三、 丢番图和勾股数 古往今来，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅。他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，但这些形和数，却代表了他们一生的执着追求和闪光的业绩。 在“一、王冠疑案的始末”中的那个古希腊数学家，阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰与圆柱 的高相等。这个图形表达了阿基米德的如下发 现： 球的体积和表面积 都等于它外接圆柱体体积 和表面积的2/3。 由此容易推得一个半径 为R的球体的体积V和表 面积S的公式 V=43πR3 S=4πR2 令人难以置信的是，这个竖立于叙拉古的阿基米德墓碑，不是由阿基米德的朋友修建的，而是由敬畏他的敌人也就是那个围攻叙拉古的罗马军队统帅马塞拉斯修建的。 1610年，荷兰人鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen，1540—1610）把π算到了小数点后面35位，这是当时的世界纪录。他感到自己不虚此生，于是留下遗言，要后人把π的35位小数刻在他的墓碑上。 17世纪瑞士的著名数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705），在数学的许多分支都有过重要的贡献，尤其醉心于对数螺线的美妙性质。他在临终前特地叮嘱，要求将一正一反的两条对数螺线刻在他的墓碑上，并附以简洁而又含义双关的墓志铭： “我虽然变了，但却和原来一样！” 在众多数学家的墓志铭中，被誉为“代数学鼻祖”的丢番图的墓志铭，可算是一个例外。丢番图（Diophantus，246—330）是 3世纪亚历山大里亚城人，他的名著《算术》对后世影响极大，是一部可与欧几里得（Euclid，约公元前330—前275）的《几何原本》相媲美的代数学的最早论著。丢番图的墓碑文是很奇特的，用一种未知的方式写出了已知的一生： 过路人！这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你他活了多少岁。 他生命的1/6是幸福的童年。 再活1/12，颊上长出了细细的胡须。 又过了生命的1/7他才结婚。 再过了5年他感到很幸福，生了一个儿子。 可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。 儿子死后，老人在悲痛中活了4年，结束了尘世生涯。 请问： 丢番图活了多少岁？几岁结婚，几岁生孩子？ 这段散发着代数芳香的碑文，是历史留给后人关于这位学者生平的唯一信息。根据这一信息我们可以列出方程 x6+ x12+ x7+5= x2-4 解得x=84。即丢番图享年84岁，他33岁结婚，38岁得子。 尽管人们对丢番图的生平知之不多，但对他的学术造诣却颇为了解。尤其丢番图关于二次不定方程的巧妙解答，更使后人叹为观止。下面讲的勾股数组便是其中一例。 大家知道，我国是世界上最早发现勾股定理的国家。早在公元前1100年，我国劳动人民就已掌握了勾三、股四、弦五的规律， 图3.1 在两千年前成书的《周髀算经》中，记载了那时周公与商高的一段有趣对话。书中还有一张勾股定理证明图(图3.1)，叫“弦图”。 勾股定理的一般表述是： 假设x、y是一个直角三角形的两条直 角边长，z是斜边长，那么这3个数必须满足 x2+y2=z2 西方最早发现这个定理的，是古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580—前500）。除证明以外，他还找到了如下求勾股数组的式子： x=n y=12（n2-1） z=12（n2+1）（n为正奇数） 后来另一个古希腊著名学者柏拉图（Plato，公元前427—前347）也给出了类似的式子。 丢番图发现，无论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，例如8，15，17就不在毕达哥拉斯的式子中。于是丢番图致力于寻求构造勾股数的一般法则。丢番图找到的这种法则是： 若a、b是两个正整数，且2ab是完全平方，则 x=a+2ab y=b+2ab z=a+b+2ab 是一组勾股数。 丢番图究竟怎样找到这些式子，我们今天无从得知，但读者完全可以验证它们满足方程 x2+y2=z2 用丢番图的方法，我们可以得到最前面的几组勾股数(表3.1)。 表3.1几组勾股数 abx2+y2=z2 1232+42=52 1852+122=132 2462+82=102 11872+242=252 2982+152=172 3692+122=152 13292+402=412 216102+242=262  丢番图的功绩在于，他所找到的式子包含了全部的勾股数组。值得一提的是，与丢番图同时代的我国魏晋时期数学家刘徽，用几何的方法找到了以下求勾股数组的公式： x=uv y=12（u2-v2） z=12（u2+v2） u、v为同奇偶的 正数； 且u>v 这一结论载于263年刘徽对一部古籍算书的注释本中。这是迄今为止人们对于勾股数组的最为完美的表示之一。 久远的年代，往往使事件笼罩上一层神秘的色彩。 1945年，人们惊奇地发现了一份古巴比伦人的数学 手稿。据考证，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900—前1600年。手稿中令人难以置信地列出了以下15组勾股数(表3.2)。 表3.2古巴比伦人的数学手稿中的15组勾股数 序号勾 股 数 组序号勾 股 数 组 1119，120，169 23367，3456，4825 34601，4800，6649 412709，13500，18541 565，72，97 6319，360，481 72291，2700，3541 8799，960，1249 9481，600，769 104961，6480，8161 1145，60，75 121679，2400，2929 13161，240，289 141771，2700，3229 1556，90，106 表3.2中的许多勾股数具有很大的数字，这些数即使在今天 也不是人人都很熟悉。天晓得古巴比伦人当时是怎样得到这些数的！如果考古学家坚信自己没有对历史年代判断错的话，那么上面的史实表明： 在世界的其他地方还不知道3、4、5的关系的时候，古巴比伦人已经有了相当灿烂的文化。这无疑给人类早期的文明史，又增添了一个千古之谜！ 四、 悬赏10万马克的问题 第三节中我们说到，早在3世纪丢番图实际上已经给出了不定方程x2+y2=z2的全部正整数解。 1621年，才华横溢、学识渊博的法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1601—1665）在巴黎的书摊上买到了一本巴夏翻译的拉丁文本《算术》。这部古希腊数学家丢番图的著作，引起了费马的浓厚兴趣，此后10多年，他经常翻看此书，还不时用拉丁文在书页的空白处写下批注。 费马是17世纪欧洲最负盛名的一位数学家，也是公认的数论和概率论的创始人之一。他善于提问，富于探索，在数学的许多领域有着极深的造诣和辉煌的成就。只是费马性格怪异，从不愿意公开发表著作。他的大多数研究成果，不是记录在与友人的通信之中，就是批注在阅读过的书籍之上。1665年费马病逝，留下一大堆手稿和信札。1670年，费马的儿子在整理父亲遗留下的书籍时偶然间发现，在巴夏译的那本丢番图的书上， 有一段父亲30多年前（即1637年）用拉丁文写下的批注： 将一个正整数的立方表示为两个正整数的立方和； 将一个正整数的4次幂表示为两个正整数的4次幂的和； 或者一般地，将一个正整数高于二次的幂表示为两个正整数同次幂的和，这是不可能的。对此，我确信已经找到了令人惊异的 证明，但是书页的边缘太窄了，无法把它写下。 费马的这段批注，写在《算术》一书的第2卷第8命题旁边，这个命题就是第三节所讲的，求不定方程 x2+y2=z2的整数解。因而我们可以把费马声称获证的论断，类似地简述为： 当n≥3时，不定方程 xn+yn=zn 没有整数解。 费马批注的公开，引起了人们的极大兴趣。费马的儿子翻箱倒柜，查遍了父亲的藏书、遗稿和其他遗物，热切期望能找到那个“令人惊异”的证明，但始终一无所获。许多优秀的数学家也为寻求费马的证明方法，付出了巨大的努力和艰辛的劳动，然而都没能取得成功。在一连串的失败和挫折之后，人们开始怀疑，费马是否充分论证过他的定理。 随着时间的流逝，这个以费马命名的猜想，成为向人类智慧挑战的一道举世闻名的难题。 第一个富有历史性的突破，出现于1779年。彼得堡科学院院士莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）采用无限递降法，成功地证明了当n=3，n=4时费马猜想是成立的。此后，问题又沉寂了近50年。到了1823年，法国数学家阿德利昂·勒让德（Adrien Legendre，1752—1833）重新吹响了进军号。他证明了当n=5时费马猜想成立。8年之后，一位完全靠自学成才的法国妇女索菲·热尔曼(Sophie Germain，1776—1831)，凭着独有的聪明和才智，把结果向前大大推进了一步： 在假定x、y、z与n互质的前提下，证明了对小于100的奇质数，费马猜想都是正确的。 受热尔曼的启发，人们发现，如果把费马猜想中的条 件放宽，例如附加上n≥z的限制，那么整个证明将变得容易。事实上这时我们不妨假设 n≥z＞y≥x 于是有 zn-yn=（z-y）（zn-1+zn-2y+zn-3y2+…+yn-1） >1·nxn-1>xn