线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的学生的一门重要的基础理论课程，作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还在提高人才的全面素质中起着重要的作用．它在培育理性思维和审美功能方面的作用也应得到充分的重视．研究型学习重在思想方法的培养，理性思维能力是当前学生较为薄弱的方面，代数学中较为抽象的数学结构和形式推理为培养学生的抽象思维能力、符号运算能力、空间想象能力和逻辑推理能力等有着其他课程难以替代的重要作用．同时也为学生了解现代数学的思维方式提供了一个窗口．通过本书的学习，希望在以下三个方面能发挥其应有的作用： 能够全面系统地掌握线性代数与几何的基本知识； 能够深刻领会处理代数问题的思想方法； 能够培养和提高抽象思维能力、逻辑推理能力、计算能力．为了实现这些目的，不仅要突出重点，抓住关键，解决好难点，而且要善于透过知识的表面，深入揭示代数的本质思想方法．本书涵盖了线性代数和解析几何、射影几何等基础内容．在内容安排上，注重突出科学性，简单扼要，循序渐进，不过分强调技巧的训练．代数学与分析、几何学共同构建了近代数学的核心，更是当今数学中最富有活力的学科之一．线性代数是代数学的基础，它在理科、工科，甚至在经济和社会科学各个领域都有广泛的应用．特别是由于信息科学与技术的快速发展，离散数学的基础训练在各专业学生的数学能力和科学素质的培养中的地位日益突出．解析几何是几何中极其基础的部分，一方面可用代数对其进行理论归纳，同时又是代数理论发展的重要背景．代数与几何相互渗透，代数为研究几何问题提供了有效的方法，几何为抽象的代数结构和方法提供了形象的几何模型和背景，这样就使学习者更好地领略到抽象的作用及其美．本教材加强了几何内容，如在上册中增加了仿射坐标系的内容，在下册中增加了射影几何这个初等模型，目的是加深读者对“形”的认识，有利于培养读者的形象思维及理性思维的习惯． 

    本书的核心内容包括矩阵理论以及线性空间理论．这些概念和理论不仅为各个专业领域提出相关问题时提供了准确的数学表达语言，而且也为解决问题提供了有力的工具．本书分上、下两册出版，对应于两个学期的教学内容．上册共有7章．第1章在中学的二、三阶行列式的基础上引入n阶行列式的概念，并通过例子介绍利用行列式的性质计算行列式的基本方法．矩阵在线性代数中的地位很特殊，一方面矩阵本身有许多理论问题可以研究； 另一方面它又是研究其他对象的一种重要的工具．更为重要的是，矩阵论在许多工科领域应用很广泛．而且，许多线性代数问题都可以化成矩阵问题来研究解决．这充分说明了矩阵学习的重要性．在第2章介绍矩阵的代数运算、矩阵的初等变换和相抵标准形，以及矩阵分块的技巧，为以后进一步学习线性代数打好基础．第3章介绍几何空间中的向量代数，引入仿射坐标系和直角坐标系，运用代数工具讨论有关平面和直线等几何问题．第4章引入n维向量的概念，重点讨论了向量组的线性相关和线性无关的概念和性质，这不仅是学习线性空间理论的基础，而且是训练学生抽象思维能力和逻辑推理能力的关键部分．这一章还引入了矩阵的秩这个重要的参数．线性方程组是线性代数的一个极其重要的内容．通过线性方程组的研究，不仅可以得到很有用的结论，而且能体现代数研究问题、解决问题的思想方法．有关线性方程组理论的研究及应用始终贯穿课程的始末，在这里，通过解空间结构的研究以及它和矩阵的秩之间的关系，给出了有关线性方程组解的结构的完整理论．线性空间与线性变换是线性代数的核心内容．由于线性空间内容比较抽象，本书采用从特殊到一般、从具体到抽象，循序渐进的方法．从第3章的三维几何空间，到第4章的n维向量空间，最后在第5章引入抽象的线性空间概念，着重研究了线性子空间的性质．并在实数域的线性空间上引入度量概念，建立了欧几里得空间．为了进一步深刻揭示线性空间的向量之间的内在联系，在第6章重点研究线性变换的性质及其与矩阵之间的联系．线性代数中，各种类型的变换随处可见，线性变换是其中最重要的一种变换．在线性变换的研究和讨论中，几何的思想和矩阵理论的运用都得到了充分的体现，最能体现线性代数研究问题和解决问题的思想方法．这一章还讨论了科学技术中非常有用的特征值问题并由此引入矩阵相似的概念．几何与代数的联系，除了在三维空间平面和直线的研究之外，更深入的就是二次型一般理论的研究对于二次曲面分类的应用．第7章介绍二次齐次函数即二次型的化简和实二次型的正定性，由于三元二次齐次函数的几何背景是二次曲面，通过主轴化方法将一般二次曲面方程化为直角坐标系下的标准方程，从而对二次曲面实现分类．下册共有5章，分别讨论一元多项式的理论，矩阵的相似标准形，酉空间，矩阵分析和射影几何等．

    本书是在清华大学出版的《线性代数与解析几何》、《理工科代数基础》两书的基础上，总结了清华大学近十年教学实践，经过对课程进行整合，改编而成．由林润亮编写第1，2章，鲁自群编写第3，4章，俞正光编写第5，6，7章．本书编写得到清华大学数学科学系李津教授，张贺春教授，朱彬教授，邢文训教授和李铁成教授等的支持和帮助，清华大学出版社的刘颖博士为本书出版做了大量细致的工作，在此一并表示感谢．

    由于水平有限，不妥之处实属难免，敬请读者批评指正．

    本书可供理、工、经济管理各专业学生作为学习线性代数的教科书或教学参考书．也可供科技人员和自学者参考．

作者

2008年6月