第三章函数
第三章函数
第1节 一 次 函 数 
考点1 变量与函数
5%?A 
1. 函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y
都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说y 是x 的函数，其中x 是自变量，y
是因变量． 
（1） 函数不是数，函数是两个变量之间的关系． 
（2） 如果说“y 是x 的函数”，那么前面的y 就是因变量，后面的x 是自变量． 
2. 自变量的取值范围
使函数有意义的自变量取值叫作自变量的取值范围． 
（1） 不同类型的函数解析式中自变量的取值范围如下表所示． 
类型
整式型
分式型
根式型
举例
y = x2 + 5x - 6 
y = 1 x + 2 
y = x - 5 
自变量的取值范围
全体实数
x ≠ -2（分母不为0） 
x ≥ 5（二次根号下非负） 
（2） 用函数解析式表示实际问题时，必须使实际问题有意义．比如，某礼堂共有25 排座
位，已知某排座位数m 与这排的排数n 的函数解析式为m = n + 19，那自变量n 的取值范围不
能只写“1 ≤ n ≤ 25”，而要写“1 ≤ n ≤ 25，且n 为整数”． 
53

备战中考初中数学课堂笔记
3. 函数图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵
坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 
并非所有的图象都能表示函数，下面就来看两个例子． 
图象
O 
y 
x 
y 
O x 
判断
不表示函数
表示函数
原因
O 
y 
x 
y 
O x 
要判断图象是否表示函数，就画竖线：只要出现交点个数大于1的情况，就不是函数；反之是函数． 
3 5" 
1. 图象定性分析的问题
例1 一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽
水机，两台抽水机同时工作直到抽干．设工作时间为t，剩下的水量为s．下面能反映
s 与t 之间的关系的大致图象是（ ） 
s 
O t 
s 
O t 
s 
O t 
s 
O t 
A B C D 
分析：定性分析时一般要看两个东西：一是变化趋势；二是变化快慢． 
做法：题中的“s”指的是剩下的水量，所以一开始肯定最多，然后越来
越少，所以排除选项A，B．那选项C和选项D怎么选呢？得看变化的速度，一开始是
一台抽水机，后来变成两台抽水机，所以抽水速度是先慢后快．速度越快，对应的图
象越陡，所以应该是先平缓后陡峭，对比选项，应该选D． 
答案：D． 
总结：变化越快，图象越陡． 
越快越陡
技巧
54

第三章函数
例2 （山东淄博·中考）沿某容器口以均匀的速度注入酒
精，若液面高度h 随时间t 的变化情况如图所示，则对应容器
的形状为（ ） 
A. B. C. D. 
分析：题中曲线的陡峭程度和什么东西有关呢？曲线越陡，液面上升的速度越快，容
器的截面越小． 
做法：观察液面高度h 随时间t 的变化图象，可以分为三个阶段． 
第一阶段：曲线变陡→液面上升的速度变快→截面变小； 
第二阶段：曲线变缓→液面上升的速度变慢→截面变大； 
第三阶段：曲线突然变陡，而后保持倾斜程度不变→液面上升的速度突然变快，而后
保持不变→截面突然变小，而后保持不变．根据截面的变化，可知本题应该选C． 
答案：C． 
越陡越快
技巧
h 
O t 
2. 图象定量计算的问题
例3 小亮从家骑车上学，先经过一段平路到达A 地
后，再上坡到达B 地，最后下坡到达学校，所行驶路程
s（km）与时间t（min）的关系如右图所示．如果返回时， 
上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校
回到家需要的时间是______min． 
分析：显然这个图分成了OA，AB，BC 三段，找到相应的路程和时间，就可以求出速度． 
另外，从学校回家和从家去学校，上下坡是反着的，也要分别考虑． 
做法：先分析从家去学校的过程． 
OA：平路，速度v平= 1 ÷ 3 =13
（km/min）； 
AB：上坡，速度v上 = ( ) 2 - 1 ÷ ( ) 9 - 3 =16
（km/min）； 
BC：下坡，速度v下 = ( ) 4 - 2 ÷ ( ) 12 - 9 =23
（km/min）． 
再分析从学校回家的过程． 
CB：上坡，时间t上 = ( ) 4 - 2 ÷16
= 12（min）； 
BA：下坡，时间t下 = ( ) 2 - 1 ÷23
=32
（min）； 
AO：平路，这一段时间不用求，肯定不变，还是3min． 
3 9 12 
4
2
1 
t/min 
s/km C 
B 
A 
O 
1km 2km 
1km 
O A 
B 
C 
分段分析
技巧
1km 2km 
1km 
O A 
B 
C 
55

备战中考初中数学课堂笔记
所以总时间= 12 +32
+ 3 = 16.5（min）． 
答案：16.5． 
总结：对于这种定量计算问题，一定要分段分析，搞清楚每段的含义，分别计算． 
例4 某班同学从学校出发去秋游，大
部分同学乘坐大客车先出发，余下的同
学乘坐小轿车20min 后出发，沿同一路
线行驶．大客车中途停车等候5min， 
小轿车赶上来之后，大客车以原速度的
10 
7 继续行驶，小轿车速度保持不变，到
达景点后两车停止行驶．两车距学校的距离s（单位：km）和大客车行驶的时间t（单
位：min）之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是______． 
①学校到景点的距离为40km；②小轿车的速度是1km/min；③a = 15；④当小轿车驶
到景点入口时，大客车还需要15min 才能到达景点入口． 
分析：虽然现在有两条线，但是拆开来看就是五段：OB，BC，CE，AC，CD，分别分析这五段， 
看看有什么收获！注意，C点的横坐标虽然没有标，但其实是已知的，一定要先补上． 
做法：“大客车中途停车等候5min”，所以C 点的横坐标是35． 
① 由图可知，学校到景点的距离为40km，①正确； 
②观察小轿车的图象AD，速度 = 路程差 ÷ 时间差 = 40 ÷ (60 - 20) = 1km/min，②正确； 
③C的横坐标是35，所以从A到C，小轿车走了35 - 20 = 15min，再根据路程= 速度× 时间， 
可得路程= 15 × 1 = 15km，所以C 的纵坐标为15，即a = 15，③正确； 
④ 由OB 段可知，大客车一开始的速度= 15 ÷ 30 = 0.5km/min，停车后大客车的速度
变为了原来的10 
7 ，所以变化后大客车的速度为57
km/min． 
CE 段对应的路程是25km，所以CE 段对应的时间是25 ÷57
= 35min，所以大客车达
到景区的时间是70min．当小轿车驶入景区时，对应的时间是60min，所以大客车到
景区还需要的时间是：70 - 60 = 10min，故④不对． 
35 
15 = 
大客车
小轿车
D E 
C 
B 
A 
a 
20 30 60 
40 
O t/min 
s/km 
答案：①②③． 
分段分析
技巧
大客车
小轿车
D E 
C 
B 
A 
a 
20 30 60 
40 
O t/min 
s/km 
56

第三章函数
中考试卷通常只考到例4 的难度，但是重庆市中考卷的出题人觉得不过瘾，他们还会
出得更难一些．如果你想体会一下重庆的“麻辣考题”，不妨看一下例5． 
例5 小雪和小松分别从学校和图书馆出发，沿同一
条笔直的马路相向而行．小雪开始跑步，中途在某地
改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小雪先
出发5min 后，小松才骑自行车匀速去学校．小雪到
达图书馆恰好用了35min．两人之间的距离y（m）与
小雪离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示，则当小松刚到达学校时， 
小雪到图书馆的距离为______m． 
分析：你可能会想着去分别分析图上的五段，但你会发现，只有一段的数据比较全，其他段
数据都不全，然后就进行不下去了．这个时候，你就要关注图象背后到底发生了什么． 
做法：为了方便，可以给图象上的点标上字母，如右图． 
AB 段的数据比较全，先分析一下：这段的时间
是0~5min，由题意可知，此时小松还没有出发， 
小雪在跑步，那就可以求出小雪跑步的速度
v跑 = (4500 - 3500) ÷ 5 = 200(m/min)．又因为小 
雪步行的速度是跑步的一半，即有v步= 100m/min． 
其他段都缺数据，再分析也得不到什么信息了，那就得想想实际的场景． 
为了方便表示，可以画出线段图，如下． 
晚5min出发，时间和速度都不知道
跑步 步行 
学校 图书馆 
小松
小雪
总时间 = 35min 
路程 = 4500m
v跑 = 200m/min v步 = 100m/min 
由线段图可知，小雪的运动可分为两个阶段：先跑步，后步行．可以设未知数列方程， 
求解这两段的时间．设小雪跑步的时间为amin，则小雪步行的时间为(35 - a) min， 
再根据路程，可得200a + 100(35 - a) = 4500，解得a = 10，即小雪前10min跑步，后 
25min 步行． 
有了这个还是不知道有什么用，这时想想这道题的目标：求的是“当小松刚到达学校
时，小雪到图书馆的距离”．要求“小雪到图书馆的距离”，就得知道“ 小松达到学校
的时间”，进而得知道“小松的速度”，所以接下来要想办法求出“小松的速度”，那就还
得回归图象． 
4500 
3500 
1000 
5 35 
y/m
O x/min 
F 
E 
D 
C 
B 
4500 A 
3500 
1000 
5 35 
y/m
O x/min 
伵G=4Q 
J B 57

备战中考初中数学课堂笔记
先把小雪的时间数据补到图上：她前10min 跑步，后25min 步行，那10min 对应图上哪
个点呢？这得梳理一下过程：AB 段是小雪一个人在跑步；BC 段小松出发了，此时小雪
还在跑步；CD 段的图象拐了一下，这是为什么呢？小松的运动状态没变，那只可能是
小雪的速度变了，所以C 点对应的时间就应该是10min，把数据补在图上，如下图． 
接下来就可以利用BC段求出小松的速度了．由图可知，小
雪跑步和小松骑车的速度和= (3500 - 1000) ÷ (10 - 5) = 
500（m/min），所以小松骑车的速度为300m/min． 
知道小松的骑车速度，就能求出小松到家的时间， 
时间= 4500 ÷ 300 = 15（min），由于小松晚5min 出
发，所以小松在第20min 到家．此时小雪离图书馆还差35 - 20 = 15（min），所以小雪
离图书馆的距离是100 × 15 = 1500（m），故当小松刚到学校时，小雪到图书馆的距离
为1500m． 
答案：1500． 
总结：对于这种两人运动的图，如果按图分段得不到更多信息，就要想想实际
场景了． 
10 
F 
E 
D 
C 
B 
4500 A 
3500 
1000 
5 35 
y/m
O x/min 
考点2 一次函数的图象和性质
5%?A 
1. 一次函数y = kx + b 的图象与性质
图象
经过象限
图象形状
增减性
k > 0 
b > 0 
(0,b) 
y 
O x 
第一、二、三象限
从左向右上升的直线（↗） 
y 随x 的增大而增大
b < 0 
(0,b) 
y 
O x 
第一、三、四象限
k < 0 
b > 0 
(0,b) 
y
O x 
第一、二、四象限
从左向右下降的直线（↘） 
y 随x 的增大而减小
b < 0 
(0,b) 
y 
O x 
第二、三、四象限
上述表格反映了k 与b 如何控制一次函数y = kx + b 的图象． 
（1） k 只控制增减性：k > 0，函数递增；k < 0，函数递减； 
（2） b 只控制图象与y 轴交点：b > 0，与y 轴交于正半轴；b < 0，与y 轴交于负半轴． 
58

第三章函数
当然啦，这个漫画只是为了帮助你更好地理解k 与b 对一次函数的影响，实际上飞机
在上升或下降时，倾斜角度是会发生变化的. 
2. 一次函数图象的上下平移 
0m K m > 
-4 y = kx + b -4 y = kx + b m 
-4 y = kx + b -4 y = kx + b + m 
0m K m > 
上下平移规律可简单总结为：上加下减． 
根据平移规律可以发现，平行直线k 相同；反过来k 相同的直线互相平行． 
3. 用函数图象解一元一次方程、不等式
（1） 用函数图象解一元一次方程：ax + b = 0就是y = 0， 
所以ax + b = 0的解就是直线y = ax + b 与x 轴交点的横坐标， 
即x = -2． 
（2） 用函数图象解不等式：ax + b > 0就是y > 0，所以ax + b > 0的
解集就是图象在x 轴上方的部分对应的x 范围，即x > -2． 
（3） 用函数图象解不等式进阶：ax + b > mx + n 就是y1 > y2，所以
ax + b > mx + n 的解集就是图象中y1 在y2 上方的部分对应的x 范围， 
即x > -1． 
2 x0 x 
y 
ax0 + b 
y = ax + b 
O 
2 x0 x 
y 
ax0 + b 
y = ax + b 
O 
y2 = mx + n 
y1 = ax + b 
3 
1 x 
y 
O 
59

备战中考初中数学课堂笔记
用函数的观点解方程或不等式，关键就是要会把ax + b 这种式子看成y，然后
去图上找对应的范围． 
3 5" 
1. 一次函数的性质
例1 若一次函数y = (2m + 1) x + m - 3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 
______． 
分析：题目说的是一次函数，首先可以排除2m + 1 = 0的情况．函数
不经过第二象限，那画出图来是不是就是右面这样？ 
如果这么想，那么恭喜你掉坑里了！仔细想想，只有这一种情况吗？ 
做法：如下图，“不经过第二象限”还可以“只经过一、三象限”，所以斜率一定大于0， 
但是常数项应该小于等于0，即2m + 1 > 0，m - 3 ≤ 0，解得-12
< m ≤ 3． 
y 
O x 
答案：-12
< m ≤ 3． 
总结：一次函数不过某象限时，别忘了b = 0的情况． 
O x 
y 
例2 已知一次函数y = ax - a + 2（a 为常数，且a ≠ 0）．若当-1 ≤ x ≤ 4时，函数有
最大值7，则a 的值为______． 
分析：这里最大值到底在哪里取到？如果不清楚就先画个图看一下，这样你会发现斜
率不确定时需要画两个图，再分别找到最大值的位置来求解. 
做法：① 当a > 0时，y随x的增大而增大，那就是当x = 4时取得最大值7， 
即7 = 4a - a + 2，解得a =53> 0，符合题意； 
② 当a < 0时，y随x的增大而减小，那就是当x = -1时取得最大值7， 
即7 = - a - a + 2，解得a = -52
< 0，符合题意． 
综上，a 的值为53
或-52
． 
答案：53
或-52
． 
总结：函数问题想不清楚，一定要画草图，结合图象分析问题． 
(4,7) ( 1,7) 
分类讨论
方法
l3+S 
J B 
60

第三章函数
2. 动态直线问题
例3 已知在平面直角坐标系中的两点A(1,3)和B(n,3)，若直线y = 2x与线段AB有 
公共点，则n 的取值范围是______． 
分析：这道题是求范围，肯定得画图找临界，但是这次是线段不确定了．想想B 点纵
坐标是定值，横坐标是字母参数，那么它应该在哪里？ 
做法：B 点应该在直线y = 3这条与y 轴垂直的直线上，然后画
图找临界．如图，设直线y = 2x和y = 3交于点P，则P ( ) 32
,3 ， 
由图可知只要是点B 在P 点的右边，线段AB 和y = 2x 就都有
交点，所以n ≥32
． 
答案：n ≥32
． 
P B 
A 
y y = 2x
O x 
例4 如图，一次函数y = -12
x + 5的图象l1 分别与x 轴和y 轴交于A，B 两点，正比例
函数的图象l2与l1交于点C (m, 15 ) 
4 ． 
（1） 求m 的值及l2 的解析式； 
（2） 一次函数y = kx + 1的图象为l3 且l1，l2，l3 可以围成
三角形，请直接写出k 的取值范围． 
（1）做法：通过代入求值可得m =52
，直线l2 为y =32
x． 
（2）分析：有没有发现直线y = kx + 1的b 是确定的，所
以它一定经过定点(0,1)，那就让直线绕着这个点转一 
圈，看看什么时候能和另外两条围成三角形，什么时候
不能围成三角形． 
做法：通过旋转直线y = kx + 1发现，只有下面三种情况
不能构成三角形． 
①直线//l1； ②直线//l2； ③ 三条线交于一点. 
y 
O x 
C 
l1 
l2 
(0,1) 
y 
O 
x 
C 
l1 
l2 
(0,1) 
y 
O 
x 
C 
l1 
l2 
(0,1) 
可能你会有疑问，怎么确定只有这三种可能呢？ 
l2 
l1 
C 
A 
B 
O x 
y 
(0,1) 
l2 
l1 
C 
O x 
y 
分类讨论
方法
61

备战中考初中数学课堂笔记
可以从交点个数的角度去想，构成三角形，一定要有三个不同的交点． 
构不成三角形就意味着只有两个或一个交点，两个交点只能是前两种情况，一个交点
只能是第三种情况．接下来就可以计算了：根据平行k相等可知，此时k = -12
或k =32
． 
若只有一个交点，就是三条直线交于同一点，那么直线l3一定过点C，代入解得k = 11 
10． 
所以，k 的取值范围为k ≠ -12
且k ≠32
且k ≠ 11 
10． 
到这里你是不是觉得非常完美？小心，这里还有一个坑！题中说“一次函数y = kx + 1”， 
一次函数对k有要求吗？有啊！k ≠ 0．综上，k 的取值范围是k ≠ 0，-12
，32
，11 
10． 
总结：同一平面内一条直线和两条相交线不能构成三角形的情况有两种： 
①和其中一条平行；②三线交于一点． 
3. 一次函数的实际应用
例5 （吉林·中考）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40 万人接种新冠
疫苗．甲地在前期完成5 万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a 天
后接种人数达到25 万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100 天完成接种任务． 
乙地80 天完成接种任务．在某段时间内甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种
时间x（天）之间的关系如图所示． 
（1） 直接写出乙地每天接种的人数及a 的值； 
（2） 当甲地接种速度放缓后，求y 关于x 的函数解析式， 
并写出自变量x 的取值范围； 
（3） 当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数． 
（1）分析：乙地的接种速度很简单，关键是a 怎么求．a 的具体含义是什么呢？ 
做法：乙地每天接种的人数= 40 ÷ 80 = 0.5(万人/天)．前期甲地和乙地的接种速度
相同，所以前期甲地每天也是接种0.5 万人．由图可知，a 的具体含义是甲地接种人
数由5 万变成25 万所用的天数，所以0.5a = 25 - 5，解得a = 40． 
（2）分析：甲地接种速度放缓后，y 是关于x 的一次函数，这个函数的两个端点坐标是
确定的，那么就可以用待定系数法． 
做法：假设y = kx + b，将端点(40,25)，(100,40)代入， 
可得{25 = 40k + b 
40 = 100k + b
，解得
ì
í
.
.
.
k =14
b = 15
，所以y =14
x + 15(40 ≤ x ≤ 100)． 
总结：只要直线上有两个确定的点，就可以用待定系数法求直线的解析式． 
a 
y/ 
O 80 100 x/ 
5 
25 
40 
62

第三章函数
（3）分析：在坐标系里很多信息都转化成了点的坐标信息．求乙地接种完成时，甲
地的接种人数，就是求哪个点的坐标呢？ 
做法：求乙地接种完成时，甲地的接种人数，就是求
红点的纵坐标． 
已知红点的横坐标是80，将x = 80代入甲的解析式
y =14
x + 15，可得y = 35，所以此时甲地已经接种
35 万人，故还有40 - 35 = 5（万人）未接种． 
总结：处理函数问题时，一定要去想要求的问题和点坐标之间的关系． 
a 
y/ 
O 80 100 x/ 
5 
25 
40 
数形结合
方法
分类讨论
方法
例6 某品牌笔记本电脑的售价是5000 元/台，最近，该商家对此型号笔记本电脑举
行促销活动，有两种促销方案． 
方案一：每台按售价的九折销售； 
方案二：若购买不超过5 台，每台按售价销售；若超过5 台，超过的部分每台按售价的
八折销售．设某公司一次性购买此型号笔记本电脑x 台． 
（1） 设选择方案一的费用为y1 元，选择方案二的费用为y2 元，分别写出y1，y2 关于x 的
函数关系式； 
（2） 该公司采用哪种方案购买更合算?并说明理由． 
（1）分析：方案一始终是九折，不用分类讨论，但是方案二的单价取决于销量，需要分类
讨论． 
做法：方案一y1 = 5000 × 0.9x = 4500x． 
方案二当x ≤ 5时，y2 = 5000x． 
当x > 5时，y2 = 5000 × 5 + 5000 × 0.8( x - 5) = 4000x + 5000， 
所以y2 = ìí.
5000x ( x ≤ 5) 
4000x + 5000( x > 5) ． 
（2）分析：直接看解析式不好想，可以画出它们的草图，再判断． 
做法：画出y1，y2 的草图，如下图所示． 
y2 = 50 00 x y1 = 4500x 
y2 = 4000x + 5000 
y 
O x 
由草图可知，交点之前，y1 合算；交点之后，y2 合算，关键就是求交点． 
联立y1 = 4500x 和y2 = 4000x + 5000，解得x = 10． 
63

备战中考初中数学课堂笔记
当x < 10时，y1 < y2，采用方案一购买更合算； 
当x = 10时，y1 = y2，方案一和方案二一样合算； 
当x > 10时，y1 > y2，采用方案二购买更合算． 
总结：看解析式不好选择时，要想到画草图． 
例7 （湖北襄阳·中考改）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实
施全面禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购
进草鱼和鲢鱼进行销售．两种鱼的进价和售价如表所示． 
品种
鲢鱼
草鱼
进价/（元/斤） 
3.5 
6 
售价/（元/斤） 
5 
销量不超过200斤的部分
8 
销量超过200斤的部分
7 
老李每天购进两种鱼共300 斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80 斤且不超
过120 斤，设每天销售鲢鱼x 斤（销售过程中损耗不计）． 
（1） 分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元）、销售草鱼获利y2（元）与x 的关系式，并写出
x 的取值范围； 
（2） 清明节这天，老李让利销售．将鲢鱼售价每斤降低1 元，草鱼售价全部定为7 元/ 
斤．设销售这两种鱼总获利为W（元），求W 的最大值． 
（3） 端午节这天，老李让利销售．将鲢鱼售价每斤降低m 元，草鱼售价全部定为7 元/ 
斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． 
（1）分析：鲢鱼只有一个价格，获利比较简单，但是草鱼的价格取决于销量，所以需要分类
讨论． 
做法：鲢鱼的获利：y1 = (5 - 3.5) x = 1.5x； 
草鱼的获利：当300 - x ≤ 200时，100 ≤ x ≤ 120，y2 = (8 - 6) × (300 - x) = -2x + 600． 
当300 - x > 200时，80 ≤ x < 100， 
y2 =(8-6)×200+(7-6)×(300-x -200)=-x +500． 
所以y2 =ìí.
-x +500(80≤x <100) 
-2x +600(100≤x ≤120)． 
（2）分析：把鲢鱼和草鱼的获利分别表示出来，再加起来就是总的获利了． 
做法：鲢鱼的获利：(5 - 1 - 3.5) x = 0.5x，草鱼的获利：(7 - 6) × (300 - x) = 300 - x， 
总获利：W = 0.5x + 300 - x = -0.5x + 300，其中80 ≤ x ≤ 120． 
分类讨论
方法
64

第三章函数
因为W 是x 的一次函数，x 的系数小于0，所以W 随x 的增大而减小． 
当x = 80时，W 有最大值，W最大值= -0.5 × 80 + 300 = 260（元）． 
（3）分析：求总获利，就得先把鲢鱼和草鱼的获利分别表示出来． 
做法：鲢鱼的获利：(5 - m - 3.5) x = 1.5x - mx， 
草鱼的获利：(7 - 6) × (300 - x) = 300 - x， 
总获利：W = 1.5x - mx + 300 - x = 0.5x - mx + 300，其中80 ≤ x ≤ 120． 
怎么分析W 的最小值呢？我们得把m 看作参数，这样一来，W 就是x 的一次函数了． 
为了方便分析，得把它写成W = kx + b的标准形式，即W = (0.5 - m) x + 300． 
接下来就可以分析它的最小值了，由于x 前的系数含参，所以需要分类讨论． 
① 当0.5 - m ≤ 0 时，W 随x 的增大而减小，所以当x = 120 时，W 有最小值，此时
W = 120(0.5 - m) + 300，很明显，此时W ≤ 300，不合题意； 
② 当0.5 - m > 0时，W 随x 的增大而增大，所以当x = 80时，W 有最小值． 
由题意可知，W的最小值要大于等于320，即(0.5 - m) × 80 + 300 ≥ 320， 
解得m ≤ 0.25，所以m 的最大值是0.25． 
分类讨论
方法
这道题原来没有第（2）问的，因为直接让你做第（3）问可能会被绕晕，所以我给你设计
了第（2）问过渡一下． 
考点3 一次函数与几何综合
5%?A 
1. 几何综合中的基本工具
（1） 求直线交点就联立一次函数解析式； 
（2）中点公式：点A(x1,y1)和点B(x2,y2)的中点为( ) x1 + x2 2 , y1 + y2 2 ； 
（3）两点间距离公式：点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离为AB = (x1 - x2)
2 + (y1 - y2)
2； 
（4） *两条垂直直线的斜率乘积为-1（与坐标轴垂直的直线除外）．这个结论在做填空题
和选择题时可以直接用，但是需要写过程时不能直接用． 
2. 特殊的斜率
k = ±1 45° 
45°
O x 
y = x 
y 
x 
45° 
y = x 
y
O 
斜率与x 轴夹角图示
65

备战中考初中数学课堂笔记
k = ± 3 
k = ± 33 
60° 
30° 
A( a, 3a) 
x 
60° 
a 
3a 
y = 3x 
2a
y 
O 
A(a, 3a) 
x 
60° 
a 
3a 
y = 3x 
2a 
y 
O 
A( 3a,a) 2a 
3a 
a 
y = 
3 
3 
x 
30° 
O x 
y 
2a A( 3a,a) 
3a 
a 
y = 
3 
3 
x 
30° 
x 
O
y 
续表
斜率与x 轴夹角图示
（1） 利用图象上的点，构造特殊直角三角形，即可证明以上结论； 
（2） 平行直线k相等，所以以上结论对于一次函数同样成立． 
3 5" 
1. 特殊斜率的应用 
A 
O x 
y 
例1 如图，点A的坐标为(2,0)，在直线y = 33 x 上取点M，使
△AOM 为等腰三角形，则满足条件的点M 的坐标为______． 
分析：这种两定一动构造等腰的问题，肯定要用到“两圆一中
垂”，先分类画出所有可能． 
MO = MA 
M4 
A 
O x 
y 
AO = AM 
M3 
A 
O x 
y 
OM = OA
M2 
M1 
A x 
O
y 
如图，一共有四个点．接下来怎么求这四个点的坐标呢？这个一次函数的斜率是 33， 
说明它和x 轴的夹角是30°——那你去找“三六九三角形”，就
能求出这些点的坐标了． 
做法：知道有“三六九三角形”求坐标就简单了，先求M1 点坐
标，如图，过点M1 作x 轴的垂线，交x 轴于点N． 
N 
1 
3
2 
30° 
A x 
M1 
y 
O 
66

第三章函数
Rt△ONM1 中，OM1 = OA = 2，∠NOM1 = 30°，则NM1 =12
OM1 = 1，ON = 3，所以M1 的
坐标为(- 3 , - 1)，M2和M1关于原点对称，则M2的坐标是( 3 ,1)．同样利用“三六 
九三角形”求出其他两个点坐标：M3(3, 3 )，M4(1, 33 )． 
3 
30° 3 
1 x 
A 
M4 
y 
O 
30° 
3 
1 
2 
2 
30° 
A x 
M3 
y 
O 
答案：(- 3 , - 1)，( 3 ,1)，(3, 3 )，(1, 33 )． 
总结：（1）两定一动造等腰，就用“两圆一中垂”分类作图． 
（2）看到k = ± 33 就知道直线和x 轴的夹角是30°，一定有“三六九三角形”．
分类讨论
方法
%3%%4 
J B 
2. 一次函数与旋转综合
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =34
x + 3与y轴交于点A，与x轴交于点B， 
将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式． 
B x 
A 
C 
O
y 
分析：显然A，B 点坐标都好求，要求直线AC 的解析式就得求点C 坐标，那就往坐标轴
作垂线．这里往x 轴作垂直，结合线段AB 旋转90°，有没有发现这里藏着三垂直
模型？ 
做法：如图，由直线y =34
x + 3，得A(0,3)，B(-4,0)，所以AO = 3，BO = 4．过点C作 
CD ⊥ x轴于点D，则易证△CDB ≌ △BOA，所以CD = BO = 4，BD = AO = 3，所以OD = 7， 
则点C的坐标是( ) -7,4 ，接下来，用待定系数法可以求得AC的解析式为y = -17
x + 3． 
x 
A 
B 
C
D O
y 
总结：只要看到坐标系中的线段旋转90°，就要想到构造三垂直全等．
S%4o*w 
J B 67

备战中考初中数学课堂笔记
S%4o*w 
J B 例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =34
x + 3与y 轴交
于点A，与x 轴交于点B，将直线AB 绕点A 逆时针旋转45°，求旋转
后的直线解析式． 
分析：要求解析式必须再找点A 之外的另一个点的坐标，这个点
从哪儿找呢？看到45°就知道肯定有等腰直角三角形，那你试试
怎么做出来，当然别忘了还得构造三垂直全等来求长度． 
做法：过点B 作BC ⊥ AB，交旋转后的直线于点C，然后构造三垂
直全等．如图所示，可证△ABE ≌ △BCF．接着就可以开始计
算了． 
本题点A，B 相关数据和例2 一样，结合全等可得BF = AE = 4， 
CF = BE = 3，C (-1, - 4)．设直线AC为y = kx + 3，代入点C坐 
标求得k = 7，所以旋转后的直线解析式为y = 7x + 3． 
总结：旋转45°同样也隐藏着等腰直角三角形，要主动构造三垂
直全等． 
F 
E 
C 
B
4 
3 
3 
y 
O x 
45° 
A 
4 
y 
A 
45° 
O x 
B 
3. 对称点问题
例4 （河北·中考）表格中的两组对应值满足一次函数y = kx + b，现画出了它的图
象为直线l，如图．而某同学为观察k，b 对图象的影响，将上面函数中的k 与b 交换位
置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′． 
x
y 
-1 
-2 
01 
（1） 求直线l 的解析式； 
（2）请在图上画出直线l（′ 不要求列表计算），并求直线l′被直线l和y轴所截线段 
的长； 
（3） 设直线y = a 与直线l，l′及y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称， 
直接写出a 的值． 
（1）做法：待定系数求得y = 3x + 1． 
（2）做法：直线l的解析式为y = 3x + 1，它的k，b互换后，可得l′解析式
为y = x + 3，作图如右．直线l和l′联立，求得交点坐标为(1,4)，直 
线 l′ 和 y 轴的交点为 (0,3)，利用两点间距离公式求距离，得 
(1 - 0)2 + (4 - 3)2 = 2． 
y 
O x 
l′ 
l 
O x 
y 
68

第三章函数
（3）分析：题目中说“两个点关于第三个点对称”，那你是不是想画
图去找了？再仔细想想，真的需要画图吗？ 
做法：两个点关于第三个点对称，就意味着第三个点是另外两个点
的中点．不用画图，直接用中点公式计算就行． 
y = a 和直线l：y = 3x + 1 的交点是(a - 1 ) 
3 ,a ；y = a 和直线l′：y = x + 3 的交点是
(a - 3,a)；y = a和y轴的交点是(0,a)；分别用其中一个作为另外两个的中点，可得： 
① a - 1 
3 = (a - 3) + 0 
2 ，求得a = 7；② a - 3 = (a - 1) + 0 
6 ，求得a = 17 
5 ；③ a - 1 
3 +(a - 3) = 0， 
求得a =52
．综上，a = 7或17 
5 或52
． 
总结：坐标系中的轴对称关系就找中点，用中点公式计算． 
分类讨论
方法
对称有中点
技巧
4. 直角三角形存在性问题
D 
x 
A 
B 
C 
E 
y 
O 
例5 如图，在平面直角坐标系中，函数y = -x + 2的图象与x 轴和y 轴分别交于点A， 
B，与函数y =13
x + b的图象交于点C (-2,m)． 
（1） 求m 和b 的值； 
（2） 函数y =13
x + b 的图象与x 轴交于点D，点E 是
线段AD 上的一点． 
① 是否存在E 点，使△ACE 为直角三角形?若存在， 
直接写出E 点坐标；若不存在，请说明理由； 
②是否存在E 点，使△DCE 为直角三角形?若存在，直接写出点E 坐标；若不存在，请
说明理由． 
（1）做法：把点C ( ) -2,m 代入y = -x + 2，得m = 4．把C ( ) -2,4 代入y =13
x + b， 
得b = 14 
3 ． 
（2）① 分析：直角三角形的存在性就以直角顶点位置进行分类讨论，显然∠CAE 
不可能为直角，那就剩两种情况，分别作图如下，点E 分别位于图中点E1，E2 所在
的位置． 
A 
C 
B 
D E1 x 
y
O E2 
A 
C 
B 
D x 
y 
O 
69

备战中考初中数学课堂笔记
斜率±..有等腰直角
技巧分类讨论
方法
垂线斜率乘积为-.. 
技巧其中第一种情况非常好求，点E坐标是(-2,0)．第二种情况怎么求呢？想想直线AC 
的斜率为-1，这个背后有没有玄机？ 
做法：直线AC的斜率为-1，和x轴的夹角为45°，所以△ACE是等腰直角三角形． 
这样AE = 2 AC = 8，则点E的坐标为(-6,0)． 
综上所述，当点E的坐标为(-2,0)或(-6,0)时，△ACE是直角三角形． 
② 分析：这个问题不是和①一样吗？显然还是两种情况，(-2,0)这个仍然符合就不说 
了，但是∠DCE 为直角时能用刚才的方法做吗？直线CD的k是13
，这时的△CDE可不是
等腰直角了，那怎么办呢？这种直接写结果的问题可以用“垂线斜率乘积为-1”来求． 
做法：CE2 和CD 垂直，所以它们斜率乘积为-1，已知直线CD 
的斜率是13
，所以直线CE2 的斜率是-3．设CE2 的解析式为
y = -3x + m，将 C (-2,4) 代入，可得直线 CE2 的解析式为 
y = -3x - 2．令y = 0，可得E2坐标为( ) -23
,0 ，所以当点E的坐
标为( ) -2,0 或( ) -23
,0 时，△DCE是直角三角形． 
这一问中求E2 坐标也能用勾股定理，即CD2 + CE2 = DE2 来求，计算有点麻烦，如果要
写过程你可以用勾股定理，如果直接写结果，那么用斜率乘积为-1 更简单一些． 
5. 一次函数中的找规律
N2 
N3 
N1 
M2 M3 M1 
l 
y 
O x 
相似规律找等比
技巧例6 （贵州毕节·中考）如图，在平面直角坐标系中，点
N1(1,1)在直线l：y = x上，过点N1作N1M1 ⊥ l，交x轴于点 
M1；过点M1 作M1 N2 ⊥ x 轴，交直线于点N2；过点N2 作
N2 M2 ⊥ l，交x 轴于点M2；过点M2 作M2 N3 ⊥ x 轴，交直线于
点N3……，按此作法进行下去，则点M2021的坐标为______． 
分析：看到找规律问题，你是不是想把这些点M，一个一个坐标写出来，然后分别研究
横纵坐标规律？这计算量就大了．这道题的规律在图形上有个特点，就是——相似， 
这种规律就一定是等比的规律，所以直接用等比的关系求即可． 
做法：易得点M1 的坐标是（2,0），点M2 的坐标是（4,0），后面不用
算了，根据图形规律，可知每个△OMn Nn 都是等腰三角形，且
△OMn Nn 和△OMn - 1 Nn - 1 的相似比一定是2，所以这些点M 的横坐标就是公比为2 的
等比数列，点M2021 的横坐标就是2 × 22020 = 22021． 
答案：(22021,0)． 
70

第三章函数
总结：一次函数背景下，图形相似类的找规律都是等比规律． 
这道题数字比较简单，你可能会觉得我多算几个点坐标也没问题啊，接下来这道题如
果你还是一个一个算，那可就麻烦了，但用相似比直接得等比关系就非常简单了． 
例7 （山东泰安·中考）如图，点B1 在直线l：y =12
x 上，点B1 的横坐标为2，过点B1 作
B1 A1 ⊥ l，交x 轴于点A1，以A1 B1 为边，向右作正方形A1 B1 B2C1，延长B2C1 交x 轴于点
A2；以A2 B2 为边，向右作正方形A2 B2 B3C2，延长B3C2 交x 轴于点A3；以A3 B3 为边，向右
作正方形A3 B3 B4C3，延长B4C3 交x 轴于点A4……；照这个规律进行下去，则第n 个正
方形An Bn Bn + 1Cn 的边长为______（结果用含正整数n 的代数式表示）． 
C C 4 C 3 C1 2 
B2 
B5 
B4 
B3 
B1 
A5 A4 A3 A2 
l 
A1 x 
y
O 
分析：怎么样？这个要一个一个去求正方形的边长，计算量够大了吧？而且求出来的
数还带着根号，你都不一定能看出规律来，但这里仍然是相似比固定的相似问题，所
以我们只要求出两个正方形的边长和公比，整个题目就做出来了． 
做法：显然，点B1的坐标为(2,1)，OB1 = 5，很容易发现△OA1B1是两条直角边的比 
为 1∶2 的直角三角形，所以A1B1 = 25，而OB2 = OB1 + A1 B1 = 3A1 B1 =32
OB1，根据
△OA1 B1 △OA2 B2，得A2 B2 =32
A1 B1，所以这些正方形的相似比就是32
，则第n 个正
方形的边长为 5 2 × ( ) 32
n - 1
． 
答案： 5 2 × ( ) 32
n - 1
． 
总结：通过这道题可以更清楚地看出来，其实这类找规律就是“A字型”相似的规
律，它们的公比一样，只要求出首项和公比，第n项就可以很简单地表示出来了． 
注意，这类找规律要以一次函数为背景或者纯几何背景，如果是以反比例函数或者二
次函数为背景，就不一定是等比规律了． 
71