第1章函数与极限 1

1.1函数 1

1.1.1知识要点 1

1.1.2典型例题 7

1.2极限概念极限运算 10

1.2.1知识要点 10

1.2.2典型例题 13

1.3无穷小的比较函数的连续性 17

1.3.1知识要点 18

1.3.2典型例题 20

自测题1 25

数学史话 26

1. 极限思想——重要性及其发展阶段 26

2. 刘徽与“割圆术” 28

第2章导数与微分 29

2.1导数的概念与运算 29

2.1.1知识要点 29

2.1.2典型例题 30

2.2高阶导数与微分 38

2.2.1知识要点 39

2.2.2典型例题 40

自测题2 46

数学应用范例 47

1. 相关变化率问题 47

2. 微分在近似计算中的应用 47

3. 导数在经济学上的应用 47

第3章微分中值定理与导数的应用 50

3.1微分中值定理洛必达法则 50

3.1.1知识要点 50

3.1.2典型例题 52

3.2导数的应用 58

3.2.1知识要点 58

3.2.2典型例题 60

自测题3 67

数学家简介 68

1. 罗尔 68

2. 拉格朗日 69

3. 柯西 70

4. 泰勒 70

5. 洛必达 71

第4章不定积分 73

4.1不定积分的概念与性质 73

4.1.1知识要点 73

4.1.2典型例题 74

4.2不定积分的换元积分法与分部积分法 78

4.2.1知识要点 78

4.2.2典型例题 80

自测题4 89

第5章定积分 91

5.1定积分的概念、性质和微积分基本公式 91

5.1.1知识要点 91

5.1.2典型例题 94

5.2定积分的换元法、分部积分法和反常积分 100

5.2.1知识要点 100

5.2.2典型例题 102

自测题5 108

数学应用范例 111

1. 已知变化率求变化量 111

2. 在经济学中的应用 111

3. 润滑油的存储量(反常积分的应用实例) 112

数学家简介112

1. 牛顿    112

2. 莱布尼茨 114

数学史话牛顿和莱布尼茨创立了微积分 115

第6章定积分应用 117

6.1知识要点 117

6.2典型例题 121

自测题6 132

数学应用范例连续变量作用和问题 133

数学史话穷竭法求面积 134

第7章向量代数与空间解析几何 137

7.1向量代数 137

7.1.1知识要点 137

7.1.2典型例题 138

7.2曲线与曲面 140

7.2.1知识要点 140

7.2.2典型例题 143

7.3平面与直线 146

7.3.1知识要点 146

7.3.2典型例题 147

自测题7 152

数学家简介笛卡儿 153

第8章多元函数微分法及其应用 155

8.1多元函数微分法的概念及偏导数、全微分 155

8.1.1知识要点 155

8.1.2典型例题 157

8.2多元复合函数及隐函数的微分 161

8.2.1知识要点 161

8.2.2典型例题 162

8.3多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、

多元函数的极值 167

8.3.1知识要点 167

8.3.2典型例题 169

自测题8 175

数学应用范例如何测定太湖的最深处 176

第9章重积分 178

9.1二重积分 178

9.1.1知识要点 178

9.1.2典型例题 181

9.2三重积分 188

9.2.1知识要点 188

9.2.2典型例题 189

9.3重积分的应用 195

9.3.1知识要点 195

9.3.2典型例题 196

自测题9 198

第10章曲线积分与曲面积分 201

10.1曲线积分 201

10.1.1知识要点 201

10.1.2典型例题 203

10.2格林公式曲线积分与路径无关的条件 208

10.2.1知识要点 208

10.2.2典型例题 209

10.3曲面积分 213

10.3.1知识要点 213

10.3.2典型例题 215

自测题10 221

数学应用范例 223

1. 小岛在涨潮与落潮之间的面积变化 223

2. 通信卫星的覆盖面积 223

数学家简介高斯 225

第11章无穷级数 227

11.1常数项级数 227

11.1.1知识要点 227

11.1.2典型例题 229

11.2幂级数 234

11.2.1知识要点 234

11.2.2典型例题 235

11.3函数展开成幂级数 239

11.3.1知识要点 239

11.3.2典型例题 240

自测题11 244

数学应用范例 245

1. 阿基里斯问题 245

2. 利用级数估计π的值 246

3. 微分方程的级数解 246

4. 表示特殊函数 247

第12章常微分方程 249

12.1一阶微分方程 249

12.1.1知识要点 249

12.1.2典型例题 251

12.2高阶微分方程二阶线性微分方程 258

12.2.1知识要点 258

12.2.2典型例题 261

自测题12 270

数学应用范例微分方程模型初步 271

数学史话钟摆、悬链线和伯努利兄弟 277

第13章用Mathematica研究高等数学问题 281

13.1入门 281

13.1.1启动和退出281

13.1.2Mathematica 5.1的工作界面282

13.1.3Mathematica 5.1的输入、输出和运行282

13.1.4数值类型和系统中的数学常数283

13.1.5内建函数(built\|in function)285

13.1.6变量287

13.1.7表达式288

13.1.8调用软件包290

13.1.9Mathematica的联机帮助系统291

13.1.10给初学者的提示292

13.2函数二维图形极限 293

13.2.1自定义函数293

13.2.2二维图形295

13.2.3极限299

13.3一元函数微分学 300

13.3.1求导数300

13.3.2求函数的极小值302

13.4一元函数积分学 304

13.4.1积分的计算304

13.4.2反常积分的计算305

13.4.3数值积分305

13.5三维图形 306

13.5.1三维图形命令306

13.5.2三维图形范例309

13.6多元函数微积分运算 312

13.6.1求偏导数312

13.6.2求全微分313

13.6.3重积分314

13.7无穷级数 314

13.7.1求无穷和314

13.7.2把函数展开为幂级数315

13.7.3去掉余项315

13.8常微分方程 316

13.8.1求解微分方程通解316

13.8.2求解微分方程初值问题316

13.8.3求解微分方程组316

自测题答案与提示 318

参考文献 331