第1篇复变函数论
第1章复数与复变函数
1.1复数的概念及其表示方法
1.1.1复数的概念
1.1.2复数的几何表示
1.2复数的基本代数运算
1.2.1复数的四则运算
1.2.2复数的乘幂与方根
1.3复变函数
1.3.1区域的相关概念
1.3.2复变函数的概念
1.3.3复变函数的几何意义
1.4复变函数的极限与连续性
1.4.1复变函数的极限
1.4.2复变函数的连续性
习题1
第2章解析函数
2.1复变函数的导数
2.1.1导数的概念
2.1.2求导法则
2.1.3微分的概念
2.1.4可导与连续的关系
2.1.5可导的必要条件： 柯西黎曼（CauchyRiemann）条件
2.1.6可导的充要条件
2.2解析函数的概念及充要条件
2.2.1解析函数的概念
2.2.2解析函数的运算法则
2.2.3函数在区域内解析的充要条件与判别方法
2.2.4解析函数与调和函数的关系
2.2.5解析函数的构建
2.3初等解析函数
2.3.1单值函数
2.3.2多值函数
2.4解析函数的应用——平面场的复势
2.4.1用复变函数刻画平面向量场
2.4.2平面静电场
2.4.3平面稳定温度场
习题2
第3章复变函数的积分
3.1复变函数积分的概念与基本性质
3.1.1复变函数积分的概念
3.1.2复积分的存在条件与计算
3.1.3复积分的性质
3.2柯西定理
3.2.1单通区域柯西定理
3.2.2不定积分
3.2.3复通区域柯西定理
3.3柯西积分公式与高阶导数公式
3.3.1柯西积分公式
3.3.2高阶导数公式
*3.3.3柯西积分公式的几个推论
习题3
第4章解析函数的幂级数展开
4.1复数项级数与复变函数项级数
4.1.1复数项级数
4.1.2复变函数项级数
4.2幂级数
4.2.1幂级数的概念
4.2.2收敛圆与收敛半径
4.2.3幂级数的性质
4.3解析函数的泰勒级数展开
4.3.1泰勒展开定理
4.3.2泰勒展开方法
4.4解析函数的洛朗级数展开
4.4.1双边幂级数
4.4.2洛朗展开定理
4.4.3洛朗展开方法
4.5孤立奇点的分类与判别
4.5.1孤立奇点
4.5.2孤立奇点的分类
4.5.3极点与零点的关系
*4.6解析函数在无穷远点的性态
*4.7解析延拓
4.7.1解析延拓的概念
4.7.2唯一性定理
4.7.3解析延拓的方法
习题4
第5章 留数理论及其应用
5.1留数及留数定理
5.1.1留数的概念
5.1.2留数定理
5.1.3留数的计算
5.2应用留数定理计算实定积分
5.2.1形如
∫2π0R（cosx,sin x）dx
的积分
5.2.2形如
∫∞-∞f（x）dx
的积分
5.2.3形如，
∫∞0f（x）cosmxdx,
∫∞0g（x）sinmxdx（m＞0）
的积分
*5.2.4实轴上有奇点的情形
*5.3留数在力学上的应用举例
5.3.1电场内总电荷与功的计算
5.3.2机翼剖面的夏甫莱金升力公式
习题5
第6章共形映射
6.1共形映射的概念
6.1.1导数的几何意义
6.1.2共形映射的概念
6.2分式线性映射
6.2.1分式线性映射的概念
6.2.2分式线性映射的分解
6.2.3分式线性映射的性质
6.3唯一决定分式线性映射的条件
6.4几个初等函数所构成的映射
6.4.1幂函数
w=zn（n≥2为自然数）
6.4.2指数函数w=ez
6.5关于共形映射的几个一般性定理
*6.6共形映射的应用
6.6.1热传导问题
6.6.2电位分布问题
习题6
第2篇积 分 变 换
第7章傅里叶变换
7.1傅里叶级数
7.1.1周期函数的傅里叶展开
7.1.2奇函数与偶函数的傅里叶展开
7.1.3定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
7.1.4复数形式的傅里叶级数
7.2傅里叶变换的定义及性质
7.2.1非周期函数的傅里叶展开问题
7.2.2傅里叶积分定理
7.2.3傅里叶变换的概念
7.2.4傅里叶变换的基本性质
7.3δ函数广义傅里叶变换
7.3.1δ函数的定义
7.3.2δ函数的导数
7.3.3δ函数的性质
7.3.4广义傅里叶变换
7.4傅里叶变换在频谱分析中的应用
7.4.1周期函数的频谱
7.4.2非周期函数的频谱
*7.5小波变换介绍
习题7
第8章拉普拉斯变换
8.1拉普拉斯变换的概念
8.1.1拉普拉斯变换的引入
8.1.2拉普拉斯变换的概念
8.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换
8.1.4拉普拉斯变换存在定理
8.2拉普拉斯变换的性质
8.3拉普拉斯变换的反演
8.3.1部分分式反演法
8.3.2查表法
8.3.3卷积定理法
8.3.4利用留数计算反演积分法
8.4拉普拉斯变换的应用
8.4.1利用拉普拉斯变换求解线性微分(积分)方程的步骤
8.4.2拉普拉斯变换应用举例
*8.5z变换
8.5.1z变换与拉普拉斯变换的关系
8.5.2z变换的定义
8.5.3z变换存在定理
8.5.4z变换的性质
8.5.5z变换的应用
习题8
第3篇特殊函数与数学物理方程
第9章勒让德函数
9.1二阶线性齐次常微分方程的级数解
9.1.1二阶线性齐次常微分方程的常点与奇点
9.1.2方程常点邻域内的级数解定理
9.1.3方程正则奇点邻域内的级数解定理
9.2勒让德多项式的定义
9.2.1勒让德方程的本征值问题
9.2.2勒让德多项式的级数表示
9.2.3勒让德多项式的微分与积分表示
9.3勒让德多项式的性质
9.3.1勒让德多项式的母函数
9.3.2勒让德多项式的递推公式
9.3.3勒让德多项式的正交归一性
9.3.4广义傅里叶级数
9.4连带勒让德函数
9.4.1连带勒让德函数的定义
9.4.2连带勒让德函数的微分表达式
9.4.3连带勒让德函数的母函数
9.4.4连带勒让德函数的递推公式
9.4.5连带勒让德函数的正交归一性
9.4.6连带勒让德函数的广义傅里叶级数展开
习题9
第10章贝塞尔函数
10.1贝塞尔函数的定义
10.1.1贝塞尔方程的级数解
10.1.2三类贝塞尔函数
10.2贝塞尔函数的性质
10.2.1贝塞尔函数的图形与特殊值
10.2.2贝塞尔函数的递推公式
10.2.3贝塞尔函数的母函数
10.2.4贝塞尔方程的本征值问题
10.2.5贝塞尔函数的正交归一性
10.2.6广义傅里叶级数
10.3虚宗量贝塞尔函数
10.3.1虚宗量贝塞尔方程
10.3.2虚宗量贝塞尔函数的表达式
10.3.3虚宗量贝塞尔函数的性质
10.4球贝塞尔函数
10.4.1球贝塞尔方程
10.4.2球贝塞尔函数的表达式
10.4.3球贝塞尔函数的性质
习题10
第11章数学物理定解问题
11.1数学物理方程的导出
11.1.1波动方程
11.1.2热传导方程
11.1.3稳定场方程
11.2定解条件与定解问题
11.2.1初始条件
11.2.2边界条件
11.2.3定解问题及其适定性
11.3数学物理方程的分类
11.3.1二阶线性偏微分方程
11.3.2含两个自变量方程的分类
11.3.3含两个自变量方程的化简
11.3.4线性偏微分方程的叠加原理
习题11
第12章行波法与积分变换法
12.1一维波动方程的达朗贝尔解
12.1.1达朗贝尔（DAlembert）公式
12.1.2解的物理意义
12.1.3定解问题的整体性
12.2傅里叶变换法求解定解问题
12.3拉普拉斯变换法求解定解问题
习题12
第13章分离变量法
13.1齐次泛定方程的分离变量
13.1.1一维波动方程的分离变量
13.1.2一维热传导方程的分离变量
13.1.3二维矩形区域内拉普拉斯方程的分离变量
13.1.4二维圆形区域内拉普拉斯方程的分离变量
13.2非齐次泛定方程的分离变量
13.2.1本征函数展开法
13.2.2冲量定理法
13.2.3特解法
13.3非齐次边界条件下的分离变量
13.4斯图姆刘维尔（SturmLiouville）本征值问题
13.4.1斯图姆刘维尔型方程
13.4.2斯图姆刘维尔本征值问题的一般提法
13.4.3斯图姆刘维尔本征值问题的一般性质
习题13
第14章正交曲面坐标系中的分离变量法
14.1拉普拉斯算符在球坐标系和柱坐标系中的表达式
14.1.1球坐标系中拉普拉斯算符的表达式
14.1.2柱坐标系中拉普拉斯算符的表达式
14.2球坐标系中的分离变量
14.2.1拉普拉斯方程
的分离变量
14.2.2波动方程
与热传导方程
的分离变量
14.2.3亥姆霍兹方程
的分离变量
14.3柱坐标系中的分离变量
14.3.1拉普拉斯方程
的分离变量
14.3.2亥姆霍兹方程
的分离变量
习题14
第15章格林函数法
15.1泊松方程的格林函数法
15.1.1第一边值问题（狄利克雷问题）
15.1.2第二边值问题
15.1.3第三边值问题
15.2用镜像法和冲量定理法求格林函数
15.2.1用镜像法求格林函数
15.2.2用冲量定理法求格林函数
15.3格林函数的一般求法
习题15
第16章其他方法介绍
16.1保角变换法
16.1.1保角变换及其性质
16.1.2几种常用的保角变换
16.2变分法
16.2.1变分法的概念
16.2.2变分问题与微分方程的求解
习题16
附录
附录A勒让德方程的级数解（9.2.7）和（9.2.8）在x=±1发散
附录BΓ函数（第二类欧拉积分）
附录C诺伊曼函数
附录D傅里叶变换函数表
附录E拉普拉斯变换函数表
附录Fz变换函数表
附录G高斯函数和误差函数
部分习题答案
参考文献
