第 1章凸分析的基本概念 .................................................................1 

1.1凸集与凸函数 .......................................................................1 

1.1.1凸函数 .......................................................................3 

1.1.2函数的闭性与半连续性 ...............................................8 

1.1.3凸函数的运算 ........................................................... 10 

1.1.4可微凸函数的性质 .................................................... 12 

1.2凸包与仿射包 ..................................................................... 17 

1.3相对内点集和闭包 .............................................................. 21 

1.3.1相对内点集和闭包的演算 .......................................... 25 

1.3.2凸函数的连续性 ....................................................... 33 

1.3.3函数的闭包 .............................................................. 35 

1.4回收锥 ............................................................................... 40 

1.4.1凸函数的回收方向 .................................................... 48 

1.4.2闭集交的非空性 ....................................................... 54 

1.4.3线性变换下的闭性 .................................................... 61 

1.5超平面 ............................................................................... 63 

1.5.1分离超平面 .............................................................. 64 

1.5.2超平面真分离 ........................................................... 69 

1.5.3用非竖直超平面做分离 ............................................. 75 

1.6共轭函数 ........................................................................... 78 

1.7小结 .................................................................................. 85

第 2章多面体凸性的基本概念 ........................................................ 87 

2.1顶点 .................................................................................. 87 

2.2极锥 .................................................................................. 94 

XIV凸优化理论 

2.3多面体集和多面体函数 ....................................................... 96 

2.3.1多面体锥和 Farkas引理 ........................................... 96 

2.3.2多面体集的结构 ...................................................... 98 

2.3.3多面体函数 ........................................................... 103 

2.4优化的多面体方面 ............................................................ 105

第 3章凸优化的基本概念 ............................................................ 109 

3.1约束优化 ......................................................................... 109 

3.2最优解的存在性 ............................................................... 111 

3.3凸函数的部分最小化 ......................................................... 115 

3.4鞍点和最小最大理论 ......................................................... 119

第 4章对偶原理的几何框架 ......................................................... 123 

4.1最小公共点/最大相交点问题的对偶性 ................................ 123 

4.2几种特殊情况 ................................................................... 128 

4.2.1对偶性与共轭凸函数的联系 .................................... 128 

4.2.2一般优化问题中的对偶性 ....................................... 129 

4.2.3不等式约束下的优化问题 ....................................... 130 

4.2.4不等式约束问题的增广拉格朗日对偶性 ................... 132 

4.2.5最小最大问题 ........................................................ 133 

4.3强对偶定理 ...................................................................... 138 

4.4对偶最优解的存在性 ......................................................... 142 

4.5对偶性与凸多面体 ............................................................ 145 

4.6小结 ................................................................................ 150

第 5章对偶性与优化 ................................................................... 151 

5.1非线性 Farkas引理 .......................................................... 151 

5.2线性规划的对偶性 ............................................................ 155 

5.3凸规划的对偶性 ............................................................... 158 

5.3.1强对偶定理 ——不等式约束 .................................. 159 

5.3.2最优性条件 ........................................................... 160 

5.3.3部分多面体约束 .................................................... 162 

5.3.4对偶性与原问题最优解的存在性 ............................. 167 

5.3.5 Fenchel对偶性 ...................................................... 169 

目录 XV 

5.3.6锥对偶性 .............................................................. 172 

5.4次梯度与最优性条件 ......................................................... 173 

5.4.1共轭函数的次梯度 ................................................. 177 

5.4.2次微分运算 ........................................................... 182 

5.4.3最优性条件 ........................................................... 185 

5.4.4方向导数 .............................................................. 186 

5.5最小最大理论 ................................................................... 190 

5.5.1最小最大对偶定理 ................................................. 191 

5.5.2鞍点定理 .............................................................. 194 

5.6择一定理 ......................................................................... 200 

5.7非凸问题 ......................................................................... 207 

5.7.1可分问题中的对偶间隙 .......................................... 207 

5.7.2最小最大问题中的对偶间隙 .................................... 216

附录 A数学背景 .......................................................................... 217 

A.1线性代数 ........................................................................ 219 

A.2拓扑性质 ........................................................................ 222 

A.3导数 ............................................................................... 227

附录 B注释和文献来源 ................................................................ 229