第3章

函数的极限与连续

Limits and continuity of functions



第2章中，我们给出了收敛数列的定义以及计算数列极限的一些方法。由数列的定义可知，它是一类特殊的函数，并且在研究数列的变化趋势时，自变量n（只取正整数）的变化过程只有“递增”这一种形式，即n→+∞。对于定义在某区间I上的函数y=f(x)而言，不论区间I是有限还是无限，它们在该定义区间上是否有一定的变化规律，即自变量趋于无穷大或在某一点有微小变化时，对应的函数值的变化是平稳的、是剧烈的还是具有跳跃性的，这些典型问题都可以用函数的极限和连续进行解答。本章中，我们首先给出函数极限的定义； 然后讨论函数极限的性质、收敛准则和一些计算方法； 最后讨论函数的连续与间断及闭区间上连续函数的性质。
3.1函数的极限

Limits of functions

3.1.1函数极限的定义

设函数y=f(x)在某区间I（有限或无限）上有定义，自变量x在函数的定义区间I上的变化过程通常包括两大类，共六种形式，即
(1) x→∞，x→+∞，x→-∞； 
(2) x→x0，x→x+0，x→x-0。
下面我们将逐一给出自变量在上述变化过程中函数极限的定义。





1. 当x→∞时函数的极限
类比于收敛数列的定义，去除数列的特殊性，可以将n→+∞的形式推广到它的一般情形，即对函数y=f(x)，当x→∞时，考察函数值的变化趋势。先看下面的例子。
例3.1考察函数y=1x当x→∞时的变化趋势。
解函数y=1x的图形如图1.9（b）所示。类似收敛数列的思想，要使得1x-0<11000，只需|x|>1000； 要使得1x-0<1100100，只需|x|>100100即可。也就是说，随着自变量的绝对值|x|越来越大，1x的值就越来越趋近于0，即1x-0=1|x|可以小于预先给定的任意小正数ε，这时称函数y=1x当x→∞时的极限为0。
第3章函数的极限与连续Limits and continuity of functions

3.1函数的极限Limits of functions
下面给出当x→∞时函数极限的严格定义。
定义3.1设函数y=f(x)当|x|大于某一正数时有定义，A是常数。若ε>0，X>0，使得当x满足不等式|x|>X时，有

|f(x)-A|<ε，


则称常数A是函数y=f(x)当x→∞时的极限，或称函数当x→∞时以常数A为极限，记作

limx→∞f(x)=A或f(x)→A，x→∞。

关于定义3.1的几点说明。
(1) 函数当x→∞时的极限定义与数列极限的定义有很多相似之处，参考2.1节中关于数列极限定义的说明。定义3.1的表述方式也称为函数极限的“εX”语言。
(2) 几何解释。从几何上看，limx→∞f(x)=A表示: 存在两条直线y=A-ε和y=A+ε，当|x|>X（即x>X或x<-X）时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间，即满足|f(x)-A|<ε，如图3.1所示。


图3.1


例3.2用定义3.1证明下列极限:

(1) limx→∞1x=0； 
(2) limx→∞x2-1x2+2=1； 
(3) limx→∞4x-33x+1=43。

分析与用数列极限的定义证明类似。由于ε可以任意小，不妨设ε∈(0,1)，尝试通过求解不等式|f(x)-A|<ε，寻找是否存在X满足该不等式。
证(1) ε∈(0,1)，要使


1x-0=1|x|<ε，
(3.1)


只需

|x|>1ε。


取X=1ε此处1ε不必取正整数，注意和数列极限中N的区别，则当|x|>X时，有不等式(3.1)成立。因此，有limx→∞1x=0。

(2) ε∈(0,1)，要使

x2-1x2+2-1<ε，
(3.2)


只需

x2-1x2+2-1=3x2+2<3x2<ε。


取X=3ε，则当|x|>X时，有不等式(3.2)成立。因此，有limx→∞x2-1x2+2=1。

(3) 根据需要，不妨设|x|>1。ε∈(0,1)，要使



4x-33x+1-43<ε，
(3.3)


只需

4x-33x+1-43=13313x+1<13313|x|-1<1361|x|<ε。


取X=max1,136ε，则当|x|>X时，有不等式(3.3)成立。因此，有


limx→∞4x-33x+1=43。
证毕

有些函数，如x+sinxx，11-x等，它们的定义域虽然是无穷区间，但也只是单侧无限。在研究它们的自变量趋于无穷大时的变化趋势时，也只能是分别沿着x→+∞或x→-∞变化。对于指数函数y=ax（0<a<1），如图1.10所示,虽然它的定义域为R，但是当x→+∞时，函数单调递减趋于零，而当x→-∞时，函数单调递增趋于正无穷大。对于反正切函数y=arctanx，如图1.16(a)所示,它的定义域也为R，但是当x→+∞时，函数单调递增趋于π2，而当x→-∞时，函数单调递减趋于-π2，因此，需要分别对x→+∞和x→-∞两种形式给出函数极限的定义。
定义3.2设函数y=f(x)在x大于某一正数时有定义，A是常数。若ε>0，X>0，使得当x满足不等式x>X时，有

|f(x)-A|<ε，


则称常数A是函数y=f(x)当x→+∞时的极限，或称函数当x→+∞时以常数A为极限，记作

limx→+∞f(x)=A或f(x)→A,x→+∞。

由定义3.2可以看到，数列极限limn→+∞xn=a为limx→+∞f(x)=A的特殊情形。

定义3.3设函数y=f(x)在x小于某一负数时有定义，A是常数。若ε>0，X>0，使得当x满足不等式x<-X时，有

|f(x)-A|<ε，


则称常数A是函数y=f(x)当x→-∞时的极限，或称函数当x→-∞时以常数A为极限，记作

limx→-∞f(x)=A或f(x)→A,x→-∞。

由定义3.1、定义3.2及定义3.3可以得到如下定理。

定理3.1函数y=f(x)当x→∞时的极限存在且等于A的充分必要条件是: 当x→+∞和x→-∞时，函数的极限存在且都等于A，即

limx→∞f(x)=Alimx→+∞f(x)=limx→-∞f(x)=A。

例3.3用定义3.2或定义3.3证明下列极限:

(1) limx→+∞x+sinxx=1； 
(2) limx→-∞2x=0。
证(1) ε∈(0,1)，要使


x+sinxx-1<ε，
(3.4)


只需

x+sinxx-1=sinxx≤1x<ε。


取X=1ε2，则当x>X时，有不等式(3.4)成立。因此，有limx→+∞x+sinxx=1。

(2) ε∈(0,1)，要使


|2x-0|=2x<ε，
(3.5)


只需

x<log2ε。


取X=-log2ε，则当x<-X时，有不等式(3.5)成立。因此，有limx→-∞2x=0。证毕





2. 当x→x0时函数的极限
下面考察当自变量的变化过程为x→x0时，函数y=f(x)的变化趋势。先看下面两个例子。

例3.4考察函数y=x2-4x-2当x→2时的变化趋势。


图3.2


解函数y=x2-4x-2的图形如图3.2所示。注意到，该函数在点x=2处没有定义。当x越来越趋近于2（但不等于2），即|x-2|越来越小时，x2-4x-2=x+2就越来越趋近4。要使得x2-4x-2-4<11000，只需x-2<11000，即自变量落在以2为中心，以11000为半径的邻域内即可； 要使得x2-4x-2-4<1100100，只需|x-2|<1100100即可。也就是说，随着自变量x越来越趋近于2，函数x2-4x-2的值就越来越趋近于4，即x2-4x-2-4可以小于预先给定的正数ε，这时称函数y=x2-4x-2当x→2时的极限是4。
例3.5考察函数y=sinxx当x→0时的变化趋势。
解函数y=sinxx的图形如图3.3所示。当x分别取0.5,0.1,0.05,0.01,…时，对应的值分别为0.96,0.998,0.9996,0.9998,…。

图3.3


注意到，当x越来越趋近于0时，即|x-0|越来越小时，y=sinxx的值就越来越趋近于1。因此可以猜测，1就是函数y=sinxx当x→0时的极限。严格的证明将在3.2节中给出。



于是，我们有如下的定义。
定义3.4设函数y=f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，A是常数。若ε>0，δ>0，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，有

|f(x)-A|<ε，


则常数A称为函数y=f(x)当x→x0时的极限，或称函数当x→x0时以常数A为极限，记作

limx→x0f(x)=A或f(x)→A,x→x0。

关于定义3.4的几点说明。
(1) 不等式0<|x-x0|<δ表示x≠x0，即函数y=f(x)在点x0处可能没有定义，即使有定义，f(x0)也与极限limx→x0f(x)是否存在没有任何关系。换句话说，函数y=f(x)在点x0处有没有定义不影响limx→x0f(x)的存在性，参见例3.4和例3.5。以后我们将会看到，许多重要的概念都是在点x0处的去心邻域内定义的。


图3.4

(2) 定义3.4从数量上描述了自变量x无限接近于x0时，函数y=f(x)就会无限趋近于A。它用ε描述了f(x)与A的接近程度|f(x)-A|<ε，用δ描述了x与x0的接近程度|x-x0|<δ。δ的存在性是通过求解不等式|f(x)-A|<ε得到印证的，其中ε是任意给定的正数。这表明了δ和ε的依赖关系，但要注意它们不是函数关系。

(3) “用定义证明函数极限”有时也称为“用εδ语言证明函数极限”，其中希腊字母δ(小写,大写为Δ;为其旧体的小写字母)的英文表示为delta，也按此拼写来发音。在证明时，重要的是δ的存在性，不必求其最小值，即在求解不等式|f(x)-A|<ε之前，可以先将|f(x)-A|放大，使放大后的表达式中含有因子|x-x0|，并且容易求出|x-x0|的解集。
(4) 几何解释。从几何上来说，limx→x0f(x)=A表示: 存在两条直线y=A-ε和y=A+ε，当0<|x-x0|<δ时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间，即满足|f(x)-A|<ε，如图3.4所示。


例3.6利用定义3.4证明下列极限:

(1) limx→2x2-4x-2=4； 
(2) limx→0ex=1； 
(3) limx→1x2+2x-3x2-1=2。
证(1) ε∈(0,1)，要使


x2-4x-2-4=|x-2|<ε，
(3.6)


只需|x-2|<ε。取δ=ε，则当0<|x-2|<δ时，有不等式(3.6)成立。因此，有

limx→2x2-4x-2=4。

(2) ε∈(0,1)，要使


|ex-1|<ε，
(3.7)


只需ln(1-ε)<x<ln(1+ε)。取δ=min{-ln(1-ε),ln(1+ε)}，则当0<|x|<δ时，有不等式(3.7)成立。因此，有limx→0ex=1。
(3) ε∈(0,1)，要使


x2+2x-3x2-1-2=x+3x+1-2=x-1x+1<ε，
(3.8)


为了能够找到δ，保留因子|x-1|，而将因子1x+1放大。为此加上限制条件

0<|x-1|<1，即0<x<2，且x≠1，


于是有1x+1<1。因此，由于

x2+2x-3x2-1-2=x-1x+1<x-1<ε，


取δ=min{1,ε}，则当0<|x-1|<δ时，有不等式(3.8)成立。因此，有



limx→1x2+2x-3x2-1=2。
证毕

在函数极限的定义3.4中，x→x0表示自变量x沿着点x0的两侧趋于x0。但有时候，函数f(x)只在x0一侧有定义，或者需要分别研究函数在x0点两侧的性态。因此，需要引入单侧极限的概念。
定义3.5设函数y=f(x)在x0的右邻域有定义，A是常数。若ε>0，δ>0，使得当x满足不等式0<x-x0<δ时，有

|f(x)-A|<ε，


常数A称为函数y=f(x)当x→x+0时的右极限（right limit），记作

limx→x+0f(x)=A或f(x0+0)=A。

定义3.6设函数y=f(x)在x0的左邻域有定义，A是常数。若ε>0，δ>0，使得当x满足不等式-δ<x-x0<0时，有

|f(x)-A|<ε，


常数A称为函数y=f(x)当x→x-0时的左极限（left limit），记作

limx→x-0f(x)=A或f(x0-0)=A。

由定义3.4，定义3.5和定义3.6可以得到下面的结论。
定理3.2函数y=f(x)在点x0处存在极限的充分必要条件是: 它在点x0处的左、右极限存在且相等，即

limx→x0f(x)=Alimx→x-0f(x)=limx→x+0f(x)=A。

例3.7讨论下列函数的极限是否存在:
(1) limx→0|x|； 
(2) limx→0x|x|。
分析先求函数在点x0=0处的左、右极限，然后利用定理3.2判断。
解(1) 由于f(x)=|x|=-x,x<0,

x,x≥0,故有

limx→0+f(x)=limx→0+x=0和limx→0-f(x)=limx→0-(-x)=0，


由定理3.2知，limx→0|x|=0。

(2) 易见，f(x)=x|x|=-1,x<0,
1,x>0, x=0是分段点。由于

limx→0-f(x)=-1，limx→0+f(x)=1，即limx→0-x|x|≠limx→0+x|x|，


故limx→0x|x|不存在。

例3.8讨论下列分段函数在分段点的极限是否存在，如果存在，求出极限:
(1) f(x)=2x+1,x≥0,
x2+4,x<0； 
(2) f(x)=2x-1,x≤1,
x2,1<x≤2,

ex,2<x≤4。
分析先求函数在分段点处的左、右极限，然后利用定理3.2判断。
解(1) 易见，x=0是函数f(x)的分段点。不难求得

limx→0-f(x)=limx→0-(x2+4)=4，limx→0+f(x)=limx→0+(2x+1)=1。


由于limx→0-f(x)≠limx→0+f(x)，根据定理3.2，函数f(x)在分段点x=0处的极限不存在。

(2) 易见，x=1和x=2是函数f(x)的两个分段点。不难求得

limx→1-f(x)=limx→1-(2x-1)=1，
limx→1+f(x)=limx→1+x2=1；

limx→2-f(x)=limx→2-x2=4，
limx→2+f(x)=limx→2+ex=e2。


在点x=1处，由于limx→1-f(x)=1=limx→1+f(x)，根据定理3.2，函数f(x)在分段点x=1处的极限存在，即limx→1f(x)=1； 在点x=2处，由于limx→2-f(x)≠limx→2+f(x)，根据定理3.2，函数f(x)在分段点x=2处的极限不存在。





3.1.2无穷小量和无穷大量
在2.1.4节中，我们引入了数列的无穷小量和无穷大量。与之相类似，函数在自变量的某一变化过程中也有无穷小量和无穷大量。如limx→∞1x=0，limx→-∞2x=0，limx→2(x-2)=0等，这些函数在自变量的各自变化过程中，极限都是0。再如，函数y=x，y=2-x，y=1x-2分别在x→∞，x→-∞，x→2时，函数的绝对值都无限变大，如果严格遵循函数极限的定义，这种情况的极限是不存在的，为了研究需要，我们称这些函数在自变量的各自变化过程中的极限为无穷大量。

1. 无穷小量
定义3.7设函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。若limx→x0f(x)=0，则称函数y=f(x)是当x→x0时的无穷小量，简称无穷小（infinitesimal）。

在后面的学习中将会看到，函数的导数、定积分、级数的收敛性等重要概念，都是通过无穷小定义的，这说明无穷小在高等数学中有着不可替代的作用。
关于定义3.7的几点说明。
(1) 函数中的无穷小与数列中的无穷小类似，它们不是“很小的常数”，而是一个变量。除去零外，任何常数，无论它们的绝对值怎么小，都不是无穷小。因此，不要把无穷小与非常小的数相混淆，如10-100很小，但它不是无穷小。
(2) 常数0是任何极限过程中的无穷小。无穷小与极限过程分不开，不能脱离自变量的变化过程说某个函数是无穷小。如sinx是x→0时的无穷小，但因limx→π2sinx=1，所以sinx不是x→π2时的无穷小。
(3) 在定义3.7中，若将自变量的变化过程x→x0换成x→x+0，x→x-0，x→∞，x→-∞，x→+∞，则可定义不同形式的无穷小。例如，函数x3,sinx,tan（2x）都是当x→0时无穷小； 函数1x2,12x,π2-arctanx都是当x→+∞时无穷小。
定理3.3在自变量的同一变化过程中，函数y=f(x)的极限为A的充分必要条件是: f(x)=A+α，其中α是该变化过程的无穷小。
分析利用无穷小的定义。
证必要性不失一般性，假设limx→x0f(x)=A。由定义3.4可知，ε>0，δ>0，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε。

令α=f(x)-A，由无穷小的定义知，α是x→x0时的无穷小。因此，f(x)=A+α。这就证明了f(x)可以表示为它的极限A与一个无穷小α之和。

充分性设f(x)=A+α，其中A是常数，α是x→x0时的无穷小。由无穷小的定义知，ε>0，δ>0，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，有

|α|=|f(x)-A|<ε。


因此有limx→x0f(x)=A。证毕

2. 无穷大量
定义3.8设y=f(x)在x0的某去心邻域有定义，若M>0，δ>0，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，有

|f(x)|>M，


则称函数y=f(x)是当x→x0时的无穷大量，简称无穷大（infinity），也称函数是当x→x0时有非正常极限——无穷大，记作

limx→x0f(x)=∞或f(x)→∞（x→x0）。


将上面的不等式|f(x)|>M改为

f(x)>M或f(x)<-M，


则称函数y=f(x)当x→x0时是正无穷大或负无穷大，也称函数是当x→x0时有非正常极限+∞或-∞，分别记作

limx→x0f(x)=+∞或f(x)→+∞（x→x0），

limx→x0f(x)=-∞或f(x)→-∞（x→x0）。

与理解无穷小类似，无穷大也是一个变量，不是一个数，不能把无穷大与很大的数混为一谈。比如100100即使很大，但它也不能称为无穷大。无穷大同样与极限过程分不开，不能脱离自变量的变化过程说某个函数是无穷大。
例3.9证明: limx→21x-2=∞。
分析利用无穷大的定义。通过求解不等式1x-2>M寻求δ。
证M>0，要使

1x-2>M，


只需|x-2|<1M，取δ=1M，于是M>0，δ=1M>0，当0<|x-2|<δ时，有1x-2>M，即limx→01x-2=∞。证毕

3. 无穷小量与无穷大量的关系
定理3.4若函数f(x)是当x→x0时的无穷小，且f(x)≠0，则1f(x)是当x→x0时的无穷大； 反之，若函数f(x)是当x→x0时的无穷大，则1f(x)是当x→x0时的无穷小。
证我们只证第一种情形，第二种情形可类似地证明。
因为f(x)是当x→x0时的无穷小，即ε∈(0,1)，δ>0，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，有

|f(x)|<ε或1f(x)>1ε。


取M=1ε，由ε的任意性和无穷大的定义知，函数1f(x)是当x→x0时的无穷大。证毕
类似地，对于自变量的其他变化过程，定理3.4的结论同样成立。
在定义3.1~定义3.6中，函数极限的定义主要包括两个方面: 一是函数值与极限的近似程度，可以用“ε>0……有|f(x)-A|<ε”来描述； 二是自变量的变化过程，包括两大类，共六种情况，即: (1)x→∞，x→+∞，x→-∞； (2)x→x0，x→x+0，x→x-0。如x→x0可用“δ>0，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时”来描述。
由定义3.8知，在引入了函数y=f(x)是自变量的某一变化过程的无穷大后，函数的极限有四种情况，即
f(x)→A，f(x)→∞，f(x)→+∞，f(x)→-∞。

对于函数极限的这四种情况以及自变量的变化过程的六种情况，读者一定要对号入座，切不可错位描述。虽然情况较多，但是可以进行归类描述，也就是说，可以针对函数极限进行归类，即f(x)→A，f(x)→∞； 也可以针对自变量的变化过程
进行归类，如x→∞，x→x0。
习题3.1




1. 反正切函数y=arctanx当x→∞时的极限是否存在，为什么？
2. 在定义3.4中，点x0的去心邻域是否必须要满足，为什么？
3. 当x→x0时，两种说法“函数y=f(x)的极限不存在”和“函数y=f(x)不以A为极限”是否相同，为什么?
4. 无穷小和0之间是否存在关系，无穷大和无界函数呢？



A类题


1. 用极限的定义证明:
(1) limx→∞x+16x-1=16； 
(2) limx→+∞13x=0； 
(3) limx→-∞13x=+∞； 
(4) limx→1x+1x2+1=1； 
(5) limx→2x2-3x+2x-2=1； 
(6) limx→1+(2x+3)=5。
2. 已知y=3x-5，问δ该如何取值，才能使得当|x-3|<δ时，有|y-4|<0.001?
3. 已知函数f(x)=x3+2x+2,x>1,
3x+a,x<1。当a取何值时，limx→1f(x)存在？
4. 证明: limx→x0f(x)=Alimx→x-0f(x)=limx→x+0f(x)=A。
5. 证明: 若函数f(x)是当x→∞时的无穷大，则1f(x)是当x→∞时的无穷小。