三、 偶然中的必然 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，则可能发现： 在大量的偶然之中存在着必然的规律。 就拿掷钱币来说吧！一枚均匀的钱币掷到桌上，出现正面还是反面预先是无法断定的。假如我们掷的钱币不止一枚，或掷的次数不止一次，那么出现正、反面的情况又将如何呢？这可是一个有趣的问题。 历史上就有人做过成千上万次投掷钱币的试验，表3.1列出的是几位知名人士的试验记录。 表3.1投掷钱币试验记录 实验人投掷次数出现正面频率 （正面出现次数/ 投掷次数） 德摩根204810610.5181 比丰404020480.5069 皮尔逊1200060190.5016 皮尔逊24000120120.5005 0 0 容易看出，投掷的次数越多，频率越接近0.5。这中间究竟有些什么奥妙？第一个科学地指明其中规律的，是世界数学史上著名的伯努利家族的雅各·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）。伯努利家族是从荷兰移居到瑞士的新教徒。从17世纪末到18世纪，这个家族的三代人，出了8位杰出的数学家。雅各是其中最负盛名的一位。他几乎是 靠自学成才的。但由于过人的才华和造诣，从33岁起到逝世的18年时间里，他一直受聘为巴塞尔大学教授。他的名著《推测术》是概率论中的一座丰碑。书中证明了极有意义的大数定律。这个定律说明： 当试验次数很大时，事件出现的频率和概率有较大偏差的可能性很小，因此可用频率来近似地代替概率。这个定律使伯努利的名字永载史册。 大数定律： 当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值p附近摆动。这个稳定值p叫作随机事件A的概率，记为P（A）=p。 频率的稳定性可以从人类生育的统计中得到生动的例证。一般人或许会认为，生男生女的可能性是相等的，因而推测男婴和女婴出生人数的比应当是1∶1，可事实并非如此。 1814年，法国著名的数学家皮埃尔·拉普拉斯（Pierre Laplace，1749—1827）在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了以下有趣的统计。他根据伦敦、圣彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出几乎完全一致的男婴出生人数与女婴出生人数的比值为22∶21，即在全体出生婴儿中，男婴占51.16%，女婴占48.84%。可奇怪的是，当他统计1745—1784年整整40年间巴黎男婴的出生率时，却得到了另一个比值25∶24，即在全体出生婴儿中，男婴占51.02%，与前者相差0.14%。 0.14%的微小差异！拉普拉斯对此感到困惑不解，他深信自然的规律，他觉得在这0.14%的后面，一定有着特别的原因。于是，拉普拉斯进行了深入的调查研究，终于发现当时的巴黎人“重女轻男”，有抛弃男婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相。经过修正，巴黎男婴、女婴出生的概率依然是： P（男）＝0.512 P（女）＝0.488 我国的几次人口普查统计表明，男婴、女婴出生人数的比也是22∶21。 为什么男婴出生率要比女婴出生率高一些呢？这是生物学上的一个有趣课题。 原来，人类体细胞中含有46条染色体。这46条染色体都是成对存在的，分为两套，每套中位置相同的染色体具有相同的功能，共同控制人体的一种性状。第23对染色体是专司性别的，这一对因男女而异： 女性的这一对都是X染色体； 男性的这一对中一条是X染色体，另一条是Y染色体。由于性细胞的染色体都只有单套，所以男性的精子有两种，一种含X染色体，另一种含Y染色体，而女性的卵子，则全部含X染色体。生男生女取决于含X染色体和Y染色体的两种精子同卵子的结合。如果带Y染色体的精子同卵子结合，则生男； 如果 带X染色体的精子同卵子结 合，则生女。大概是由于含X 染色体的精子与含Y染色体的精 子之间存在某种差异吧！这使得 它们进入卵子的机会不尽相同，从而造成男婴和女婴出生率的不相等！生物学家应当感谢数学家发现了这个问题。 以上事实表明： 在大量纷纭杂乱的偶然现象背后，往往隐藏着必然的规律。“频率的稳定性”就是这种偶然中的一种必然。 四、 威廉·向克斯的憾事 圆周率π是圆周长与直径的比值。一部计算圆周率的历史，被誉为人类“文明的标志”。公元前3世纪，古希腊著名学者阿基米德（Archimedes，公元前287—前212）首先在完全科学的基础上计算出π≈3.14。263年前后，我国魏晋时期的数学家刘徽，利用割圆术计算了圆内接正3072边形的面积， 求得π≈39271250=3.1416。又过了约两百年， 我国南 北朝时期的杰出数学家祖冲之（429—500）用至今人们还不清楚的方法，确定了π的真值在3.1415926与3.1415927之间。祖冲之获得这一光辉成果，要比国外数学家早大约1000年。今天，人们为了纪念这位卓越数学家的不朽功绩，特将月球背面的一个山脉以“祖冲之”命名。 祖冲之之后第一个做出重大突破的是阿拉伯数学家阿尔·凯西(AlKshī,1380—1450)，他计算了圆内接和外切正 805306368(3×228)边形的周长后得出 π≈3.1415926535897932 1610年，德国人鲁道夫·范·柯伦（Ludolph van Ceulen,1540—1610）把π算到了小数点后35位。后来，纪录一个接一个地被刷新： 1706年，π的计算越过了百位大关，1842年达到了200位，1854年突破了400位…… 1872年，英国学者威廉·向克斯（William Hianx，1812—1882）把π的 值算到了小数点后707位。为此，他花费了整整20个年头。向克斯去世后，人们在他的墓碑上刻下了他一生心血的结晶——π的707位小数。此后50多年，人们对向克斯的计算结果深信不疑，以至于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着向克斯的π值。 又过了若干年，数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑，法格逊的疑问是基于以下奇特的想法： 在π的数值式中，大约不会对一两个数值有所偏爱。也就是说，各数值出现的概率都应当等于110。于是，他检查了向克斯π的前608位小数中各数值出现的情况，统计结果如表4.1所示。 表4.1向克斯计算出的π的前608位小数中各数值的出现频率 数值出现次数出现频率与设想频率相差 0600.099-0.001 1620.102+0.002 2670.110+0.010 3680.112+0.012 4640.105+0.005 5560.092-0.008 6620.102+0.002 7440.072-0.028 8580.095-0.005 9670.110+0.010 6081.000 法格逊觉得，向克斯计算的π中，各数值出现次数过于参差不齐，大概是因为计算有错。于是，他下定决心，用当时最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，整整算了一年，终于发现，向克斯π的707位小数中，只有前527位是正确的。由于当初向克斯没有发现，结果白白浪费了许多年的光阴去计算后面错误的数，这真是一件憾事。 值得一提的是，法格逊的成就是基于他的一个猜想，即在π的数值中各数出现的概率相等。尽管这个猜想曾让法格逊发现并纠正了向克斯的错误，然而猜想毕竟不等于事实！法格逊想验证它，却无能为力，人们想验证它，又苦于已知π的位数太少。 但是情况很快有了转机。随着电子计算机的出现和应用，计算π的值有了飞速进展。1961年，美国学者丹尼尔和伦奇把π算到了小数点后100265位，20年后，日本人又把纪录 推过了2000000位大关（最新的纪录是： 2019年3月14日，谷歌宣布已将π计算到小数点后3.14×1013位） 。于是，人们的心中又重新燃起了验证法格逊猜想的希望之火。1973年，法国学者让·盖尤与他的助手合作，对π的前100万位小数中各数值出现的频率进行了统计，得出以下结果(表4.2)。 表4.2π的前100万位小数中各数值的出现频率 数值出现次数出现频率 0999590.1000 1997580.0998 21000260.1000 31002290.1002 41002300.1002 51003590.1003 6995480.0995 7998000.0998 8999850.1000 91001060.1001 10000001.0000 从表4.2可以看出，尽管各数值的出现频率存在某种波动，但基本上平分秋色。看来，法格逊的想法应当是正确的！在π的数值展开式中有 P（0）＝P（1）＝P（2）＝…＝P（9）＝0.1 五、 勒格让先生的破译术 在美国著名作家埃德加·爱伦·坡（Edgar Allan Poe，1809—1849）的小说《金甲虫》中，有这么一位勒格让先生。一天，当他沿着一片荒凉的海滩散步时，偶然发现一张埋在湿沙里的羊皮纸。他把这张羊皮纸带回家里。当他坐在火炉旁烤火的时候，一件奇迹发生了！原来毫不起眼的羊皮纸，在火的烘烤下，竟神奇般地显现出一些清晰可辨的红色符号。