目 录
第 1 章 绪论 1
1.1 引言 1
1.1.1 线性与非线性 1
1.1.2 线性代数的研究内容 2
1.1.3 线性代数的学习建议 3
1.2 向量和向量空间 3
1.2.1 向量的概念 3
1.2.2 向量的线性运算 5
1.2.3 向量的转置、内积及度量性质 8
1.2.4 向量空间中的线性变换 10
1.3 线性方程组 15
1.3.1 线性方程组的定义 15
1.3.2 线性方程组的解 15
1.3.3 消元法 16
习题 1 18
第 2 章 行列式与线性方程组 19
2.1 行列式的定义 19
2.1.1 二阶与三阶行列式 19
2.1.2 排列及其逆序数 23
2.1.3 n 阶行列式 24
2.1.4 行列式的几何意义 26
2.2 行列式的性质 29
2.3 行列式按行 (列) 展开 37
2.4 利用行列式解线性方程组：克拉默法则 44
习题 2 48
第 3 章 矩阵与线性方程组 52
3.1 矩阵 52
3.1.1 矩阵的定义 52
3.1.2 矩阵与线性变换 57
3.2 矩阵的运算 59
3.2.1 矩阵的线性运算 59
3.2.2 矩阵的乘法 60
3.2.3 矩阵的转置 68
3.3 方阵的行列式 70
3.4 逆矩阵 72
3.4.1 逆矩阵的概念 72
3.4.2 矩阵可逆的条件 73
3.4.3 逆矩阵的性质 76
3.4.4 方阵的多项式 77
3.4.5 利用逆矩阵解线性方程组 81
3.5 分块矩阵. 83
3.5.1 分块矩阵的定义. 83
3.5.2 分块矩阵的运算. 84
3.6 矩阵的初等变换 90
3.6.1 初等变换 90
3.6.2 矩阵等价 92
3.6.3 利用初等变换解线性方程组 93
3.6.4 利用初等变换求逆矩阵 99
3.6.5 利用初等变换求矩阵方程 100
3.7 矩阵的秩 101
3.7.1 矩阵的秩的定义 102
3.7.2 用初等变换求矩阵的秩 104
3.7.3 矩阵的秩的性质 106
3.8 线性方程组的解 108
3.8.1 线性方程组的表示形式 108
3.8.2 线性方程组解的含义 109
3.8.3 线性方程组解的判定 110
习题 3 118
第 4 章 向量组与线性方程组 126
4.1 向量组的线性相关性 127
4.1.1 向量组 127
4.1.2 向量组的线性组合 128
4.1.3 线性相关与线性无关 140
4.2 向量组的秩 150
4.2.1 最大线性无关组 151
4.2.2 矩阵的秩与向量组的秩 153
4.3 向量空间 156
4.3.1 向量空间的基 156
4.3.2 标准正交基 158
4.3.3 施密特正交化方法 159
4.3.4 基变换与坐标变换 163
4.4 线性方程组的解的结构 166
4.4.1 齐次线性方程组解的结构 167
4.4.2 非齐次线性方程组解的结构 173
习题 4 176
第 5 章 相似矩阵及二次型 180
5.1 方阵的特征值与特征向量 180
5.1.1 特征值和特征向量的概念 181
5.1.2 特征值和特征向量的求法 183
5.1.3 特征值和特征向量的性质 186
5.2 相似矩阵 191
5.2.1 相似矩阵的概念与性质 192
5.2.2 矩阵可相似对角化的条件 194
5.3 对称矩阵的相似对角化 201
5.3.1 对称矩阵特征值的性质 201
5.3.2 对称矩阵对角化的方法 203
5.4 二次型及其标准形 207
5.4.1 二次型及其矩阵表示 207
5.4.2 二次型与二次函数 211
5.5 化二次型为标准形 213
5.5.1 正交变换法 213
5.5.2 配方法 220
5.6 正定二次型 222
习题 5 226
第 6 章 数学实验及 Python 实现 229
6.1 利用 Python 进行矩阵运算 230
6.1.1 向量、矩阵的 Python 表示 230
6.1.2 常见矩阵运算的 Python 求解 236
6.1.3 利用 Python 求矩阵的行最简形矩阵 241
6.2 利用 Python 求解线性方程组 242
6.3 利用 Python 求解相似矩阵、二次型问题 248
6.3.1 利用 Python 将向量组正交化、单位化 248
6.3.2 利用 Python 求方阵的特征值、特征向量 249
6.3.3 利用 Python 将方阵相似对角化 252
6.3.4 利用 Python 将二次型标准化 253
参考文献 256
