第3章重积分Multiple integrals 与定积分类似，重积分的概念也是在解决实际问题的过程中抽象出来的，是定积分的一种推广形式，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”。所不同的是： 定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间； 而重积分的被积函数是多元函数，积分范围是平面或空间中的某一区域。尽管如此，定积分和重积分之间仍然存在着密切联系，如重积分可以转化为累次积分，再利用定积分的计算方法进行计算。本章首先介绍二重积分的概念、性质、计算方法； 然后将其推广到三重积分； 最后给出重积分的一些简单应用。 3.1二重积分的概念与性质Concepts and properties of double integrals 3.1二重积分的概念与性质 Concepts and properties of double integrals 本节通过引入两个实例，即曲顶柱体的体积和非均匀平面薄片的质量，抽象出二重积分的定义，并给出二重积分的几何解释； 然后讨论二重积分的一些基本性质； 最后根据积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，给出二重积分的约化方法。 3.1.1引例 引例1曲顶柱体的体积 这里所指的曲顶柱体，其特征是顶为曲面、底为平面、侧面为母线垂直于底面的柱面。 将曲顶柱体放置在空间直角坐标系中，假设其底面为xOy坐标面上可求面积的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，它的顶可以由连续函数z=f（x,y）表示，且f（x,y）≥0，如图3.1（a）所示。求该曲顶柱体的体积。 图3.1 易知，若曲顶柱体的顶是与底面z=0平行的平顶，即z=f（x,y）=C>0，则其体积等于底面积乘以高。但对于曲顶柱体，这个公式就失效了。事实上，利用计算曲边梯形面积的基本思想，采用“分割、近似、求和、极限”这4个步骤，便可以解决此问题。具体求解步骤如下： （1） 分割（partition）用任意一组线网将平面区域D分割成n个小闭区域，记作Δσ1,Δσ2,…,Δσn，其中Δσi（i=1,2,…,n）也表示小闭区域的面积。以Δσi的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，如图3.1（b）所示，得到一个小曲顶柱体。以此类推，可以将原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体。 （2） 近似（approximation）以第i个小曲顶柱体（底面为Δσi）为例，体积记作ΔVi。由于函数z=f（x,y）在D上连续，所以函数在小闭区域Δσi内变化很小，于是该小曲顶柱体可以近似看成平顶柱体。此时，在底Δσi上任取一点（ξi,ηi），则平顶柱体的高为f（ξi,ηi），体积为f（ξi,ηi）Δσi。从而第i个小曲顶柱体的体积的近似值为 ΔVi≈f（ξi,ηi）Δσi，i=1,2,…,n。. （3） 求和（sum）将这些小平顶柱体的体积相加，得到∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi，并用它作为曲顶柱体的体积V的近似值，则有 V=∑ni=1ΔVi≈∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi。. （4） 极限（limit）当分割越来越细，小平顶柱体的体积之和就会越来越接近于曲顶柱体的体积。将Δσi中任意两点距离的最大值称为Δσi的直径，记作λi，则当λ=max1≤i≤n{λi}→0时，上述近似表达式右端的和式极限就是曲顶柱体的体积V，即 V= limλ→0∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi。. 引例2平面薄片的质量 将一非均匀材质的平面薄片放置在平面直角坐标系中，如图3.2所示。若已知其占有xOy坐标面上可求面积的有界闭区域D，面密度由连续函数ρ（x,y）（（x,y）∈D）表示，且ρ（x,y）>0。求该平面薄片的质量m。 沿用引例1的求解思想和过程，具体步骤如下： 图3.2 （1） 分割用任意一组线网把平面区域D分割成n个小闭区域，记作Δσ1,Δσ2,…,Δσn，其中Δσi也表示小闭区域的面积，如图3.2所示。 （2） 近似在第i个小闭区域Δσi上任取一点（ξi,ηi），以该点所对应的面密度ρ（ξi,ηi）代替Δσi上其他点处的面密度，则ρ（ξi,ηi）Δσi可近似看成第i个小块薄片的质量。 （3） 求和将这些小块的质量相加，便得到所求平面薄片质量的近似值，即 m≈∑ni=1ρ（ξi,ηi）Δσi。. （4） 极限与引例1类似，同样将Δσi中任意两点距离的最大值称为Δσi的直径，记作λi，则当λ=max1≤i≤n{λi}→0时，上述近似表达式右端的和式极限就是平面薄片的质量m，即 m= limλ→0∑ni=1ρ（ξi,ηi）Δσi。. 抛开上述两个引例自身的应用背景，不难抽象出二重积分的定义。 3.1.2二重积分的概念 定义3.1设D是可求面积的有界闭区域，函数f（x,y）在D上有界。首先将D用线网任意分割成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn，其中Δσi也表示第i个小闭区域的面积； 然后在每个Δσi上任取一点ξi,ηi，作乘积fξi,ηiΔσi（i=1,2,…,n），再作和∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi。当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，若limλ→0∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi存在（记作J），则称函数f（x,y）在区域D上可积，称极限值J为f（x,y）在D上的 二重积分（double integral），记作Df（x,y）dσ，即 Df（x,y）dσ=J= limλ→0∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi，（3.1） 其中，f（x,y）称为被积函数，f（x,y）dσ称为被积表达式，dσ称为面积微元，D称为积分区域，∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi称为积分和。 关于定义3.1的几点说明。 （1） 在定义中，当limλ→0∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi存在时，式（3.1）的运算结果是一个数值，该数值仅与被积函数f（x,y）及积分区域D有关，而与积分变量用哪些字母表示无关，即 Df（x,y）dσ=Df（u,v）dσ。. （2） 在定义中，对有界闭区域D的分割是任意的，点（ξi,ηi）在Δσi上的取法也是任意的，只有这两个“任意”同时被满足，且limλ→0∑ni=1f（ξi,ηi）Δσi存在的前提下，才称其极限值J为函数f（x,y）在D上的二重积分。 图3.3 （3） 若已知函数f（x,y）在有界闭区域D上可积，由二重积分的定义可知，对D进行任意形式的分割都不会改变最后的结果J。因此，为方便计算起见，常选用一些特殊的分割方法，如在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网分割区域D，如图3.3所示，那么除一些包含边界的小闭区域外（并不影响最后的结果），其余的小闭区域都是矩形闭区域，面积为Δσ=ΔxΔy。此时通常将面积微元dσ记作dxdy，将二重积分记作Df（x,y）dxdy，其中，dxdy称为直角坐标系中的面积微元。 （4） 由定义可知，引例1中曲顶柱体的体积可表示为V=Df（x,y）dσ； 引例2中平面薄片的质量可表示为m=Dρ（x,y）dσ。 定理3.1当函数f（x,y）在有界闭区域D上连续时，二重积分Df（x,y）dσ必存在。 定理3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除有限个点或有限条光滑曲线外连续，则函数f(x,y)在区域D上可积。 例如，给定平面区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，函数f(x,y)=x2－y2x－y在区域D上可积，而函数f(x,y)=1x－y在区域D上不可积。请思考这是为什么？ 3.1.3二重积分的几何解释 对于放置在空间直角坐标系中的曲顶柱体，如图3.1所示，它的顶为曲面z=f（x,y），（x,y）∈D，底为xOy坐标面上区域D，侧面为以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面。二重积分的几何解释是： (1) 当被积函数f（x,y）≥0时，Df（x,y）dσ表示上述曲顶柱体的体积； (2) 当f（x,y）≤0时，Df（x,y）dσ表示曲顶柱体体积的负值； (3) 当f（x,y）在区域D上有正有负时，Df（x,y）dσ表示在xOy面的上、下曲顶柱体体积的代数和。特别地，当f（x,y）≡1，σ为闭区域D的面积时，D1dσ=Ddσ=σ。该等式表示以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于该柱体的底面积。 例3.1计算下列二重积分： （1） DR2－x2－y2dσ，其中D=（x,y）x2+y2≤R2； 图3.4 （2） D2－x2+y2dσ，其中D=（x,y）x2+y2≤4。 分析根据被积函数和积分区域的特点，利用二重积分的几何解释计算。 解（1） 易见，被积函数f（x,y）=R2－x2－y2是球心在坐标原点，半径为R的上半球面，积分区域 D={（x,y）|x2+y2≤R2} 是被积函数在xOy坐标面上的投影。由二重积分的几何解释知，DR2－x2－y2dσ等于半径为R的上半球的体积，如图3.4（a）所示，所以 DR2－x2－y2dσ=12×43πR3=2πR33。. （2） 易见，被积函数f（x,y）=2－x2+y2是yOz坐标面上的直线z=2－y绕z轴旋转一周形成的半圆锥面，积分区域为D=（x,y）x2+y2≤4。由二重积分的几何解释知，D2－x2+y2dσ等于底面半径为2、高为2的圆锥体的体积，如图3.4（b）所示，所以 D2－x2+y2dσ=13×π×22×2=8π3。. 3.1.4二重积分的性质 由于二重积分与定积分有完全类似的性质，这里不加证明地给出二重积分的几个重要性质。在如下的各性质中，均假设函数f（x,y）和g（x,y）在有界闭区域D上可积。 性质1（线性性质）对于任意的α,β∈R，函数αf（x,y）+βg（x,y）在D上可积，且 D［αf（x,y）+βg（x,y）］dσ=αDf（x,y）dσ+βDg（x,y）dσ。. 事实上，性质1的结论包含了二重积分运算的两种特殊情形，即 D［f（x,y）±g（x,y）］dσ=Df（x,y）dσ±Dg（x,y）dσ； Dkf（x,y）dσ=kDf（x,y）dσ（k为常数）。. 上面的第一式表明两个函数的和（差）的二重积分等于它们的二重积分的和（差）； 第二式表明被积函数的常数因子可以提到积分号的外面。 性质1的结论可推广到有限个可积函数的线性组合的积分，即k1,k2,…,kr∈R，有 Dk1f1（x,y）+k2f2（x,y）+…+krfr（x,y）dσ =k1Df1（x,y）dσ+k2Df2（x,y）dσ+…+krDfr（x,y）dσ。. 性质2（积分区域的可加性）若D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2，则有 Df（x,y）dσ=D1f（x,y）dσ+D2f（x,y）dσ。. 性质3（保序性质）在D上，若有f（x,y）≤g（x,y），则有 Df（x,y）dσ≤Dg（x,y）dσ。. 特别地，不难证明如下的绝对值不等式成立： Df（x,y）dσ≤D|f（x,y）|dσ。. 性质4（积分的估值定理）若函数f（x,y）在D上连续，M,m分别为f（x,y）在D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有 mσ≤Df（x,y）dσ≤Mσ。. 性质5（积分中值定理）若函数f（x,y）在D上连续，σ为D的面积，则至少存在一点（ξ,η）∈D，使得 Df（x,y）dσ=f（ξ,η）σ。. 例3.2比较下列二重积分的大小： （1） D（x+y）2dσ与D（x+y）dσ，其中D是由x轴，y轴以及x+y=1围成的三角形区域； （2） Dtan2（x+y）dσ与Dtan3（x+y）dσ，其中D是由x轴，y轴以及x+y=π4围成的三角形区域。 分析当二重积分的积分区域相同时，比较被积函数的大小。 解（1） 在D内，0≤x+y≤1，故有（x+y）2≤（x+y），由性质3可得 D（x+y）2dσ≤D（x+y）dσ。 （2） 在D内，0≤x+y≤π4，故有0≤tan（x+y）≤1，从而tan2（x+y） ≥tan3（x+y），其中等号仅当x+y=0和x+y=π4时成立。故 Dtan2（x+y）dσ≥Dtan3（x+y）dσ。. 例3.3估计下列二重积分的值的范围： （1） D（x+y）dσ，其中D=（x,y）|0≤x≤1,0≤y≤1； （2） D（1+x2+y2）dσ，其中D=（x,y）|x2+y2≤2x。 分析先求出被积函数在积分区域上的最大值和最小值，然后利用性质4估算。 解（1） 易见，D是边长为1的正方形闭区域，面积为σ=1。在D内，有0≤x+y≤2。由性质4知，0·σ≤D（x+y）dσ≤2·σ，即 0≤D（x+y）dσ≤2。. （2） 易见，D是圆心在点（1,0），半径为1的圆形闭区域，面积为σ=π。在D内，0≤x≤2，0≤x2+y2≤2x≤2，于是1≤1+x2+y2≤3。由性质4知 π≤D（1+x2+y2）dσ≤3π。. 3.1.5二重积分的对称性质 在计算定积分时知道，若被积函数在对称区间上具有奇偶性，则定积分有“偶倍奇零”的结论。对于二重积分而言，利用积分区域的对称性与被积函数关于单个变量的奇偶性，有时可以简化计算，甚至可以直接得到结果。 给定一个平面区域D，（x,y）∈D，若有（x,－y）∈D，则称区域D关于x轴对称； 若有（－x,y）∈D，则称D关于y轴对称； 若有（-x,-y）∈D，则称D关于原点对称。利用二重积分的几何解释，可以得到如下结果。 对称性1若积分区域D关于x轴对称，令D1=（x,y）（x,y）∈D,y≥0，则 Df（x,y）dσ=0,f（x,－y）=－f（x,y）； 2D1f（x,y）dσ，f（x,－y）=f（x,y）。 对称性2若积分区域D关于y轴对称，令D1=（x,y）（x,y）∈D,x≥0，则 Df（x,y）dσ=0,f（－x,y）=－f（x,y）； 2D1f（x,y）dσ，f（－x,y）=f（x,y）。 对称性3若积分区域D关于坐标原点对称，令D1=（x,y）（x,y）∈D,x≥0，则 Df（x,y）dσ=0,f（－x,－y）=－f（x,y）； 2D1f（x,y）dσ，f（－x,－y）=f（x,y）。 图3.5 例3.4利用二重积分的对称性质化简： （1） Df（x2+y2）1+xydxdy，其中D由曲线y=x2与y=1所围成； （2） Df（x2y2）dxdy，其中D=（x,y）||x|+|y|≤1； （3） D（x2y+1）dxdy,其中D=（x,y）|4x2+y2≤4。 分析利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性化简。 解（1） 令g（x,y）=xyf（x2+y2）。如图3.5(a)所示，因为区域D关于y轴对称，且g（－x,y） =－g（x,y），故Dxyf（x2+y2）dxdy=0，则有 Df（x2+y2）1+xydxdy=Df（x2+y2）dxdy。. 进一步地，令D1为区域D在第一象限的部分，则有 Df（x2+y2）dxdy=2D1f（x2+y2）dxdy。. （2） 如图3.5(b)所示，因为D关于x轴和y轴均对称，且f（x2y2）关于自变量x或关于y均为偶函数，令D1为区域D在第一象限的部分，则 Df（x2y2）dxdy=4D1f（x2y2）dxdy。. （3） 如图3.5(c)所示，积分区域D是一个椭圆形区域，面积为2π。因为积分区域关于x轴对称，且函数f（x,y）=x2y关于自变量y是奇函数，所以Dx2ydxdy=0； 又因为Ddxdy=2π，所以 D（x2y+1）dxdy=Dx2ydxdy+Ddxdy=2π。. 习题3.1 1. 将二重积分的定义与定积分的定义进行比较，找出它们的相似之处与不同之处。 2. 试用二重积分表示limn→∞1n2∑ni=1∑nj=1ei2+j2n2。 3. 利用二重积分的对称性质简化计算，需要考虑哪些因素？ A类题 1. 用二重积分表示由平面x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围成的四面体的体积V，并用不等式（组）表示曲顶柱体在xOy坐标面上的底。 2. 计算D4－x2－y2dσ，其中D=（x,y）|x2+y2≤4。 3. 判断r≤x+y≤1ln（x2+y2）dσ的符号,其中0