三、 圣马可广场上的游戏 在世界著名的水城威尼斯，有个圣马可(San Marco)广场。广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂。教堂的前面是一方开阔地。这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一个奇怪的游戏： 把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！ 图3.1 奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都如图3.1那般，走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！ 类似的现象，更为神奇地出现在美国著名作家马克·吐温的笔下。在《国外旅行记》一书中，马克·吐温(Mark Twain,1835—1910)描述了自己一次长达4.7英里的夜游，然而所有的一切，都只发生在一间黑暗的房间里！下面便是这一动人故事的精彩片断： 我醒了，感觉到口中发渴。我脑际浮起一个美好的念头——穿起衣服来，到花园里换换空气，并在喷泉旁边洗个脸。 我悄悄地爬了起来，开始寻找我的衣物。我找 到了一只袜子，至于第二只在什么地方，却无法知晓。我小心地下了床，四周爬着乱摸一阵，然而一 无所获！我开始向更远的地方摸索，越走越远，袜 子没有找到，却撞在家具上。当我就寝的时候，四周的木器并不是这样多的，现在呢？整个房间都充满了木器，特别是椅子最多，仿佛到处都是椅子！不会是这段时间中又迁来了两家人吧？这些椅子我在黑暗中一张都看不到，但我的头却不断撞到它们。最后，我下了决心，少一只袜子也一样可以生活！我站了起来，向房门——我这样想——走去，却意外地在一面镜子里看到了我的朦胧的面孔。 这已经很清楚，我迷失了方向，而且自己究竟在什么地方，竟得不到一点印象。假如房里只有一面镜子，那么它将会帮助我辨清方向。但不幸偏偏有两面，而这却跟有一千面同样糟糕！ 我想顺着墙走到门口，开始我新的尝试。不料竟把一幅画碰了下来。这幅画并不大，却发出了像一幅巨大画片跌落的响声。葛里斯（我同房间睡的另一张床上的邻人）并没有翻身。但是我觉得，假如我继续下去，那么必然会把他惊醒。我开始向另一个途径尝试，我又重新找到那张圆桌——我方才已经有好几次走到它旁边——打算从那里摸到我的床上； 假如找到了床，就可以找到盛水的玻璃甑，那么至少可以解一解不可耐的口渴了！最好的办法是——用两臂和两膝爬行。这个方法我已经尝试过，因此对它比较信任。 终于，我找到了桌子——我的头碰到了它——发出了比较大的响声。于是我再站起来，向前伸出了五指张开的双手，来平衡自己的身子，就这样踯躅前行。我摸到了一把椅子，然后是 墙，又是一把椅子，然后是沙发，我的手杖，又是一只沙发。这很使我惊奇，因为我清楚地知道，这房间中一共只有一只沙发！我又碰到桌子上，并且撞疼了一次，后来又碰到一些椅子上。 直到那个时候我才想起，我早就应该怎样走。因为桌子是圆形的，因此不可能作为我“旅行”的出发点。我存着侥幸的心理，向椅子和沙发之间的空间走去——但是我陷到一个完全陌生的境地中，途中把壁炉上的蜡烛台碰了下来，接着碰倒了台灯，最后，盛水的玻璃甑也“砰嘭”一声落地打碎了！ “哈哈！”我心里想道，“我到底把你找到了，我的宝贝！” “有贼！捉贼呀！”葛里斯狂喊起来。 整个房子马上人声鼎沸，旅店主人、游客、仆人纷纷拿着蜡烛和灯笼跑了进来。 我四面望了望，我竟是站在葛里斯的床边！靠墙只有一只沙发，只有一张椅子是我能够碰到的——我整整半夜像行星一样绕着它转，又像彗星一样把它碰着！ 根据我步测的计算，这一夜我一共走了4.7英里！ 马克·吐温先生的上述故事，无疑是经过极度夸大了的，但他描写的关于一个人在黑暗中失去方向后的境遇，每个人都有可能碰到！读者还可以从其他著作中，看到许多人在沙漠或雪地里由于迷失方向而在原地打转的描述。这一切近乎玩笑般的遭遇，终于引起了科学家们的注意。 1896年，挪威生理学家古德贝尔对闭 眼打转的问题进行了深入的探讨。他收集了大 量事例后分析说，这一切都是由于人自身的两条 腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一 只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长 一段微不足道的距离。而正是这一段很小的步 差x，导致这个人走出一个半径为y的大圈子。如图3.2所示。 现在我们来研究一下x与y(x,y单位为米)之间的函数关系(图3.3)。 图3.2 图3.3 假定某人两脚踏线间相隔为d。很明显，当人在打转时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆。设该人平均步长为l(d，l单位为米)。那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程 2πy+d2-2π y-d2=2πd 另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即 2πd=2πy2l·x 化简得 y=2dlx 对一般的人，d=0.1，l=0.7，代入得 y=0.14x 这就是所求的迷路人打转的半径公式。今设迷路人两脚步差为0.1毫米，仅此微小的差异，就将导致他在大约3千米的范围内绕圈子！ 图3.4 上述公式中变量x，y之间的关系，在数学上称为反比例函数关系。反比例函数一般形如 y=kx， 这里k为常量。它的图像是两条弯曲的曲线(图3.4)，数学上称为等边双曲线。反比例函数在工业、国防、科技等领域都很有用处。 下面我们回到本节开始讲的那个圣马可广场上的游戏上来。我们先计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点，要想抵达教堂CD，最小的弧线半径应该是多少。如图3.5所示，注意到矩形ABCD的边BC=175，AM=MB=41（单位： 米）。那么上述问题无疑相当于几何中 的以下命题： 已知BC与MB，求MC的半径R的大小。 图3.5 因为BC2=R2-（R-MB）2=MB（2R-MB） 所以1752=41×（2R-41） R=394 这就是说，游人要希望成功，他所走弧线半径必须不小 于394米。现在我们再来算一下，要达到上述要求，游人的两脚步差需要什么限制。根据公式 y=0.14x 因为y=R′≥394 所以x≤0.14394=0.00035 这表明游人的两只脚步差必须小于0.35毫米，否则成功便是无望的！然而，在闭眼的前提下两脚这么小的步差一般人是做不到的，这就是在游戏中没有人能够蒙上眼睛走到教堂前面的原因。 四、 奇异的“指北针” 对于在沙漠、草原或雪野上迷路的人，辨别方向无疑是至关重要的。否则，尽管他心想一直朝前走，但由于自己两腿跨步间的差异，结果只能在原地附近绕圈子。试验资料表明，这种圈子的直径，不会大于4千米。 在上一节故事中，我们介绍过迷路人所绕圈子的半径为 R=2ldx 很明显，要想增大R的值，只有增大分子和缩小分母两条路。对一般的人来说，增大分子的步长l和两脚间平距d是极为有限的，而缩小分母的步差x，则更为艰难！后者是由于： 当假定所绕圈子直径为4千米时，代入公式算出所要求的x=0.00007，即0.00007米，不足于0.1毫米。要想再提高精确度，恐怕只能是“心有余而力不足了”！ 有一种数学上常用的办法，可以提高公式中的R值。拿3根标杆，然后采用三杆对齐的方法，如图4.1所示，根据杆A、杆B确定AB延线上的杆C； 然后拔去杆A，再根据杆B、 杆C确定杆D； 然后再拔去杆B，又根据杆C、杆D确定杆E，如此反复，每次都三杆对齐。这一过程无疑类似于走路。每根标杆相当于“脚”； 两杆间的平均距离L则相当于“步长”，而标杆的宽度即为新的“脚间平距”D。至于新“步差”X，可视为杆与杆之间左右两侧距离的差。从理论上讲，这个差固然应当为0，但实际上不可能取得比通常的步差更小。 图4.1 这样，我们可望有 L=60l两根标杆间距L，通常取步长的60倍。；D=12d；X=x 代入公式可以算出新的半径R′ R′=2LDX= 2×60l×12dx=30R 即所绕圈子的直径大约为120千米，绕这样大圈子的弧线走，在一般情况下，是可以看成沿直线前进的！ 不过，沿直线前进与定向行进完全是两码事，后者无疑是主要的。因为尽管你走得笔直，但却南辕北辙，背道而驰，那么只能是距目标更加遥远。 现在让我们模仿英国作家丹尼尔·笛福(Daniel Defoe，1660—1731)，编造一个类似于他笔下的鲁滨逊的故事，设想我们的主人公——一位迷失了方向的人，已经面临着一种艰难的境地，他在旅行中赖以辨认方向的罗盘不幸丢失了！我们试图帮助他从这一困境中解脱出来。 倘若故事发生在晴天的夜 晚，那是不用愁的，因为北极星可以准确地指示 方向。至于如何在繁星密布的夜 空找到北极星，在本书的第一个 故事中曾经介绍过，我想读者一定记忆犹新。 图4.2 倘若故事发生在阴天，情况似乎比较棘手！不过，只要细心观察周围，还是有希望找到一些辨别方向的标志的。如北半球树木的年轮一般是偏心的，如图4.2那样，靠北方向（N）年轮较密，而