前言Ⅰ

符号表Ⅴ

第1章概率论备要与随机数

1.1概率论备要

1.1.1概率公理系统

1.1.2随机变量

1.1.3随机向量

1.1.4基本极限定理

1.1.5常见的实函数，Borel集与Borel函数

1.1.6常见的概率分布

1.2随机数与随机模拟

1.2.1生成随机数的逆函数方法

1.2.2生成随机数的Von Neumann取舍原则

1.2.3 对于取舍原则的再认识

1.2.4取舍原则的另一种表述

1.3Gauss 系

1.3.1方差有限的随机变量全体组成的Hilbert空间

1.3.2作为d维正态分布的推广的d维Gauss分布

1.3.3Gauss系与Gauss过程

习题1

第2章条件分布与条件期望

2.1条件分布与全概率公式的推广

2.1.1条件分布

2.1.2全概率公式及其积分形式

2.1.3Bayes公式及其积分形式

2.1.4多维条件分布

2.2条件期望

2.2.1随机变量在另一个随机变量取定值时的数学期望

2.2.2随机变量对另一个随机变量的条件期望

2.2.3关于多维随机变量的条件期望

2.2.4方差有限的随机变量对一个随机变量列的条件期望

2.2.5期望有限的随机变量对随机变量族的条件期望

*2.2.6关于事件体（σ代数）的条件期望

习题2

第3章随机徘徊与鞅论浅述

3.1随机徘徊

3.1.1简单随机徘徊

3.1.2博弈输光模型

3.2鞅列浅述

3.2.1鞅列与常见的例子

3.2.2鞅列的停时与选样定理

3.2.3鞅列的选样定理的应用

*3.2.4一般Doob停止定理的叙述

3.2.5下鞅列的Doob分解

3.3连续时间参数的鞅

3.3.1连续时间参数的随机事件的历史参照与连续时间参数的鞅

3.3.2连续时间鞅的选样定理

3.3.3平方可积鞅

习题3

第4章Brown运动与Markov过程

4.1Brown运动的数学模型

4.2Markov过程与Brown运动的Markov性

4.3Brown运动的有限维联合密度与基本性质

4.4Brown运动的首达时的分布密度

4.4.1首达时与Brown运动的反射原理

4.4.2Brown运动在时间区间［0，t］中达到的最大值的分布

4.5Brown运动的离散近似

4.5.1用对称随机徘徊近似

4.5.2Brown运动在击中b（b<0）前，先击中a(a>0)的概率

4.6Brown 运动的变种

4.6.1漂移Brown 运动

4.6.2几何Brown 运动

4.6.30点反射Brown运动

4.6.4积分Brown 运动

习题4

第5章随机微积分,对Brown运动的Ito积分与Ito公式

5.1实值函数的Stieltjes积分

5.1.1对单调函数的Stieltjes积分

5.1.2对有界变差函数的Stieltjes积分

5.2对Brown运动的随机积分

5.2.1实值函数对Brown运动的积分

5.2.2随机函数(随机过程)对Brown运动的积分

5.3Ito公式——随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式

5.3.1特殊类型的Ito过程

5.3.2Ito积分中被积随机过程类的推广与一般的Ito过程

5.3.3多维Brown运动积分的Ito过程

*5.3.4用鞅的语言来表达Ito公式——StroockVaradhan表示

习题5

第6章随机微分方程

6.1随机微分方程

6.1.1非随机系数的随机微分方程

6.1.2随机系数的随机微分方程的例子

6.1.3随机微分方程的解的存在唯一性

*6.2通过两个常微分方程的解给出光滑系数的一维随机微分方程的解

6.2.1Ito公式的简单推广

6.2.2通过两个常微分方程的解求解Stratonovich随机微分方程

*6.3化简一维随机微分方程的变换方法

6.3.1可以用变换转化的决定性函数系数的随机微分方程的例子

6.3.2可以用变换转化的决定性函数系数的随机微分方程的条件

6.3.3求解Ito方程的另一种途径——将方程中Brown运动的系数化为1 

6.4随机微分方程解的矩与对参数的依赖

6.5KalmanBucy滤波

6.5.1Gauss过程的投影——线性滤波  

6.5.2KalmanBucy 滤波模型与滤波过程（用新息过程表示，滤波的均方误差），滤波的随机微分方程

6.5.3关于离散时间的KalmanBucy滤波的附注

*6.6随机微分方程的弱解的概念

习题6

第7章扩散过程与其性质

7.1随机微分方程解的Markov性质

7.2扩散方程与FokkerPlank方程

7.2.1转移密度的Kolmogorov向前方程与向后方程

7.2.2转移密度的Kolmogorov向前方程与向后方程的直观推导

7.2.3系数含时间t时的Kolmogorov向前方程与向后方程(非时齐形式)

7.3多维扩散过程

7.3.1多维扩散方程

7.3.2非退化时齐扩散过程的两歧性和不变密度

7.4扩散过程的遍历定理

7.5多维扩散过程的首达时与首达地点的分布

7.5.1多维扩散过程的首达时与吸收过程

7.5.2多维扩散过程的首达地点分布与Dirichlet边值问题

*7.6Girsanov定理与FeymanKac公式

7.6.1Brown的随机平移——Girsanov变换

7.6.2FeymanKac公式

*7.7扩散过程的最佳停止

习题7

第8章随机微分方程的解的数值模拟算法

8.1随机微分方程轨道的采样近似

8.2随机微分方程在固定时刻附近的随机Taylor展开与解的差分近似

8.2.1半阶差分近似模型(EulerMaruyama近似)  

8.2.2一阶差分近似模型(Milstein近似)

8.3Ito方法的解ξt的光滑函数f(ξt)在时刻t附近的随机Taylor展开

8.4差分近似模型的另一种改进途径——一阶随机RungeKutta模型

第9章随机微分方程在金融模型中的应用

9.1金融术语与基本假定

9.2BlackScholes模型及其欧式未定权益的定价

9.2.1BlackScholes模型

9.2.2BlackScholes模型的欧式未定权益的定价的套期方法，BlackScholes微分方程的推导与求解

9.2.3风险中性概率方法

*9.2.4币值单位与随机折现因子方法

9.2.5时变的BlackScholes模型

9.3二叉模型与BlackScholes模型的二叉近似 

9.3.1二叉模型（中性概率存在的条件，欧式权益的定价）

9.3.2BlackScholes模型的二叉模型近似

9.3.3二叉模型的美式未定权益概要（美式权益{f（Sn），n≤N}的定价，套期与消费过程）

9.4随机利率与债券利率的期限结构

9.4.1s零息债券

9.4.2零息债券导出的各种随机利率概念

9.4.3资产定价基本定理与利率衍生证券

9.4.4利率的风险中性模型(远期利率的HJM模型，短期利率模型)

9.5基于证券的随机利率的债券为币值单位折现的证券的未定权益的定价

习题9

第10章Poisson随机分析大意

10.1Poisson过程，非时齐的Poisson过程与复合Poisson过程的复习

10.1.1Poisson过程

10.1.2非时齐的Poisson过程

10.1.3复合Poisson 过程与非时齐的复合Poisson 过程

10.2对非时齐的Poisson过程的随机积分与对Poisson点过程的随机积分

10.2.1对非时齐的Poisson过程Nt的随机积分

10.2.2与非时齐的复合Poisson过程相系的Poisson点过程(用时间、空间积分表示)

10.2.3将非时齐复合Poisson过程表为时空Poisson点过程的积分（用时间、空间积分表示）

10.3对时空Poisson点过程μ(t,v)的随机积分

10.3.1对时空Poisson点过程μ(t,v)的随机积分的必要性

10.3.2对时空Poisson点过程μ(t,v)的随机积分的含义

10.4以Poisson过程或时空Poisson点过程驱动的随机微分方程与Poisson随机微积分的复合函数的Ito 公式

10.4.1以时空Poisson过程驱动的随机微分方程

10.4.2一般的随机微分方程的解的Ito公式

10.5常见的条件Poisson过程

10.5.1自激点过程(条件强度过程，绝对概率，事件到达时间联合分布，样本分布)

10.5.2带有随机调制的Poisson过程（二重Poisson过程）

10.5.3滤波Poisson过程

10.6特征泛函

10.6.1Poisson过程的特征泛函

10.6.2非时齐的Poisson过程的特征泛函

10.6.3非时齐的复合Poisson过程的特征泛函

10.7随机地模拟Poisson过程和非时齐的Poisson过程的方法

10.7.1模拟Poisson过程的方法

10.7.2模拟非时齐的Poisson过程

习题10

名词索引

参考文献