引言1

第一章 矩阵和行列式3

第1讲 矩阵的概念和运算51.1 矩阵的定义5

1.2 矩阵的加法8

1.3 矩阵的数乘8

1.4 矩阵的乘法9

1.5 矩阵的转置13

思考练习题114

习题116

第2讲 行列式的概念17

2.1 二阶和三阶行列式17

2.2 排列与逆序18

2.3 n阶行列式的定义21

思考练习题225

习题226

第3讲 行列式的性质28

3.1 行列式的性质28

3.2 方阵乘积的行列式34

思考练习题337

习题337

第4讲 行列式展开定理39

4.1 行列式按一行展开的公式39  大学代数与几何

目 录  

  4.2 行列式计算的例43

4.3 按某几行展开定理--拉普拉斯定理48

思考练习题450

习题451

第5讲 矩阵的逆和初等变换54

5.1 逆矩阵的概念54

5.2 矩阵的求逆公式57

5.3 矩阵的初等变换和初等矩阵60

思考练习题564

习题565

第6讲 矩阵的相抵标准形和矩阵求逆的初等变换法66

6.1 矩阵的相抵与相抵标准形66

6.2 求逆矩阵的初等变换法70

6.3 分块矩阵的初等变换72

思考练习题675

习题675

第7讲 解线性方程组的克拉默法则和高斯消元法77

7.1 解线性方程组的克拉默法则77

7.2 解线性方程组的消元法81

7.3 齐次线性方程组的解86

思考练习题787

习题788

第8讲 第一章复习与补充89

8.1 矩阵乘积的可交换性89

8.2 矩阵乘积的行列式91

8.3 行列式的计算技巧总结94

8.4 伴随矩阵的公式96

8.5 矩阵的三角分解97

习题899

复习题1100

第二章 几何空间与线性空间103

第9讲 几何空间和向量的线性运算1059.1 几何空间的性质和向量的线性运算105

9.2 直角坐标系107

9.3 若干几何问题108

9.4 一般坐标系(仿射坐标系)111

思考练习题9112

习题9113

第10讲 几何空间中向量的数量积和向量积114

10.1 向量的数量积(内积，点积)114

10.2 向量的数量积的计算方法117

10.3 向量的向量积(外积，叉积)118

附录A 向量积的分配律的证明120

思考练习题10121

习题10121

第11讲 三维空间中的向量的混合积和平面方程123

11.1 向量的混合积123

11.2 平面方程125

11.3 几个平面的位置关系128

附录B 向量的复合积130

思考练习题11132

习题11132

第12讲 三维空间中的直线方程134

12.1 直线方程134

12.2 直线与平面的位置关系136

12.3 两直线的位置关系137

12.4 点到直线的距离140

思考练习题12142

习题12142

第13讲 n维向量空间144

13.1 n维向量和n维向量空间144

13.2 向量组的线性组合与线性表出146

13.3 向量组的线性相关性147

13.4 基与坐标，坐标变换与过渡矩阵149

思考练习题13153

习题13154

第14讲 向量组的线性相关性和秩155

14.1 关于向量组的线性相关性的一些补充155

14.2 两个向量组的关系156

14.3 向量组的极大线性无关组和秩158

14.4 子空间的维数和基162

思考练习题14162

习题14163

第15讲 矩阵的秩164

15.1 矩阵的秩的概念164

15.2 矩阵的秩和向量组的秩的关系166

15.3 矩阵的运算对秩的影响168

思考练习题15171

习题15172

第16讲 线性空间173

16.1 线性空间的定义173

16.2 基与坐标，坐标变换与过渡矩阵175

16.3 线性空间与向量空间的同构177

附录C 关于多项式的概念179

思考练习题16180

习题16180

第17讲 欧氏空间181

17.1 内积与欧氏空间181

17.2 内积的性质182

17.3 标准正交基和正交矩阵184

17.4 施密特标准正交化方法185

17.5 可逆矩阵的QR分解187

思考练习题17189

习题17189

选讲I 第二章复习与补充191

I.1 空间概念及有关问题191

I.2 几何空间中向量之间的乘积，平面与直线方程193

I.3 向量组的线性相关性，秩194

第二章复习题198

第三章 线性方程组的解的结构201

第18讲 齐次线性方程组的解的结构20318.1 齐次线性方程组的解的性质203

18.2 齐次线性方程组的基础解系204

思考练习题18210

习题18210

第19讲 非齐次线性方程组的解的结构212

19.1 非齐次线性方程组有解的条件212

19.2 非齐次线性方程组有解时解的结构213

19.3 矩阵方程的求解219

思考练习题19221

习题19221

选讲II 矛盾线性方程组的近似解223

II.1 近似解的标准--最小距离223

II.2 最小二乘法的应用226

附录D 最小二乘法的分析推导229

习题II230

第三章复习题230

第四章 矩阵的特征值问题和相似对角化问题233

第20讲 矩阵的特征值与特征向量23520.1 方阵的特征值与特征向量235

20.2 方阵的特征多项式及其性质238

20.3 特征向量的性质与特征子空间241

20.4 特征多项式的哈密尔顿-凯莱定理243

思考练习题20244

习题20245

第21讲 矩阵的相似与对角化246

21.1 矩阵的相似246

21.2 矩阵的对角化问题247

21.3 矩阵对角化的应用与例251

思考练习题21254

习题21254

第22讲 实对称矩阵的对角化256

22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质256

22.2 实对称矩阵的对角化258

22.3 实对称矩阵对角化的计算方法259

思考练习题22261

习题22262

第23讲 线性变换263

23.1 线性变换的概念263

23.2 线性变换的矩阵265

23.3 线性变换在不同基下的矩阵267

思考练习题23268

习题23269

第24讲 正交变换与正交矩阵271

24.1 正交变换271

24.2 正交变换的运算和分类273

24.3 正交变换(正交矩阵)的特征值276

思考练习题24278

习题24278

选讲III 第四章复习与补充280

第四章复习题284

第五章 二次型与二次曲面287

第25讲 三维空间中的二次曲面28925.1 空间曲面方程与平面截割法289

25.2 三维空间中的二次曲面291

25.3 三维空间中的曲线方程294

思考练习题25296

习题25296

第26讲 二次型与它的标准形297

26.1 二次型及其矩阵表示297

26.2 二次型的线性替换和矩阵的合同298

26.3 二次型的标准形和化二次型为标准形的配方法299

思考练习题26303

习题26303

第27讲 化简二次型的正交基变换法，惯性定理305

27.1 化简二次型的正交基变换法305

27.2 化简二次型的初等变换法308

27.3 二次型的规范形和惯性定理309

思考练习题27311

习题27312

第28讲 二次型的正定性313

28.1 正定二次型的概念313

28.2 正定二次型的行列式判断方法315

28.3 正定矩阵的运算317

思考练习题28318

习题28319

第29讲 二次型与二次曲面的分类320

29.1 二次型的分类320

29.2 几何空间中的二次曲面的分类321

29.3 二次型的若干应用324

思考练习题29326

习题29326

第30讲 总复习328

30.1 矩阵与行列式328

30.2 线性方程组求解问题330

30.3 二次型与二次曲面331

期末考试举例332

参考文献338