B.  ①②④
C.  ①③D.  ①②③
【解析】
【方法一】
（1） 设正方形ABCD的边长为4x，则AB=BC=CD=AD=4x，BE=CE=CF=DF=2x。(此处也可以取特殊值代入计算，如取x=1。)
∵ABCD为正方形，∴∠ADF=∠DCE=90°。在△ADF和△DCE中，AD=DC，∠ADF=∠DCE，DF=CE，∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴∠AFD=∠DEC。
∵∠DEC＋∠CDE=90°，∴∠AFD＋∠CDE=90°=∠DPF，
∴AF⊥DE，故①正确。
（2） 如图1.1.2所示，过点P作PG⊥BC于点G，则∠PGE=90°，
∴△PGE∽△DCE，∴PGDC=PEDE=GECE。


图1.1.2



在Rt△ADF中，AF=AD2＋DF2=25x，∴DE=25x，
∴DP=455x，AP=855x，PF=255x，∴PE=655x，
∴PG4x=655x25x=GE2x，∴PG=125x，GE=65x，∴BG=BE＋GE=165x。
在Rt△BPG中，BP=BG2＋PG2=4x=AD，故②正确。
（3） 在Rt△PCG中，PC=CG2＋PG2=4510x，
∴PE＋PF=855x=4510x·2=2PC，故③正确，④错误。
故答案为： D。

【方法二】
（1） 如图1.1.3所示，以点B为坐标原点，以AB所在的直线为y轴，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系。


图1.1.3



设正方形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=a，则点A(0，a)，B(0，0)，C(a，0)，D(a，a)。
∵E，F均为中点，∴Ea2，0，Fa，a2。
设直线AF的函数解析式为y=kx＋b，代入点A，F的坐标，
得b=a

ak＋b=a2，解得k=－12

b=a，∴y=－12x＋a。
同理可得，直线DE的函数解析式为y=2x－a。
kAF·kDE=－12×2=－1，∴AF⊥DE，故①正确。
（2） 由y=－12x＋a

y=2x－a，解得x=45a

y=35a，∴点P的坐标为45a，35a，
∴BP=a=AD，故②正确。
（3） PE=3105a，PF=1105a，PC=1510a，
∴PE＋PF=255a=1510a·2=2PC，故③正确，④错误。
故答案为： D。


【方法三】
(1) 解法同【方法一】（1）。
(2) 
如图1.1.4所示，分别延长AB，DE交于点G。
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠GBC=∠BCD=90°，AB=CD=AD。


图1.1.4


∵E是BC的中点，∴BE=CE。
又∵∠BEG=∠CED，∴△BEG≌△CED(ASA)，
∴BG=CD=AB，即B是AG的中点，
由(1)得AF⊥DE，∴BP=AB=AD，故②正确。

（另解）如图1.1.5所示，过点B作BG∥DE交AD于点G，交AP于点M。


图1.1.5


∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC的中点，
∴BG⊥AP，G是AD的中点，
∴BG是AP的垂直平分线，∴△ABP是等腰三角形，∴BP=AB=AD，故②正确。
(3) 如图116所示，延长DE至点N，使得EN=FP，连接CN。


图1.1.6


∵∠AFD=∠DEC，∴∠CEN=∠CFP。
∵E，F分别是BC，DC的中点，∴CE=CF。
∵在△CEN和△CFP中，CE=CF，∠CEN=∠CFP，EN=FP，
∴△CEN≌△CFP(SAS)，∴CN=CP，∠ECN=∠PCF。
∵∠PCF＋∠BCP=90°，∴∠ECN＋∠BCP=∠NCP=90°，
∴△NCP是等腰直角三角形，∴PN=PE＋NE=PE＋PF=2PC。
故③正确，④错误。
综上所述，①②③正确。
故答案为： D。

【总结】与几何法相比，利用函数与方程思想可以使得解题思路更加简单、直接。
可以发现几何法难想好算，函数与方程的方法好想难算。
例2(2014天津)如图1.1.7所示，在Rt△ACB中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为。



图1.1.7


【解析】
设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x＋y。
∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x＋y。
∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCA-y=90°－y。
在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC=180°，
∴x＋(90°－y)＋(x＋y)=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°。
故答案为： 45°。






二、 数形结合思想
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性阐明数之间的联系，即以形作为手段，以数作为目的。“以数辅形”是指借助数的精确性和严密性阐明形的某些属性，即以数作为手段，以形作为目的。









例3(2015南通)关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0的两个不相等的实数根都在－1和0 之间(不包括－1和0)，则a的取值范围是。
【解析】
【方法一】
∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=9＋4a＞0，∴a＞－94。
设二次函数为y=ax2－3x－1。
∵方程ax2－3x－1=0的两个不相等的实数根都在－1和0之间(不包括-1和0)，∴x1x2=－1a＞0，
∴a＜0，∴二次函数y=ax2－3x－1的图象如图1.1.8所示。


图1.1.8



当x=－1时，y=a＋3－1＜0，即a＜－2，
∴a的取值范围是－94＜a＜－2。
故答案为： －94＜a＜－2。
【方法二】
∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=9＋4a＞0，∴a＞－94。

∵方程ax2－3x－1=0的两个不相等的实数根都在－1和0之间(不包括-1和0)，
∴x1x2=－1a＞0，∴a＜0。
设－1＜x1＜x2＜0，∴x1=3＋9＋4a2a＞－1，x2=3－9＋4a2a＜0，
解得a＜－2。
综上所述，a的取值范围是－94＜a＜－2。
故答案为： －94＜a＜－2。
【总结】根据一元二次方程与二次函数之间的关系，使用图象法可以快速解决此类问题。
例4(2014济宁)“如果二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解，解决下面的问题： 若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)=0的两个根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是()。
A.  m＜a＜b＜nB.  a＜m＜n＜b
C.  a＜m＜b＜nD.  m＜a＜n＜b
【解析】
【方法一】
方程可以化简为x2－(a＋b)x＋ab－1=0。

根据求根公式得： x=(a＋b)±(a-b)2＋42，

即 m=(a+b)-(a-b)2+42，

n=(a+b)+(a-b)2+42。


∵a＜b，∴a=(a＋b)－(a-b)22，b=(a＋b)＋(a-b)22，∴a＜a＋b2＜b，
(a＋b)－(a-b)2＋42＜(a＋b)－(a-b)22＜a＋b2＜(a＋b)＋(a-b)22＜(a＋b)＋(a-b)2＋42，
∴m＜a＜b＜n。
故答案为： A。
【方法二】
依题意，画出二次函数y=(x－a)(x－b)的图象，如图1.1.9所示。


图1.1.9


函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b(a＜b)。
方程1－(x－a)(x－b)=0转化为(x－a)(x－b)=1，
方程的两个根是抛物线y=(x－a)(x－b)与直线y=1的两个交点。
由m＜n可知，对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n。
由抛物线开口向上知，在对称轴左侧，y随x增大而减小，则有m＜a； 在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n。
综上所述，可知m＜a＜b＜n。
故答案为： A。
【方法三】
依题意，画出二次函数y=(x－a)(x－b)的图象，如图1.1.10所示，该二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为(a，0)和(b，0)，其中a＜b。


图1.1.10


将二次函数y=(x－a)(x－b)的图象向下平移1个单位，得到新二次函数的解析式为y1=(x－a)(x－b)－1，
∴这时，新二次函数与x轴的交点为(m，0)和(n，0)，其中m＜n，

易得m＜a＜b＜n。
故答案为： A。
【方法四】
依题意，令a=0，b=1，则原方程可转化为1－x(x－1)=0，即x2－x－1=0，
解得x1=1＋52，x2=1－52。
∵m＜n，∴m=1－52＜0，n=1＋52＞1，∴m＜a＜b＜n。
故答案为： A。



三、 分类与整合思想
在解决某些数学问题且被研究的问题包含多种情况时，必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向将其划分为若干部分分别研究。这里集中体现的是由大化小、由整体化为部分、由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起。这种“合—分—合”的解决问题的思想就是分类与整合思想。








例5(2014徐州)点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为－3，1，若BC=2，则AC等于()。
A.  3B.  2C.  3或5D.  2或6
【解析】
根据题意画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算。
点A，B表示的数分别为－3，1，AB=4。
第一种情况： 点C在AB外，如图1.1.11所示，AC=4＋2=6。


图1.1.11


第二种情况： 点C在AB内，如图1.1.12所示，AC=4－2=2。


图1.1.12


故答案为： D。
【总结】题目没有给出图形，需要注意分类情况。
例6(2014凉山)已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为()。
A.  25cmB.  45cm
C.  25cm或45cmD.  23cm或43cm
【解析】
连接AC，AO。
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=12AB=12×8=4(cm)，OD=OC=5cm。
当点C位置如图1.1.13所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2－AM2=52－42=3(cm)，∴CM=OC＋OM=5＋3=8(cm)，
∴AC=AM2＋CM2=42＋82=45(cm)。


图1.1.13



当点C位置如图1114所示时，同理可得OM=3cm。


图1.1.14


∵OC=5cm，∴CM=5－3=2(cm)，
在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=42+22=25(cm)。
故答案为： C。


四、  特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，从而形成对这类事物总体的认识。这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程。但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题。这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程。于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一。数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究中的特殊与一般思想。








例7(2012无锡)如图1.1.15所示，以M(-5，0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是⊙M上异于点A，B的一个动点，直线PA，PB分别交y轴于点C，D，以CD为直径的⊙N与x轴交于点E，F，则EF的长()。


图1.1.15


A. 等于42 B.  等于43
C.  等于6 D.  随P点
【解析】
【方法一】
如图1.1.16所示，连接NE。


图1.1.16


设∠PAB=30°，则∠ACO=∠PBA=60°。
∵⊙M的半径为4，圆心为M(-5，0)，∴AB=8，A(－9，0)，B(－1，0)，
∴PB=12AB=4，PA=43，AO=9，
∴OC=33，AC=2OC=63，PC=AC－PA=23，
∴CD=2PC=43，⊙N的半径为23，∴ON=OC－NC=3，∴EF=2OE=6。
设∠PAB=45°时，同理可得EF=6。
故答案为： C。 
【方法二】
如图1.1.16所示，连接NE。
设⊙N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r＋x。
∵以点M(-5，0)为圆心，4为半径的圆与x轴交于A，B两点，
∴OA=4＋5=9，OB=5-4=1。
∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°，∴∠PAB＋∠PBA=90°。
∵∠BOD=90°，∴∠ODB＋∠OBD=90°。
∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB。
又∵∠AOC=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA，
∴OCOB=OAOD，即r+x1=9r－x，解得r2-x2=9。
由垂径定理得OE=OF，OE2=EN2-ON2=r2-x2=9，即OE=OF=3，
∴EF=2OE=6。
故答案为： C。 


【总结】代入特殊角度，或者直接设未知数都可以获得正确答案。
例8(2012常州)已知a，b，c，d都是正实数，且ab＜cd，给出下列四个不等式： 
① aa＋b＜cc＋d； ② cc＋d＜aa＋b； ③ dc＋d＜ba＋b； ④ ba＋b＜dc＋d。
其中不等式正确的是()。
A.  ①③B.  ①④C.  ②④D.  ②③
【解析】
【方法一】
∵a，b，c，d都是正实数，且ab＜cd，∴令a=1，b=2，c=3，d=4，
则aa＋b=13=721＜921=37=cc＋d，∴①正确，②不正确。
同理可得： ③正确，④不正确。
故答案为： A。
【方法二】
∵a，b，c，d都是正实数，且ab＜cd，∴ba＞dc。
∵a＋ba=1＋ba，c＋dc=1＋dc，
∴a＋ba＞c＋dc，∴aa＋b＜cc＋d，∴①正确，②不正确。
同理可得： ③正确，④不正确。
故答案为： A。
【方法三】
∵ab＜cd，a，b，c，d都是正实数，∴ad＜bc，
∴ac＋ad＜ac＋bc，即aa＋b＜cc＋d，∴①正确，②不正确。
∵ab＜cd，a，b，c，d都是正实数，∴ad＜bc，
∴bd＋ad＜bd＋bc，即dc＋d＜ba＋b，∴③正确，④不正确。
故答案为： A。
【总结】本题解答方法多样，根据a，b，c，d都是正实数，可以采用特值法，方便快捷地得到正确答案。



五、 化归与转化思想
化归与转化思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略。数学题中的条件与条件、条件与结论之间存在着差异，差异即矛盾，解题过程就是有目的地不断转化矛盾，最终解决矛盾的过程。








例9（2020泰安）如图1.1.17所示，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）。


图1.1.17


A. 2+1B. 2+12
C. 22+1D. 22-12
【解析】
如图1.1.18所示，在x轴上取点D使得OD=OA=2，连接CD。


图1.1.18


∵点M为线段AC的中点，∴AM=CM，
∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD。
∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴点C在⊙B上，且半径为1。
当D，B，C三点共线，且点C在DB的延长线上时，CD最大，此时OM也最大。
∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴BD=22，
∴CD=22+1，
∴OM=12CD=2+12，即OM的最大值为2+12。
故答案为： B。
【总结】本题利用中位线定理,把求OM的最值问题转化为求CD的最值。

例10(2014山西)一个走廊拐角的横截面积如图1.1.19所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，EF的圆心为点O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE，FG分别与⊙O相切于E，F两点。若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是 EF的中点，则木棒MN的长度为m。


图1.1.19


【解析】
如图1.1.20所示，连接OB，延长OF，OE分别交BC于点H，交AB于点K。



图1.1.20


∵DE，FG分别与⊙O相切于E，F两点，∴OE⊥ED，OF⊥FG。
∵AB∥DE，BC∥FG，∴OK⊥AB，OH⊥BC。
∵∠EOF=90°，∴四边形BKOH是矩形。
∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O的半径为1m，∴OK=OH=2，
∴矩形BKOH是正方形，∴∠BOK=∠BOH=45°。
∵P是EF的中点，∴OB经过点P。
在正方形BKOH中，边长=2，∴OB=22。
∵OP=1，∴BP=22－1。
∵P是MN与⊙O的切点，∴OB⊥MN。
∵OB是正方形BKOH的对角线，∴∠OBK=∠OBH=45°。
在△BPM与△BPN中，∠OBK=∠OBH=45°

∠BPM=∠BPN

BP=BP，∴△BPM≌△BPN(ASA)，
∴MP=NP，∴MN=2BP。
∵BP=22－1，∴MN=2×(22－1)=42－2。
故答案为： 42－2。




六、 必然与或然思想
人们发现的事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的或随机的。随机现象有两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果未必相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果； 二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。概率与统计研究的对象均是随机现象，研究的过程是在“或(偶)然”中寻找“必然”，再用“必然”的规律去解决“或然”的问题，这其中所体现的数学思想就是必然与或然思想。







例11(2014绍兴)如图1.1.21所示，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯。AB间的距离为800m，BC间的距离为1000m，CD间的距离为1400m，且l上各路口的红绿灯设置为： 同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红(绿)灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同。若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以30km/h的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为()s。



图1.1.21



A.  50B.  45C.  40D.  35

【解析】
∵甲汽车从A路口以30km/h的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，∴两车的速度为300003600=253(m/s)。
∵AB间的距离为800m，BC间的距离为1000m，CD间的距离为1400m，
∴分别通过AB，BC，CD所用的时间为800253=96(s)，1000253=120(s)，1400253=168(s)。

∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，
∴每次绿灯亮的时间为50s时，9650=12325，∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A选项错误。
每次绿灯亮的时间为45s时，16845=31115，∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B选项错误。
每次绿灯亮的时间为40s时，96+12040=525，∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C选项错误。
每次绿灯亮的时间为35s时，9635=22635，96+12035=6635，96+120+16835=103435，16835=445，168+12035=8835，
∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D选项正确。
故答案为： D。
【总结】本题难度较大，路灯亮的时长未知，需要逐一排除。
例12(2013泰州)事件A: 打开电视，它正在播广告； 事件B： 抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7； 事件C： 在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化。3个事件的概率分别记为P(A)，P(B)，P(C)，则P(A)，P(B)，P(C)的大小关系正确的是()。
A.  P(C)＜P(A)=P(B) 
B.  P(C)＜P(A)＜P(B)
C.  P(C)＜P(B)=P(A) 
D.  P(A)＜P(B)=P(C)
【解析】
事件A是随机事件，0＜P(A)＜1。
事件B是必然事件，P(B)=1。
事件C是不可能事件，P(C)=0。
P(C)＜P(A)＜P(B)。
故答案为： B。



1.2解 题 技 巧
中考数学的选择题与填空题是答案唯一的客观题，不需要书写严格且完整的解答过程，可以通过适当的解题技巧，简化解题的难度，减少解题的时间，提高解题的效率。以下几种解题方法均有各自的使用范围及限制条件，需要根据具体题目合理选用。



一、 直接法
根据已知条件，通过分析、推理求出正确答案，适合所有类型的题目。