目 录
第一部分 数学建模的简介
1 导论…………………………………………………………………………………… (2)
1. 1 科学中的模型和理论 ………………………………………………………… (2)
1. 2 认知中的定量建模 …………………………………………………………… (5)
1. 2. 1 模型和数据 ……………………………………………………………… (5)
1. 2. 2 数据描述 ………………………………………………………………… (7)
1. 2. 3 认知过程模型…………………………………………………………… (10)
1. 3 潜在的问题: 范围和可证伪性 ……………………………………………… (14)
1. 4 建模作为一种对科学家的认知辅助 ………………………………………… (16)
1. 5 实例 …………………………………………………………………………… (17)
2 从文字描述到数学模型: 建立工具集 …………………………………………… (19)
2. 1 快速选择任务中的反应时间 ………………………………………………… (19)
2. 2 展开模拟 ……………………………………………………………………… (21)
2. 2. 1 初步了解: R 和 RStudio ………………………………………………… (21)
2. 2. 2 随机游走模型…………………………………………………………… (21)
2. 2. 3 直觉与计算: 探索随机游走的预测 ……………………………………… (25)
2. 2. 4 随机游走模型中的试次间的变异性 ……………………………………… (26)
2. 2. 5 顺序采样模型家族 ……………………………………………………… (30)
2. 3 基础工具包 …………………………………………………………………… (31)
2. 3. 1 参数 …………………………………………………………………… (31)
2. 3. 2 连接模型和数据………………………………………………………… (32)
2. 4 实例 …………………………………………………………………………… (33)
第二部分 参数估计
3 基本参数估计技术 ………………………………………………………………… (38)
3. 1 差异函数 ……………………………………………………………………… (38)
3. 1. 1 均方根误差 …………………………………………………………… (39)
3. 1. 2 卡方检验法 (χ2 ) ……………………………………………………… (40)
3. 2 模型与数据的拟合: 参数估计技术 ………………………………………… (40)
3. 3 在线性回归模型背景下介绍最小二乘法 …………………………………… (41)
3. 3. 1 建模的可视化…………………………………………………………… (41)
3. 3. 2 回归参数估计…………………………………………………………… (43)
3. 4 黑箱内部: 参数估计技术 …………………………………………………… (46)
3. 4. 1 单纯形法 ……………………………………………………………… (46)
3. 4. 2 模拟退火法 …………………………………………………………… (49)
3. 4. 3 参数估计技术的相对优点 ……………………………………………… (52)
3. 5 参数估计的变异性 (variability) …………………………………………… (53)
3. 6 实例 …………………………………………………………………………… (57)
4 最大似然参数估计 ………………………………………………………………… (59)
4. 1 概率基础 ……………………………………………………………………… (59)
4. 1. 1 概率的定义 …………………………………………………………… (59)
4. 1. 2 概率的特性 …………………………………………………………… (60)
4. 1. 3 概率函数 ……………………………………………………………… (61)
4. 2 什么是似然 (likelihood) …………………………………………………… (65)
4. 3 定义概率分布 ………………………………………………………………… (69)
4. 3. 1 由心理模型所指定的概率函数…………………………………………… (70)
4. 3. 2 基于数据模型的概率函数 ……………………………………………… (70)
4. 3. 3 概率函数的两种类型 …………………………………………………… (74)
4. 3. 4 扩展数据模型…………………………………………………………… (75)
4. 3. 5 扩展到多个数据点和多个参数…………………………………………… (76)
4. 4 寻找最大似然 ………………………………………………………………… (77)
4. 5 最大似然估计量的性质 ……………………………………………………… (83)
4. 6 实例 …………………………………………………………………………… (85)
5 结合来自多个被试的信息 ………………………………………………………… (87)
5. 1 如何结合来自多个单元的数据很重要 ……………………………………… (87)
5. 2 平均值的含义 ………………………………………………………………… (88)
5. 3 拟合汇总数据 ………………………………………………………………… (90)
5. 4 拟合个体被试 ………………………………………………………………… (92)
5. 5 拟合子组中的数据以及个体差异 …………………………………………… (93)
5. 5. 1 混合模型 ……………………………………………………………… (93)
5. 5. 2 k 均值聚类……………………………………………………………… (98)
5. 5. 3 对个体差异建模 ……………………………………………………… (100)
5. 6 实例 ………………………………………………………………………… (102)
对多个被试使用多种方法 ……………………………………………………… (102)
6 贝叶斯参数估计Ⅰ………………………………………………………………… (105)
6. 1 什么是贝叶斯推理 ………………………………………………………… (105)
6. 1. 1 从条件概率到贝叶斯定理 ……………………………………………… (105)
6. 1. 2 边际概率 (Marginalizing Probabilities) ……………………………… (107)
6. 2 计算后验的解析方法 ……………………………………………………… (108)
6. 2. 1 似然函数 ……………………………………………………………… (108)
6. 2. 2 先验分布 ……………………………………………………………… (109)
6. 2. 3 证据或边际似然 ……………………………………………………… (111)
6. 2. 4 后验分布 ……………………………………………………………… (112)
6. 2. 5 估计硬币的偏差 ……………………………………………………… (113)
6. 2. 6 总结…………………………………………………………………… (115)
6. 3 确定参数的先验分布 ……………………………………………………… (115)
6. 3. 1 无信息先验分布 ……………………………………………………… (116)
6. 3. 2 参考先验 ……………………………………………………………… (118)
6. 4 实例 ………………………………………………………………………… (119)
7 贝叶斯参数估计Ⅱ………………………………………………………………… (121)
7. 1 马尔可夫链蒙特卡洛法 (Markov Chain Monte Carlo Methods) ………… (122)
7. 1. 1 MCMC 的 Metropolis-Hastings 算法 ……………………………………… (122)
7. 1. 2 多参数估计 …………………………………………………………… (128)
7. 2 与 MCMC 采样相关的问题 ………………………………………………… (134)
7. 2. 1 MCMC 链的收敛 ……………………………………………………… (134)
7. 2. 2 MCMC 链中的自相关…………………………………………………… (135)
7. 2. 3 展望…………………………………………………………………… (136)
7. 3 近似贝叶斯计算: 无似然法 ……………………………………………… (136)
7. 3. 1 无法计算的似然度 …………………………………………………… (136)
7. 3. 2 从模拟到后验估计 …………………………………………………… (137)
7. 3. 3 范例: 近似贝叶斯计算的实际运用 …………………………………… (139)
7. 4 实例 ………………………………………………………………………… (142)
MCMC: 一个找到结果的聪明办法……………………………………………… (142)
8 贝叶斯参数估计———JAGS 语言 ………………………………………………… (144)
8. 1 吉布斯采样 ………………………………………………………………… (144)
8. 1. 1 吉布斯采样的双变量示例 ……………………………………………… (144)
8. 1. 2 吉布斯采样 vs. Metropolis-Hastings 采样 ………………………………… (147)
8. 1. 3 多元空间的吉布斯采样………………………………………………… (148)
8. 2 JAGS: 简介 ………………………………………………………………… (148)
8. 2. 1 安装 JAGS …………………………………………………………… (148)
8. 2. 2 JAGS 图 ……………………………………………………………… (148)
8. 3 JAGS: 重新探究一些已知模型并突破边界 ……………………………… (152)
8. 3. 1 信号检测理论的贝叶斯建模 …………………………………………… (152)
8. 3. 2 多项式树模型的贝叶斯方法: 高阈值模型 ……………………………… (157)
8. 3. 3 多项树模型的贝叶斯方法 ……………………………………………… (161)
8. 3. 4 总结…………………………………………………………………… (167)
8. 4 实例 ………………………………………………………………………… (167)
9 多层级建模或分层建模 (Multilevel or Hierarchical Modeling ) ……………… (171)
9. 1 分层建模的概念化 ………………………………………………………… (171)
9. 2 贝叶斯分层建模 (Bayesian Hierarchical Modeling) …………………… (172)
9. 2. 1 图模型 (Graphical Models ) …………………………………………… (172)
9. 2. 2 信号检测任务结果表现的分层建模 …………………………………… (174)
9. 2. 3 遗忘的分层建模 ……………………………………………………… (178)
9. 2. 4 跨期偏好的分层建模…………………………………………………… (184)
9. 2. 5 当前主观价值 (Present Subjective Value, PSV) 的计算 ………………… (185)
9. 2. 6 当前主观价值 (PSV) 的选择 ………………………………………… (185)
9. 2. 7 实例化模型 …………………………………………………………… (185)
9. 2. 8 模型输出 ……………………………………………………………… (190)
9. 2. 9 总结…………………………………………………………………… (191)
9. 3 分层最大似然建模 ………………………………………………………… (192)
9. 3. 1 信号检测任务的分层最大似然建模 …………………………………… (192)
9. 3. 2 回归项中的信号检测…………………………………………………… (193)
9. 3. 3 R 语言中的分层概率回归 ……………………………………………… (194)
9. 3. 4 信号检测中最大似然与贝叶斯分层模型对信号检测的对比 ……………… (197)
9. 4 一些建议 …………………………………………………………………… (197)
9. 5 实例 ………………………………………………………………………… (198)
第三部分 模型比较
10 模型比较 ………………………………………………………………………… (202)
10. 1 心理学数据和糟糕的完美拟合 ………………………………………… (202)
模型复杂度与过拟合 ……………………………………………………… (204)
10. 2 模型比较 ………………………………………………………………… (208)
10. 3 似然比检验 ……………………………………………………………… (208)
10. 4 赤池信息量准则 (Akaike??s Information Criterion) …………………… (215)
10. 5 计算复杂度和比较模型的其他方法 …………………………………… (219)
10. 5. 1 交叉验证 (Cross-Validation) ……………………………………… (220)
10. 5. 2 最小描述长度 (Minimum Description Length) ……………………… (220)
10. 5. 3 归一化最大似然 (Normalized Maximum Likelihood) ………………… (221)
10. 6 参数可识别性和模型可测试性 ………………………………………… (221)
10. 6. 1 可识别性 ………………………………………………………… (222)
10. 6. 2 可测试性 ………………………………………………………… (225)
10. 7 总结 ……………………………………………………………………… (226)
10. 8 实例 ……………………………………………………………………… (227)
11 使用贝叶斯因子的贝叶斯模型比较 …………………………………………… (229)
11. 1 边缘似然与贝叶斯因子 ………………………………………………… (229)
11. 2 计算边缘似然的方法 …………………………………………………… (233)
11. 2. 1 数值积分 ………………………………………………………… (233)
11. 2. 2 简单蒙特卡罗积分与重要性采样 …………………………………… (235)
11. 2. 3 Savage-Dickey 比 …………………………………………………… (239)
11. 2. 4 跨维马尔可夫链蒙特卡罗方法……………………………………… (241)
11. 2. 5 拉普拉斯估计……………………………………………………… (248)
11. 2. 6 贝叶斯信息量准则 ………………………………………………… (250)
11. 3 分层模型的贝叶斯因子 ………………………………………………… (253)
11. 4 先验的重要性 …………………………………………………………… (255)
11. 5 结论 ……………………………………………………………………… (258)
11. 6 实例 ……………………………………………………………………… (258)
12 模型在心理学中的使用 ………………………………………………………… (261)
12. 1 建模步骤概述 …………………………………………………………… (261)
12. 2 从模型中得出结论 ……………………………………………………… (262)
12. 2. 1 模型探索 ………………………………………………………… (262)
12. 2. 2 分析模型 ………………………………………………………… (263)
12. 2. 3 从参数估计中学习 ………………………………………………… (265)
12. 2. 4 模型的充分性……………………………………………………… (265)
12. 2. 5 模型的必要性……………………………………………………… (267)
12. 2. 6 似真性/逼真度对比真理 …………………………………………… (271)
12. 3 模型作为交流和达成共同理解共识的工具 …………………………… (272)
12. 4 增强理解和重复性的良好做法 ………………………………………… (274)
12. 4. 1 尽可能使用纯文本 ………………………………………………… (274)
12. 4. 2 使用合理的变量和函数名 ………………………………………… (274)
12. 4. 3 使用调试器………………………………………………………… (275)
12. 4. 4 注释 ……………………………………………………………… (275)
12. 4. 5 版本控制 ………………………………………………………… (276)
12. 4. 6 共享代码和可重复性 ……………………………………………… (276)
12. 4. 7 Notebooks 和其他工具 ……………………………………………… (277)
12. 4. 8 提高可重复性和运行性 …………………………………………… (278)
12. 5 总结 ……………………………………………………………………… (279)
12. 6 实例 ……………………………………………………………………… (279)
13 神经网络模型 …………………………………………………………………… (281)
13. 1 赫布模型 (Hebbian Model) …………………………………………… (281)
13. 1. 1 赫布联想器 (The Hebbian Associator) …………………………… (281)
13. 1. 2 赫布模型作为矩阵代数 …………………………………………… (285)
13. 1. 3 使用矩阵代数描述网络 …………………………………………… (293)
13. 1. 4 自动关联器 (The Auto-Associator) ………………………………… (294)
13. 1. 5 赫布模型的局限性 ………………………………………………… (300)
13. 2 反向传播 (Backpropagation) …………………………………………… (301)
13. 2. 1 学习以及误差驱动的反向传播……………………………………… (304)
13. 2. 2 心理学中反向传播的应用与批判 …………………………………… (308)
13. 3 对于神经网络的最后评论 ……………………………………………… (308)
13. 4 实例 ………………………………………………………………………… (309)
14 选择反应时的模型 ……………………………………………………………… (312)
14. 1 Ratcliff 提出的扩散模型 ………………………………………………… (313)
14. 1. 1 扩散模型的拟合 …………………………………………………… (314)
14. 1. 2 解释扩散模型……………………………………………………… (325)
14. 1. 3 扩散模型的可证伪性 ……………………………………………… (326)
14. 2 弹道累加器模型 (LBA 模型) ………………………………………… (327)
14. 2. 1 线性弹道累加器 …………………………………………………… (328)
14. 2. 2 LBA 的拟合………………………………………………………… (329)
14. 3 总结 ……………………………………………………………………… (332)
14. 4 当前问题和展望 ………………………………………………………… (333)
14. 5 实例 ……………………………………………………………………… (333)
15 神经科学中的模型 ……………………………………………………………… (336)
15. 1 关联神经和行为数据的方法 …………………………………………… (337)
15. 2 强化学习模型 …………………………………………………………… (338)
15. 2. 1 强化学习的理论 …………………………………………………… (338)
15. 2. 2 强化学习的神经科学 ……………………………………………… (344)
15. 3 决策的神经关联 ………………………………………………………… (349)
15. 3. 1 眼跳决策的阈值模型 ……………………………………………… (349)
15. 3. 2 模型参数和 BOLD 信号的联系……………………………………… (350)
15. 3. 3 反应时变异性的解释 ……………………………………………… (352)
15. 3. 4 使用脉冲序列作为模型输入………………………………………… (353)
15. 3. 5 联合拟合行为和神经数据 ………………………………………… (354)
15. 4 结论 ……………………………………………………………………… (357)
15. 5 实例 ……………………………………………………………………… (357)
原著参考文献 ………………………………………………………………………… (360)
