5 
二 次 型 
二次型的理论起源于解析几何中对二次曲线和二次曲面的研究,它在线性系统理论和
工程技术等许多领域有着广泛的应用.本章将介绍二次型及其标准形的理论,并给出化二次
型为标准形的方法,根据二次型本身固有的特性,引出正定二次型及其判定方法. 
5.1 二次型及其矩阵表示
5.1.1 二次型及其矩阵表示 
二次型的研究最初是为了解决几何问题.在解析几何中,为了研究以平面直角坐标原点
为中心的有心二次曲线
ax2 +bxy +cy2 =1 
的几何性质,我们可以选择适当的坐标旋转变换
x =x'cosθ-y'sinθ, 
y =x'sinθ+y'cosθ, (5.1) 
将式(5.1)化为标准形: 
mx'2 +ny'2 =1. 
我们注意到ax2+bxy+cy2=1的左边是一个二次齐次多项式,称为二元二次型,从代
数学的观点看,化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使其只
含有平方项.下面就来对一般的二次型研究这样的问题. 
定义5.1 含有n 个变量x1,x2,…,xn 的二次齐次函数
f(x1,x2,…,xn)=a11x21 +2a12x1x2 + … +2a1nx1xn +a22x22 +2a23x2x3 + … + 
2a2nx2xn + … +annx2n 
(5.2) 
称为x1,x2,…,xn 的一个n 元二次型,简称二次型.当系数aij(i,j=1,2,…,n)为实数时, 
称为n 元实二次型,简称实二次型.(以下只讨论实二次型) 
特别地,只含有平方项的n 元二次型
f(x1,x2,…,xn)=d1x21 +d2x22 + … +dnx2n , (5.3) 
称为n 元二次型的标准形.

第5章 二次型13      9 
取aji=aij,则式(5.2)可改写成
f(x1,x2,…,xn)=a11x21 +a12x1x2 + … +a1nx1xn +a21x2x1 +a22x22 + … + 
a2nx2xn + … +an1xnx1 +an2xnx2 + … +annx2n 
=Σn 
i=1Σn 
j=1
aijxixj. 
令
A = 
a11 a12 … a1n 
a12 a22 … a2n 
. . . 
a1n a2n … ann 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
, x = 
x1 
x2 
. 
xn 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
, 
则A=AT,即A 为对称矩阵.我们称A 为二次型(5.2)的系数矩阵,于是
xTAx =(x1,x2,…,xn)
a11 a12 … a1n 
a12 a22 … a2n 
. . . 
a1n a2n … ann 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷ 
x1 
x2 
. 
xn 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
=f(x1,x2,…,xn), 
则二次型可记为
f(x1,x2,…,xn)=xTAx. (5.4) 
式(5.4)称为二次型(5.2)的矩阵形式.A 的秩称为二次型(5.2)的秩. 
例如,二次型f(x1,x2,x3)=x21-3x23-4x1x2+x2x3 用矩阵记号写出来,就是
f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) 
1 -2 0 
-2 0 12 
0 12
-3 
.
è
...... .
.
÷÷÷÷÷÷ 
x1 
x2 
x3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
. 
矩阵A= 1 -1 
-1 2 
.
è .
.
. ÷
对应的二次型为f(x1,x2)=x21+2x22-2x1x2. 
由此可知,给定一个二次型,就唯一地确定一个实对称矩阵A,反之,任给一个实对称矩
阵,也可以唯一地构造一个二次型.所以,实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系. 
5.1.2 矩阵的合同
定义5.2 关系式
x1 =c11y1 +c12y2 + … +c1nyn , 
x2 =c21y1 +c22y2 + … +c2nyn , 
. 
xn =cn1y1 +cn2y2 + … +cnnyn 
ì
.
í
... 
...
(5.5)

14      0 线性代数 及 其应用(第3版) 
称为由x1,x2,…,xn 到y1,y2,…,yn 的一个线性变量变换,简称线性变换. 
矩阵
C = 
c11 c12 … c1n 
c21 c22 … c2n 
. . . 
cn1 cn2 … cnn 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷ 
称为线性变换(5.5)的矩阵,如果|C|≠0,那么,线性变换就称为非退化的.若C 是正交矩阵, 
则称(5.5)为正交变换. 
例如,式(5.1)中,由于cosθ -sinθ 
sinθ cosθ =1≠0,因此,线性变换为非退化的,且是正交变换. 
设x= 
x1 
x2 
. 
xn 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
,y= 
y1 
y2 
. 
yn 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
,则式(5.5)可写成矩阵形式x=Cy. 
当|C|≠0时,即线性变换为非退化的,此时有y=C-1x. 
把式(5.5)代入式(5.4),得
f(x1,x2,…,xn)=xTAx =(Cy)TA(Cy)=yTCTACy =yTBy, 
其中,B=CTAC,BT=(CTAC)T =CTAC=B,因此,yTBy 是以B 为系数矩阵的y 的n 元二
次型.
定义5.3 设A,B 为n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵C,使CTAC=B,那么,矩阵A 
与B 称为合同,也称矩阵A 经合同变换化为B,记为A.B.可逆矩阵C 为合同变换矩阵. 
若A 为对称矩阵,则B=CTAC 也为对称矩阵,且R(B)=R(A).事实上BT=(CTAC)T= 
CTAC=B,即B 为对称矩阵.又因B=CTAC,而C 可逆,由矩阵秩的性质知R(B)=R(A). 
由此可知,经可逆变换x=Cy 后,二次型的矩阵A 变为与A 合同的矩阵B=CTAC,且
二次型的秩不变.(系数矩阵的秩) 
综上所述,矩阵的合同关系有下列性质: 
(1)自反性:A.A; 
(2)对称性:若A.B,则B.A; 
(3)传递性:若A.B,B.C,则A.C; 
(4)合同变换不改变矩阵的秩; 
(5)对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵. 
例5.1 证明
d1 
d2 
d3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
和
d1 
d3 
d2 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
合同.

第5章 二次型14      1 
证 取C= 
1 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
,则C 为可逆矩阵,且
CT 
d1 
d2 
d3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
C = 
1 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
d1 
d2 
d3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
1 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
= 
d1 
d3 
d2 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
. 
于是
d1 
d2 
d3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
和
d1 
d3 
d2 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
合同. 
定理5.1 任何一个实对称矩阵A 都合同于对角矩阵.即对于一个n 阶实对称矩阵A, 
总存在可逆矩阵C,使得
CTAC =Λ = 
d1 
d2 
. 
dr 
0 
. 
0 
.
è
.........
. 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷÷
÷ 
, 
其中r 是矩阵A 的秩.当r>0时,d1,d2,…,dr≠0. 
定理5.1说明,对于秩为r 的n 元二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,总存在可逆线性变
换x=Cy,使其化为标准形
f(x1,x2,…,xn)=d1y21 +d2y22 + … +dry2r, r ≤n, 
其中标准形的项数r 等于A 的秩. 
5.2 化二次型为标准形
根据矩阵合同的定义,将二次型化为标准形的问题,即:对于实对称矩阵A,求一个可
逆矩阵C,使A 合同于对角矩阵Λ ,即
CTAC =Λ = 
d1 
d2 
. 
dn 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
. 
化二次型为标准形,所用的方法有正交变换法、初等变换法和配方法.

14      2 线性代数 及 其应用(第3版) 
5.2.1 正交变换法
定义5.4 设C 为n 阶正交矩阵,x,y 是Rn 中的n 维向量,称线性变换x=Cy 是Rn 上
的正交变换. 
例如,平面上的坐标旋转变换
x
y
.
è .
.
. ÷
= cosθ -sinθ 
sinθ cosθ 
.
è .
.
. ÷
x' 
y' 
.
è .
.
. ÷ 
的系数矩阵是正交矩阵,故它是正交变换. 
由定理5.1知对任意实对称矩阵A,必有正交矩阵P,使PTAP=Λ ,即P-1AP=Λ .把
此结论应用于二次型,即有以下定理. 
定理5.2 任给二次型f(x1,x2,…,xn)= Σn 
i=1Σn 
j=1
aijxixj(aij =aji),总有正交变换
x=Cy,使二次型f(x1,x2,…,xn)化为标准形: 
f(x1,x2,…,xn)=λ1y21 +λ2y22 + … +λny2n , 
其中,λ1,λ2,…,λn 是二次型f(x1,x2,…,xn )的矩阵A =(aij)的特征值.正交矩阵C 的
n 个列向量是矩阵A 对应于这n 个特征值的标准正交的特征向量. 
由此可见,用正交变换x=Cy 化二次型f=xTAx 为标准形的步骤为: 
(1)由|A-λE|=0,求A 的n 个特征值λ1,λ2,…,λn ; 
(2)对每个特征值λi,构造(A-λiE)x=0,求其基础解系(即特征值λi 对应的线性无
关的特征向量); 
(3)对t(t>1)重特征值对应的t 个线性无关的特征向量,用施密特正交化方法,将t 
个线性无关的特征向量正交化; 
(4)将A 的n 个正交的特征向量标准化,并以它们为列向量构成正交矩阵C,写出二次
型的标准形f=λ1y21+λ2y22+…+λny2n =yTΛy 以及相应的正交变换x=Cy. 
例5.2 用正交变换法化二次型f=x21+x22+x23+4x1x2+4x1x3+4x2x3 为标准形. 
解 二次型的矩阵为
A = 
1 2 2 
2 1 2 
2 2 1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, 
故矩阵A 的特征方程为
|A -λE|= 
1-λ 2 2 
2 1-λ 2 
2 2 1-λ 
=(λ +1)2(5-λ)=0, 
于是,A 的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=5. 
λ1=λ2=-1时,解齐次线性方程组(A+E)x=0,得基础解系

第5章 二次型14      3 
ξ1= 
-110 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, ξ2= 
-101 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
. 
因为ξ1,ξ2 不正交,把ξ1,ξ2正交化,得
η1= 
-110 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, η2= 
-12 
-121 
.
è
...... 
.
.
÷÷÷÷÷÷ 
. 
λ3=5时,解齐次线性方程组(A-5E)x=0,得基础解系
ξ3= 
111 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
. 
将η1,η2,ξ3单位化,得
γ1= 
- 1
2
1
2
0 
.
è
...... 
.
.
÷÷÷÷÷÷ 
, γ2= 
- 1
6 
- 1
6
2
6 
.
è
........ 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
, γ3= 
1
3
1
3
1
3 
.
è
........ 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
, 
于是得正交矩阵
C =(γ1,γ2,γ3)= 
- 1
2 - 1
6 
1
3 
1
2 - 1
6 
1
3 
0 2
6 
1
3 
.
è
........ .
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
. 
即通过正交变换
x1 
x2 
x3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
= 
- 1
2 - 1
6 
1
3 
1
2 - 1
6 
1
3 
0 2
6 
1
3 
.
è
........ 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
y1 
y2 
y3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, 
将二次型化为标准形(注意γ1,γ2,γ3与λ1,λ2,λ3 的次序相对应)

14      4 线性代数 及 其应用(第3版) 
f =-y21 -y22 +5y23. 
例5.3 已知二次型f=2x21+3x22+3x23+2ax2x3(a>0)通过正交变换x=Cy 化为标
准形f=y21+2y22+5y23,求参数a 及正交变换矩阵C. 
解 由题意,二次型与其标准形的矩阵分别为
A = 
2 0 0 
0 3 a 
0 a 3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, Λ = 
1 
2 
5 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, 
且CTAC=Λ ,此时两边取行列式,并注意到|C|=±1,得
|CT||A||C|=|C|2|A|=|A|=|Λ|, 
即
2(9-a2)=10, 
由a>0,得a=2. 
对A 的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=5分别求得其对应的特征向量
ξ1= 
01 
-1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, ξ2= 
100 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, ξ3= 
011 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
. 
由于特征值互不相同,则ξ1,ξ2,ξ3为正交向量组,将它们单位化,得正交矩阵
C = 
0 1 0 
1
2 0 1
2 
- 1
2 0 1
2 
.
è
...... 
.
.
÷÷÷÷÷÷ 
. 
例5.4 设二次型f(x1,x2)=x21-4x1x2+4x22 经正交变换
x1 
x2 
.
è .
.
. ÷ 
=Q 
y1 
y2 
.
è .
.
. ÷
化为g(y1, 
y2)=ay21+4y1y2+by22,其中a≥b. 
(1)求a,b 的值; 
(2)求正交矩阵Q. 
解 (1)由题意可得,A= 1 -2 
-2 4 
.
è .
.
. ÷
与B = a 2 
2 b 
.
è .
.
. ÷
相似且合同,所以a+b=5,ab= 
4,解得a=4,b=1. 
(2)A= 1 -2 
-2 4 
.
è .
.
. ÷
的特征值为λ1=5,λ2=0. 
对应于λ1=5的特征向量为ξ1= 1 
-2 
.
è .
.
. ÷ 
,对应于λ2=0的特征向量为ξ2=21
.
è .
.
. ÷
. 
单位化得

第5章 二次型14      5 
α1= ξ1 
|ξ1|= 
1
5 
- 2
5 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
, α2= ξ2 
|ξ2|= 
2
5
1
5 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
. 
令Q1= 
1
5 2
5 
-2
5 
1
5 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
,则QT1AQ1= 5 0 
0 0 
.
è .
.
. ÷
. 
矩阵B= 4 2 
2 1 
.
è .
.
. ÷
的特征值也为5,0. 
对应于λ1=5的特征向量为η1=21
.
è .
.
. ÷ 
,对应于λ2=0的特征向量为η2= 1 
-2 
.
è .
.
. ÷. 
令Q2= 
2
5 
1
5 
1
5 -2
5 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
,则QT2BQ2= 5 0 
0 0 
.
è .
.
. ÷
. 
故有QT1AQ1=QT2BQ2,即Q2QT1AQ1QT2 =B. 
Q =Q1QT2 = 
1
5 
2
5 
- 2
5 
1
5 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
2
5 1
5 
1
5 - 2
5 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
T 
= 
1
5 
2
5 
- 2
5 
1
5 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
2
5 1
5 
1
5 - 2
5 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
=15 
4 -3 
-3 -4 
.
è .
.
. ÷
. 
5.2.2 初等变换法
初等变换法又叫合同变换法. 
由定理5.1可知,秩为r 的n 元二次型f=xTAx 可以通过可逆线性变换x=Cy 化为标
准形f=yTΛy,而这个过程等价于对二次型的矩阵A 施行合同变换,使得A 合同于对角矩
阵Λ ,即CTAC=Λ . 
由于矩阵C 是可逆的,则C 可以表示为有限个初等矩阵的乘积.设C =P1P2 …Ps, 
Pi(i=1,2,…,s)是初等矩阵,则
CTAC =PsT…P2TP1TAP1P2…Ps =Λ , EP1P2…Ps =C. 
比较以上两式可以看出,若对A 作一系列初等行变换和相应的列变换把A 化为对角矩
阵Λ 的同时,其中的列变换将单位矩阵E 化为合同变换矩阵C,即
A
.. 
E 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
PT
1PT
2 …PT 
s 
P1P2…Ps→ 
P1P2…Ps→ 
Λ
.. 
C
.
è
... 
.
.
÷÷÷
.

14      6 线性代数 及 其应用(第3版) 
例5.5 用初等变换化二次型f=x21+2x22+x23+2x1x2+2x1x3+4x2x3 为标准形. 
解 二次型的矩阵为A= 
1 1 1 
1 2 2 
1 2 1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
,则
A
.. E 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
= 
1 1 1 
1 2 2 
1 2 1 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
........ 
.
è
........ 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
r2 -r1 
c2 -c1 → 
1 0 1 
0 1 1 
1 1 1 
1 -1 0 
0 1 0 
0 0 1 
.......... 
.
è
........ 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
r3 -r1 
c3 -c1 → 
1 0 1 
0 1 1 
0 1 0 
1 -1 -1 
0 1 0 
0 0 1 
............ 
.
è
........ 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
r3 -r2 
c3 -c2 → 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 -1 
1 -1 0 
0 1 -1 
0 0 1 
............ 
.
è
........ 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
. 
所以
C = 
1 -1 0 
0 1 -1 
0 0 1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, Λ = 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 -1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, 
于是
f(x1,x2,x3)x =Cy ........y21 +y22 -y23. 
5.2.3 配方法
利用代数公式将二次型通过配方化成标准形的方法称为拉格朗日(Lagrange)配方法, 
简称配方法.用此方法时,二次型大致分为两类,各种二次型都可以化成这两类形式来解决. 
下面举例说明用配方法将二次型化为标准形的方法. 
例5.6 用配方法化二次型f=x21+x22+x23+4x1x2+4x1x3+4x2x3 为标准形. 
解 由于f 中含有变量x1 的平方项x21,故先把含x1 的项合并在一起,配成含x1 的一
次式的完全平方,即
f =(x21 +4x1x2 +4x1x3)+x22 +4x2x3 +x23 
=(x1 +2x2 +2x3)2 -3x22 -4x2x3 -3x23. 
再将剩余项中含x2 的项合并在一起继续配方,得
f =(x1 +2x2 +2x3)2 -3x2 +23
x3 
.
è .
.
. ÷
2 
-53
x23.

第5章 二次型14      7 
令
y1=x1+2x2+2x3, 
y2=x2+23
x3, 
y3=x3, 
ì
.
í
..
.
.. 
即有可逆变换
x1=y1-2y2-23
y3, 
x2=y2-23
y3, 
x3=y3. 
ì
.
í
... 
... 
通过该变换,f 化成了标准形
f =y21 -3y22 -53
y23, 
所用的变换矩阵是
C = 
1 -2 -23 
0 1 -23 
0 0 1 
.
è
.....
. 
.
.
÷÷÷÷÷
÷ 
. 
例5.7 用配方法化二次型f =2x1x2+2x1x3-6x2x3 为标准形,并求所用的变换
矩阵.
解 本题中,二次型f 不含变量的平方项.因f 中含有x1x2,所以令
x1 =y1 +y2, 
x2 =y1 -y2, 
x3 =y3. 
ì
.
í
.. 
..
(5.6) 
再将式(5.6)代入二次型f=2x1x2+2x1x3-6x2x3,得到含变量平方项的二次型
f =2y21 -2y22 -4y1y3 +8y2y3. 
对其按例5.6的方法配方,得
f =2(y1 -y3)2 -2(y2 -2y3)2 +6y23. 
令
z1 =y1 -y3, 
z2 =y2 -2y3, 
z3 =y3, 
ì
.
í
.. 
..
(5.7) 
即有二次型的标准形f=2z21-2z22+6z23. 
由式(5.7)得
y1 =z1 +z3, 
y2 =z2 +2z3, 
y3 =z3. 
ì
.
í
.. 
..
(5.8)