第3章〓多维随机变量及其分布随机变量概念的引进，对描述某些随机试验结果的概率特性是非常方便的.但是，有些随机试验的结果必须用两个或两个以上的随机变量来描述.例如，人的身高和体重，平面直角坐标系中点的坐标，飞机在空中的位置坐标等都要用两个或两个以上的随机变量来表示，这就需要引入多维随机变量的概念.
3.1多维随机变量及其分布
一般来说，当随机试验的结果要用n个随机变量X1,X2,…,Xn来描述时，则称这n个随机变量的总体是一个n维随机变量.由于二维和二维以上的随机变量没有本质上的差异，故我们以讨论二维随机变量为主，所有的结论都可以平行推广到n维随机变量.
3.1.1二维随机变量的概念及其分布
定义3.1设随机试验的样本空间为Ω，X和Y是定义在Ω上的两个随机变量，我们称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量.
如上所述，X,Y定义在同一样本空间，有着相互联系，因此应把它们作为整体研究.
图3.1定义3.2设(X,Y)是一个二维随机变量，称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)(-∞<x<+∞,-∞<y<+∞)为(X,Y)的联合分布函数，简称为X与Y的联合分布.
F(x,y)表示事件{X≤x}和事件{Y≤y}同时发生的概率.
注意如果将(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在点(x,y)的函数值就是点(X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方无限矩形区域内(图3.1中的阴影部分)的概率值.
定理3.1联合分布函数F(x,y)具有如下性质： 
(1) 非负性: 0≤F(x,y)≤1;
(2) 单调性: F(x,y)分别关于x和y单调不减； 
即对任意的y，若x1<x2,则F(x1,y)≤F(x2,y)；对任意的x，若y1<y2,则F(x,y1)≤F(x,y2);
(3) 连续性: F(x,y)分别关于x和y至少右连续；
即对任意的y，至少有limx→x+0F(x,y)=F(x0,y)；对任意的x，至少有limy→y+0F(x,y)=F(x,y0);
图3.2
(4) 规范性: limx→-∞F(x,y)=0,limy→-∞F(x,y)=0,
limx→-∞y→-∞F(x,y)=0,limx→+∞y→+∞F(x,y)=1.
应用概率论与数理统计(第3版)第3章多维随机变量及其分布以上结果记为F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,
F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.
性质(1)和(2)的证明类似于分布函数F(x)的性质(1)和(2)；性质(3)和(4)的证明略.
特别地，借助于图3.2可以看出，随机点(X,Y)落在矩形区域“x1<X≤x2,y1<Y≤y2”内的概率为P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1).3.1.2二维离散型随机变量
定义3.3如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可数无穷多对值，则称它是二维离散型随机变量.
仿照一维随机变量，我们研究二维随机变量的概率分布.
定义3.4设X的所有可能取值为x1,x2,…,xm,…,Y的所有可能取值为y1,y2,…,yn,…,则称pij=P(X=xi,Y=yj),i=1,2,…;j=1,2,…           (3.1)为(X,Y)的联合概率分布、联合分布律或联合分布列，也可用表3.1的形式表示.
由上述定义可知，二维离散型随机变量的联合分布有两种表示形式: 等式形式(式(3.1))和表格形式(表3.1).表3.1Y
Xy1y2…yj…yn…x1p11p12…p1j…p1n…x2p21p22…p2j…p2n…xipi1pi2…pij…pin…xmpm1pm2…pmj…pmn…这里，pij满足如下性质：
(1) 非负性: pij≥0；
(2) 规范性: ∑+∞i=1∑+∞j=1pij=1；
(3) F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij.
例3.1二维离散型随机变量(X,Y)取下列数值：(0,0), (-1,1), (-1,3), (2,0)，且相应的概率依次为16,13,112,512，列出(X,Y)的联合分布律．
解(X,Y)的联合分布律为
Y
X013-101311201600251200例3.2从a，b，c，d四个字母中按下列方式抽取两次，第一次所抽取的字母记为X，第二次所抽取的字母记为Y，求: (1)有放回地抽取时(X,Y)的联合概率分布； (2)无放回地抽取时(X,Y)的联合概率分布.
解(1) 由题意可知X和Y均为离散型随机变量，因为有放回，所以它们的可能取值均为a，b，c，d，并且取每个值的概率都是14，于是P(X=i,Y=j)=P(X=i)·P(Y=j)=14×14=116，其中,i,j=a,b,c,d. 所以，(X,Y)的联合概率分布如表3.2所示.表3.2Y
Xabcda116116116116b116116116116c116116116116d116116116116 此分布称为二维离散型均匀分布.可以验证表3.2给出的pij满足非负性、规范性.
(2) 无放回抽取时，对离散型随机变量X，它的可能取值为a，b，c，d，概率均为14；对离散型随机变量Y，它不能取和X相同的值，并且取到其他值的概率为13，因此，当i=j时，pii=P(X=i,Y=j)=P(X=i)·P(Y=j|X=i)=14×0=0,其中，i,j=a,b,c,d;
当i≠j时，pij=P(X=i,Y=j)=P(X=i)·P(Y=j|X=i)=14×13=112,其中，i,j=a,b,c,d.
所以，(X,Y)的联合概率分布如表3.3所示.表3.3Y
Xabcda0112 112112b1120 112 112c112112 0112d11211211203.1.3二维连续型随机变量
定义3.5设(X,Y)是一个二维随机变量，如果存在非负可积函数f(x,y)，使得F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,v)dudv，则称(X,Y)是二维连续型随机变量，并称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度.
联合密度f(x,y)具有下列性质：
(1) 非负性: f(x,y)≥0；
(2) 规范性: ∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=1；
(3) 若f(x,y)在(x,y)连续，则 2F(x,y)xy=f(x,y)；
(4) 设D为xOy平面上的一个区域，则P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy. 事实上，由定义3.5可得性质(1),由变上限积分的性质可证明性质(3)；由定义3.5和联合分布函数的性质可证明性质(2)成立：∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=limx→+∞y→+∞∫x-∞∫y-∞f(x,y)dxdy=limx→+∞y→+∞F(x,y)=1.在几何上，联合密度f(x,y)的图形是空间曲面，性质（2）的几何意义是介于曲面f(x,y)和xOy平面之间的全部体积等于1，此性质经常用来求联合密度中的未知常数；性质（4）的几何意义是(X,Y)落在区域D的概率在数值上等于以区域D为底，以曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积．
特别地，当区域是矩形时，即由不等式a<x≤b,c<y≤d所确定的区域D，则性质(4)显然成立，即P{(X,Y)∈D}=∫ba∫dcf(x,y)dxdy. 以下我们总假定f(x,y)是xOy平面的连续函数，或者除个别几条线外是连续的.从性质(4)可以看出，二维连续型随机变量落在平面区域D上的概率，等于联合概率密度函数f(x,y)在D上的二重积分，这样就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了.
例3.3已知随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=1-e-x-e-y+e-(x+y),x>0,y>0,0,其他.求: （1）概率P(X≤1,Y≤2)； （2）联合概率密度f(x,y)．
解（1） P(X≤1,Y≤2)=F(1,2)=1-e-1-e-2+e-3.
（2） f(x,y)=2F(x,y)xy=e-(x+y),x>0,y>0,0,其他.
例3.4已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0<x<2,2<y<4,0,其他.求: （1）常数k； （2）P(X≤1,Y≤3)．
解（1） 由联合密度函数的规范性可得1=∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=∫20∫42k(6-x-y)dydx=k∫20(6-x)y-12y242dx=k∫20\[2(6-x)-6\]dx=k∫20(6-2x)dx=k(6x-x2)20=8k,故k=18.
（2） P(X≤1,Y≤3)=∫1-∞∫3-∞f(x,y)dydx=∫10∫3218(6-x-y)dydx
=18∫10(6-x)y-12y232dx=18∫106-x-52dx
=1872x-12x210=38．
例3.5设二维随机变量的联合密度为f(x,y)=Ke-(2x+3y),x≥0,y≥0,0,其他.求： (1)常数K； (2)分布函数F(x,y)； (3)P(X<1,Y>1).
解(1) 由1=∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=∫+∞0∫+∞0Ke-(2x+3y)dxdy
=∫+∞0Ke-2xdx∫+∞0e-3ydy
=K-12e-2x+∞0-13e-3y+∞0
=K6，
即K=6.
(2) 求联合分布函数.
当x<0或y<0时，f(x,y)=0，故F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,v)dudv=0；当x≥0,y≥0时，F(x,y)=∫x0∫y06e-(2u+3v)dvdu=∫x02e-2udu∫y03e-3vdv=(-e-2ux0)(-e-3vy0)=(1-e-2x)(1-e-3y).综上所述，F(x,y)=(1-e-2x)(1-e-3y),x≥0,y≥0,0,其他.(3) P(X<1,Y>1)=∫10∫+∞16e-2xe-3ydxdy=∫102e-2xdx∫+∞13e-3ydy
=(1-e-2)e-3≈0.0431.
3.1.4几种重要的二维连续型随机变量1. 二维连续型均匀分布设D是平面上面积为A的有界区域，若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=1A,(x,y)∈D,0,其他,则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.
2. 二维正态分布
若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=12πσ1σ21-ρ2e-12(1-ρ2)(x-μ1)2σ21-2ρ(x-μ1)(y-μ2)σ1σ2+(y-μ2)2σ22,其中，-∞<x<+∞,-∞<y<+∞，μ1,μ2,σ21,σ22,ρ为常数，且σ1>0,σ2>0,|ρ|<1，则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 (X,Y)～N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ).
显然，f(x,y)≥0，并且可以验证∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=1.图3.3
f(x,y)的图形见图3.3.
在以后的章节中我们将会看到，二维正态分布是具有独特性质的二维连续型随机变量的分布，并将进一步讨论这5个参数相应的数学意义.
3. 二维标准正态分布
若在二维正态分布N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)中，μ1=μ2=0,σ1=σ2=1,ρ=0，则称(X,Y)服从二维标准正态分布，其联合概率密度为φ(x,y)=12πe-x2+y22,-∞<x<+∞；-∞<y<+∞.二维标准正态分布的联合概率密度φ(x,y)的图形与图3.3类似，不过对称轴为z轴.
3.1.5n维随机变量
设X1,X2,…,Xn是定义在样本空间Ω上的n个随机变量，则称(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量或n维随机向量.
n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数定义为F(x1,x2,…,xn)=P(X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn).进一步地
(1) 若n维随机变量(X1,X2,…,Xn)只能取有限组或可数无穷多组值，则称为n维离散型随机变量；
(2) 若存在非负可积函数p(x1,x2,…,xn)，使得联合分布函数F(x1,x2,…,xn)=∫x1-∞∫x2-∞…∫xn-∞f(u1,u2,…,un)du1du2…dun,则称(X1,X2,…,Xn)是n维连续型随机变量，并称f(x1,x2,…,xn)为(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度函数.思政小课堂9
【学】 理解多维随机变量及其分布的相关知识，逐步掌握多维随机变量之间的关系.
【思】  有人在写给儿子的信中说道： “孩子，我要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成绩，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利.选择有意义、有时间的工作，而不是被迫谋生.
当你有更多的选择，面对人生的岔路口，你就会从容很多.
不用明知道走得是一条不合适的路，还要硬着头皮走下去.
你学会的东西越多，选择余地就越大.
你的学历越高，收入高的可能性越大.
你所学到的知识和本领，都会化作你对抗生活的铠甲.”
如何在多维随机变量的应用背景下，成就自己的多维人生？
【悟】 大家一定要为了将来从容的选择，早立志，立大志，无论在什么情况下，都应把自己的发展与国家前途与命运结合起来.

3.2边缘分布与相互独立性
二维随机变量(X,Y) 的联合概率分布或联合概率密度，都是将(X,Y) 看成一个整体进行研究的.由于它们之间的关系非常复杂，研究起来比较困难.有时为方便起见，我们也可以分别研究关于X与Y“各自”的分布，这就是边缘概率分布.
3.2.1边缘分布函数
定义3.6设F(x,y)是随机变量(X,Y)的联合分布函数，则称 FX(x)=limy→+∞F(x,y)为关于X的边缘分布函数，简称为X的边缘分布；称FY(y)=limx→+∞F(x,y)为关于Y的边缘分布函数，简称为Y的边缘分布.
事实上，由分布函数定义不难得到FX(x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)；FY(y)=P(X<+∞,Y≤y)=F(+∞,y).例3.6已知随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=1-e-x-e-y+e-(x+y),x>0,y>0,0,其他,求X的边缘分布和Y的边缘分布．
解FX(x)=lim y→+∞F(x,y).
当x≤0时，F(x,y)=0，故FX(x)=0；
当x>0，y→+∞时，F(x,y)=1-e-x-e-y+e-(x+y)，故FX(x)=1-e-x.
因此，FX(x)=1-e-x,x>0,0,x≤0.同理可得FY(y)=1-e-y,y>0,0,y≤0.
3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布
设二维离散型随机变量的联合概率分布如表3.4.表3.4Y
Xy1y2…yj…yn…x1p11p12…p1j…p1n…x2p21p22…p2j…p2n…xipi1pi2…pij…pin…xmpm1pm2…pmj…pmn…记pi·=∑+∞j=1pij(i=1,2,…,m,…),p·j=∑+∞i=1pij(j=1,2,…,n,…)，则在表3.4中最右边加上一列，在最下边加上一行，对行和列的概率值分别求和就得到关于X与Y的边缘概率分布.经过整理，表3.5和表3.6分别是关于X和Y的边缘概率分布.表3.5行求和Xx1x2…xi…xm…pi·p1·p2·…pi·…pm·…表3.6列求和Yy1y2…yj…yn…p·jp·1p·2…p·j…p·n…这里，pi·≥0,∑+∞i=1pi·=1；p·j≥0,∑+∞j=1p·j=1.
注意边缘概率分布将二维随机变量转变为两个一维随机变量，所以可以按第2章的方法计算关于X与Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y).
例3.7设二维离散型随机变量的联合概率分布为Y
X0234-1116021611600116316012160116116203161160求: (1) 关于X和Y的边缘概率分布；
(2) 关于X与Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y).
解(1) 关于X的边缘概率分布为X-1012pi·14 141414关于Y的边缘概率分布为Y0234p·j316 1471618(2) 关于X和Y的边缘分布函数分别为FX(x)=0,x<-1,14,-1≤x<0,12,0≤x<1,34,1≤x<2,1,x≥2;FY(y)=0,y<0,316,0≤y<2,716,2≤y<3,78,3≤y<4,1,y≥4.例3.8一个袋中装有形状相同的6个球，其中4个白球，2个红球，现从袋中连续抽取两次，每次取一球，令X表示第一次取出的白球数，Y表示第二次取出的白球数，求(X，Y)的联合分布律和边缘分布律(分为有放回抽取和无放回抽取两种情况).
解(1) 有放回抽取Y
X0 1pi·026×2626×4613146×2646×4623p·j13 23(2) 不放回抽取Y
X01pi·026×1526×4513146×25 46×3523p·j1323可以看出，两种抽取方式之下，边缘分布相同，但联合分布不同.
例3.9一批产品中，一、二、三等品分别占12、14、14，从中每次抽取1件产品，有放回地抽取3次，求： (1)抽得的3件产品中一等品数X与二等品数Y的联合分布律； (2)X与Y的边缘分布律．
解（1） 联合分布律为Y
X01230164364364164166412646640212641264003864000（2） 边缘分布律为X0123pi·18 383818Y0123p·j2764 2764964164