前言

    本书自2006年出版以来已连续印刷了4次.同时收到不少的意见和建议.

    最近在北京、南京、广州等地召开的有关普通高等院校微积分教学的研讨会上，也围绕这本教材进行了讨论.在此基础上,我们对第一版进行了修订.

    在本书第一版的“前言”中,我们提到了有关本书内容安排的原则.在教学中如何具体地体现这些原则,当然有赖于使用本教材的广大师生的创造.乘本书修订之机,这里再多说几句.

    微积分这门课程,是一般大专院校绝大多数学生的必修课.对其中一部分学生来说,也许是他们大学阶段惟一的一门数学课.而在当今时代,数学修养已经是衡量一个人潜在能力的重要标志.因此我们的重点应该是在这门课的教学中,力求使学者通过清晰的直觉和必要的推理,比较全面地、形象地理解这门课的基本内容,而不只是孤立地、表面地、形式地背诵一些结论.

    本书的对象是普通高等院校的学生.在现行的教育体制下,他们的入学分数一般是中等,入学后数学课的学时偏少.因而需要把数学教学的内容作适当的精简.但在精简中必须注意不能削弱对学生“清晰的直觉和必要的推理”这方面的训练;也不能把理应启发、引导学生思维的教材变成只剩下一堆彼此不相干的定理、公式和“题型”的堆砌.

    为了落实这种理念,在本版中,我们进一步强调了基本内容之间的联系，即弄清新知识和原有知识之间的逻辑关系以及新知识彼此间的联系.前者如初等数学和微积分之间的异同(不同之处在于有理数中的有限运算和实数中的无穷运算,而其中很多运算规则又是相同的),一元微积分和二元微积分之间的异同;后者如可导与可微,导数与积分(都是利用无穷小化不均匀为均匀,但一个是无穷小之商,另一个是无穷小的无穷和),以及各种积分(一维定积分,二维曲线积分,二重积分等)的牛顿莱布尼茨公式等.此外,本书还尽可能从多种角度来阐明一些基本概念和方法,例如求定积分时不同微元的选取,求多元函数极值中必要条件的引出等.希望这些安排能有助于学者对微积分的全面理解.

    清晰的直觉除了有助于得到真正的知识以外,也是记住这些知识的重要方法.微积分是一门以极限为主要工具,以函数的各种性质为主要研究对象的基础课.应该尽可能使学者学完后,在头脑中留下一些比较鲜明的形象.所以本书增加了一些曲线和曲面的图形,把一些通过推理所得的函数的重要性质体现于典型的图像之中(诸如曲线的升降、对称、凹凸、弯曲、连续、光滑、微分和积分中值公式等).对一些一般书中往往只给出定义的梯度、散度和旋度这些重要的概念,本书也说明了它们的几何与物理意义.

    为了便于读者自学,在本版中,还增加了一批比较简明的例题和习题.在内容方面,增加了一节“广义积分”.

    对于对本书提出意见的读者,编者在此表示诚挚的谢意,并希望更多的读者对本书提出批评和建议.