目   录　　

第一章  行列式 1

第一节  二阶与三阶行列式 1

一、二阶行列式 1

二、三阶行列式 2

习题1-1 4

第二节  n阶行列式 5

一、排列与逆序数 5

二、对换 6

三、n阶行列式的定义 6

习题1-2 9

第三节  n阶行列式的性质 10

一、行列式的性质 10

二、行列式的计算 13

习题1-3 15

第四节  行列式按行(列)展开 17

一、余子式和代数余子式 17

二、行列式按行(列)展开的方法 17

三、行列式的计算 20

习题1-4 23

第五节  克拉默法则 24

习题1-5 27

强化训练一 28

第二章  矩阵 31

第一节  矩阵概述 31

一、引例 31

二、矩阵的概念 33

三、特殊方阵 34

习题2-1 35

第二节  矩阵的运算 36

一、矩阵的线性运算 36

二、矩阵的乘法 37

三、矩阵的转置 40

习题2-2 41

第三节  方阵的特殊运算 42

一、方阵的幂运算 42

二、方阵的多项式运算 43

三、方阵的行列式运算 44

四、伴随矩阵 44

习题2-3 45

第四节  可逆矩阵 45

一、可逆矩阵的概念 46

二、矩阵可逆的条件 46

三、可逆矩阵的性质 48

四、矩阵方程 48

习题2-4 49

第五节  分块矩阵 50

一、分块矩阵的概念 50

二、分块矩阵的运算 53

三、准对角矩阵(分块对角矩阵)的

运算性质 55

习题2-5 56

第六节  矩阵变换 58

一、矩阵的初等变换 58

二、初等矩阵 59

三、初等变换法求逆矩阵 62

四、初等变换法求解矩阵方程 63

习题2-6 64

第七节  矩阵的秩 65

一、矩阵的秩的概念 65

二、矩阵的秩的求法 66

习题2-7 68

强化训练二 69

第三章  线性方程组 72

第一节　线性方程组解的条件 72

一、线性方程组的消元法 72

二、线性方程组的一般形式 74

三、线性方程组有解的条件 74

习题3-1 79

第二节  向量及向量组的线性组合 80

一、n维向量及其线性运算 80

二、向量组的线性组合 82

习题3-2 84

第三节  向量组的线性相关性 85

一、向量组线性相关性的概念 85

二、线性相关性的判定 85

习题3-3 88

第四节  向量组的秩 88

一、向量组间的线性表示 88

二、向量组的极大无关组和秩 89

三、矩阵的秩与向量组秩的关系 90

习题3-4 91

第五节  向量空间 92

一、向量空间与子空间 92

二、向量空间的基与维数 93

三、基变换与坐标变换 94

习题3-5 96

第六节  线性方程解的结构 96

一、齐次线性方程组解的结构 96

二、非齐次线性方程组解的结构 101

习题3-6 103

强化训练三 105

第四章  矩阵的特征值与特征向量 108

第一节  预备知识 108

一、向量的内积与性质 108

二、向量的长度与性质 109

三、向量的夹角 110

四、正交向量组 110

五、施密特正交化方法 111

六、正交矩阵与正交变换 112

习题4-1 114

第二节  矩阵的特征值与特征向量 114

一、特征值与特征向量的定义 115

二、特征值和特征向量的计算 115

三、特征值与特征向量的性质 117

习题4-2 119

第三节  相似矩阵 120

一、相似矩阵的概念 120

二、相似矩阵的性质 120

三、矩阵可对角化的条件 121

习题4-3 125

第四节  实对称矩阵 126

一、实对称矩阵的特征值和

特征向量 126

二、实对称矩阵的对角化 127

习题4-4 129

强化训练四 130

第五章  二次型 133

第一节  二次型及其矩阵表示 133

一、二次型的概念 133

二、矩阵的合同 135

习题5-1 135

第二节  标准形 136

一、配方法 136

二、正交变换法 137

三、初等变换法 139

习题5-2 139

第三节  正定二次型 140

一、惯性定理 140

二、正定的概念 141

三、正定二次型的判定 141

四、其他有定二次型 142

习题5-3 143

强化训练五 143

第六章  线性空间与线性变换 145

第一节  线性空间的定义与性质 145

一、线性空间的概念 145

二、线性空间的性质 146

三、线性空间的子空间 146

习题6-1 147

第二节  维数、基与坐标 147

习题6-2 149

第三节  基变换与坐标变换 149

一、基变换 149

二、坐标变换 150

习题6-3 152

第四节  线性变换 152

一、线性变换的定义 152

二、线性变换的性质 153

三、线性变换的运算 153

习题6-4 155

第五节  线性变换的矩阵 155

一、线性变换与基的关系 155

二、线性变换的矩阵 156

三、同一个线性变换在不同基下的

矩阵的关系 157

习题6-5 158

强化训练六 158

附录A  线性代数的基础应用 160

一、应用行列式解决空间几何

问题 160

二、行列式在平面几何中的应用 162

三、行列式在解析几何中的应用 165

四、应用行列式分解因式 166

五、应用行列式解决代数不等式

问题 167

六、应用行列式求解方程 168

七、应用行列式分母有理化 169

八、成本核算问题 170

九、飞机航班问题 171

十、婚姻状况计算的简单模型 172

十一、人口流动问题 172

十二、应用矩阵编制Hill密码 173

十三、人口迁移模型 174

十四、交通流 175

十五、配平化学方程式 176

十六、营养食谱 177

参考文献 179