1 Introduction and summary 1

2 PDE systems, pfaffian systems and vector field systems 7

3 Cartan¡¯s local existence theorem 35

4 Involutivity and the prolongation theorem 79

5 Drach¡¯s classification, second order PDEs in one dependent variable, and Monge characteristics 114

6 Integration of vector field systems ¦Í satisfying 126

7 Higher order contact transformations 164

8 Local Lie groups 175

9 Structural classification of 3\|dimensional Lie algebras over the complex numbers 221

10 Lie equations and Lie vector field systems 235

11 Second order PDEs in one dependent and two independent variables 270

12 Hyperbolic PDEs with Monge systems admitting two or three first integrals 296

13 Classification of hyperbolic Goursat equations 346

14 Cartan¡¯s theory of lie pseudogroups 368

15 The equivalence problem 421

16 Parabolic PDEs and associated PDE systems 442

17 The equivalence problem for general 3\|dimensional pfaffian systems in five variables 471

18 Involutive second order PDE systems in one dependent and three independent variables, solved by the method of Monge 505