本书是非线性偏微分方程（或称非线性数学物理方程）理论的入门书.可供应用数学、应用物理以及非线性科学相关方向的研究生作为教科书和参考书，也可供从事非线性科学研究的科研人员和教师作为参考用书.非线性偏微分方程研究的热潮兴起于20世纪60年代，至今只有三四十年的发展时间，相应于数学的其他分支，可谓是非常年轻的学科.虽然国内外已经有一批很好的著作出版，但其中有些起点偏高，初学者不容易看懂.同时又因为非线性偏微分方程的研究属于交叉学科，物理学家、数学家和工程学科的科学家们都在研究和关注这个问题，但他们关注问题的角度不同，使得有些著作专业倾向性很强，非本专业的人理解起来有难度.这种现状使初学非线性偏微分方程理论的入门者感到很困难，往往为了某一个基本概念而多次跑图书馆查找许多资料.为此我将自己在学习和教学中所积累的资料系统地整理出来,与大家分享,以利于更多的初学者少走弯路,更早地步入非线性偏微分方程的殿堂.本书在编写的过程中，力争做到概念清楚、推导严谨、说理透彻、逻辑性强.本书的目标是使具有大学数学、大学物理基础的人可以读懂.在附录中尽可能简明地介绍一些辅助学习的知识，以帮助读者更好地理解正文的内容.

    本书的研究对象是非线性偏微分方程，由于这些偏微分方程来源于物理和其他应用学科，具有鲜明的物理意义，因此又称为非线性数学物理方程.大家知道，数学物理方程就是物理学中的数学方程,包括代数方程、函数方程、常微分方程、偏微分方程、积分方程、微分积分方程、差分方程，等等.通常在大学里开设的数学物理方程（或称数学物理方法）研究线性偏微分方程及其解法，本书的重点是研究有物理背景的非线性偏微分方程的理论.

    含有时空变量的非线性偏微分方程的数学形式通常可以表示为P(t,x,u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0, 其中u=u(x,t)是系统的目标物理量，即未知函数；x表示空间坐标，有时可能是二维 (x, y) 、三维（x, y, z）甚至是多维 (x1,x2,…,xn)的；t是时间坐标（有时在建立数学模型时，经过了坐标变换，因此可能是广义的时间坐标）.ux,ut,uxx,utt分别表示对坐标x和t的一阶和二阶偏导数.所谓非线性偏微分方程，是指在偏微分方程中含有未知函数和（或）未知函数导数的高次项，而不能写成如下线性形式（以两个自变量的二阶线性微分方程为例）A(x,y)uxx+2B(x,y)uxy+C(x,y)uyy+D(x,y)ux+E(x,y)uy+F(x,y)u=f(x,y)的偏微分方程.目前引入的有物理意义的非线性偏微分方程有几百种，典型且具有代表性的有KdV方程ut+uux-μuxxx=0,  (0.1) Sine-Gordon方程uxx-utt=sinu,  (0.2) 非线性Schrdinger方程iut+uxx+βu|u|2=0, (0.3) 等等.这些方程的形式虽然简单，但是本质却与线性微分方程有很大的不同，比如，对于线性方程而言，解的唯一性、单值性、有界性和解的叠加原理等性质，对非线性方程均可能不复存在.因此，非线性方程不存在普适性的理论和求解方法.但有许多非线性偏微分方程都具有一类很有意义的解--孤立波解.

    非线性偏微分方程引论前言非线性偏微分方程本身的物理背景和孤立波解的特殊性质使非线性偏微分方程的求解和孤立波理论作为非线性科学的一个分支，成为当前科学发展的前沿和热点问题.

    一个系统，如果输出与输入不成正比，则它就是非线性的.例如弹簧的受力伸长（产生位移），当位移较小时，力与位移成正比，力与位移的关系为线性关系，即Hooke定律F＝kx，当位移很大时，Hooke定律失效，弹簧变为非线性振子；又如单摆，仅当其角位移很小时，其行为才是线性的；而一个介电晶体，当其输入光强不再与输出光强成正比时，就成为非线性介电晶体.实际上，自然科学或社会科学几乎所有的已知系统，当输入足够大时，都是非线性的.因此，非线性系统远比线性系统多得多.可以说，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似.描述这些非线性系统行为的方程就可能是非线性偏微分方程.认识、研究并且利用非线性现象是科学发展的必然.同时，随着计算机的发展，使许多过去人工不可能做到的一些问题得以解决，因此，从某种意义上说，非线性科学也是伴随着计算机科学的发展而发展起来的.

    本书主要研究非线性偏微分方程的解法、孤立子理论及其应用.

    数学上把具有下列性质的非线性偏微分方程的解称为孤立波解：

    (1)  向单方向传播的行波，即形式为φ(x-at)或ψ(x+at)的解；

    (2)  分布在空间的一个小区域内，即limx→±∞u→0（有时是lim x→±∞ux→0及lim x→±∞uxx→0等）; 

    (3)  波动形状不随时间演变而发生变化；

    (4)  孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞（一般又将具有这一性质的孤立波叫孤立子）.

    常见的孤立波有以下四种： (1）钟型（图0.1(a)) ,  (2）反钟型（图0.1(b)) ,  (3）扭结型（kink) （图0.1(c)）和（4）反扭结型（ante-kink) （图0.1(d)) .

    图0.1 孤立波的四种类型

    用数学方法研究实际问题的基本步骤是： 首先将实际问题简化，形成物理模型；然后将物理模型定量化，即建立数学模型--非线性偏微分方程；再后便是求解这个偏微分方程，找出满足偏微分方程，有时还需满足某些特定条件的解；最后是对所得结果进行分析，用来解释自然现象或指导实践，即解决实际问题.

    从物理模型到数学模型大致要经过以下步骤：  (1）建立空间和时间坐标系，不同的问题选用不同的坐标系； (2）选择表征所研究物理过程的一个或几个物理量及其坐标，这是非常重要的一步，有时表征物理量的选择就是建立一门新学科的起点； (3）找出（包括假设、猜想和运用已有的知识）有关物理过程所遵循的定律，即物理公理或定理，这是问题的难点，在大学数学物理方程（法）中建立数学模型时，只是涉及了一些简单的物理过程，通过它们来讲述将物理模型进行定量化处理的一般方法.对于复杂的物理过程，只是写出数学模型，不加推导.在本书中，我们将更加注重物理模型到数学模型的推导，因为研究数学物理问题，不能抛开物理图像去单纯考虑数学问题，物理图像和几何图像常常扮演简单明了而又能深刻认识数学问题的钥匙的角色.

    一旦将物理模型建成数学模型后，就是寻求合适的方法来求解这个非线性偏微分方程，这是本书研究的重点.随着科学的不断发展，非线性偏微分方程的求解受到越来越多的重视，从天文学、物理学、力学、地球科学到生命科学和各类工程技术科学领域都出现大量的非线性偏微分方程.尤其是在物理学的各个分支领域，如流体力学、非线性光学、等离子体理论和量子场论中遇到的非线性偏微分方程，有很多都有孤立波形式的解.19世纪30年代英国科学家J. S. Russel最先注意到水波中的非线性现象.20世纪60年代以来，非线性科学得到了飞速发展，在非线性偏微分方程的求解方面也取得了许多成果.本书将较详细地讨论其中一些重要和典型的方法.由于非线性数学物理方程本身的复杂性，其求解没有普适的方法，各种方法的基本思想都是通过变换或分解，将复杂的方程简化.而这种变换和分解的形式也是多种多样的，有时还需要从数学上和物理上加以猜想和试探.这种猜想和试探本身也许并不具有普遍意义，但这种猜想和试探的思想却具有普遍意义，在这里数学技巧和物理直观将尽可能得到完美体现.

    在这里向我所有引用资料的作者致谢和致敬，其中包括许多国外的作者.书中也包括我和我的研究生的一些工作，同时向我的历届研究生同学们表示谢意.本书是在笔者为北京邮电大学研究生开设的“应用偏微分方程”课程讲义的基础上整理完成的.感谢4轮教学过程中选学过该课程的所有同学们，是他们的热情和求知欲激励我在这个领域不断探索，努力实践；是他们不断地思考和颇有见地的问题，使本书的内容更加深刻和完善.特别要感谢第一次选学这门课的一些同学：王鑫、徐淑奖、叶鹏、李华英和李娟等，是他们将讲义的原稿输入电脑.笔者衷心感谢清华大学出版社的支持与帮助.

    非线性偏微分方程作为学科，发展的时间不长，但涉及的内容非常广泛，由于作者水平有限，不足乃至错误在所难免，再次恳请各位师友和读者赐教.

郭玉翠

2007年9月