引言　高等代数的内容和学习方法

客观世界丰富多彩。几何学研究客观世界的空间形式，代数学通过运算来研究客观世界的数量关系，分析学用变化的观点研究客观世界中数量之间的确定性依赖关系，概率统计则研究客观世界中的不确定现象（即随机现象）。

用字母表示数，使得客观世界中的未知量可以用字母来表示，然后找出数量之间的等量关系，列成方程；利用运算律和等量公理解方程，便可求出未知量的值。于是解方程成为古典代数学研究的中心问题。

n个未知量的一次方程组称为n元线性方程组。研究n元线性方程组的统一解法，便自然而然地引出了矩阵的概念：由sm个数排成的s行、m列的一张表称为一个s×m矩阵。矩阵成为用消去法解线性方程组的非常便利的工具。

研究线性方程组何时有解，有多少解以及解集的结构，促使人们在n元有序数组的集合中规定加法与数量乘法两种运算，连同运算律形成一个代数系统，称为n维向量空间。借用几何的语言，并且从几何空间受到启发来研究n维向量空间的结构，从而彻底解决了线性方程组的解的情况的判定和解集的结构问题。这一成功的范例促使人们进一步抽象出线性空间的概念：具有加法与数量乘法两种运算的集合，并且满足8条运算法则。用公理化方法研究线性空间的结构，所得到的结论可适用于各种具体的线性空间，例如，函数集合对于函数的加法和数量乘法形成的线性空间。由于客观世界的数量关系中线性问题（即均匀变化的问题）可以通过加法与数量乘法两种运算来表达（例如，描述均匀变化现象的一次函数的解析式为y＝kx＋b，其中kx是做数量乘法，kx＋b是做加法），因此线性空间成为研究客观世界中线性问题的有力工具。对于非线性问题，经过局部化以后，便可以运用线性空间的理论来处理，或者可以用线性空间的理论研究它的某一侧面。线性空间是高等代数的重要组成部分——线性代数的主要研究对象之一。

客观世界的空间形式中许多变换（例如，几何空间中平移、旋转、镜面反射、投影、位似、相似、压缩等），客观世界的数量关系中的线性关系，可以抽象成线性空间之间保持加法和数量乘法两种运算的映射，称为线性映射。线性映射是线性代数的另一个主要研究对象。可以说，线性代数是研究线性空间和线性映射的理论。线性映射可以用矩阵来表示，因此线性映射的理论与矩阵的理论有密切的联系。

几何空间中有长度、角度、正交（即垂直）等度量概念，它们可以统一用内积来刻画。由此受到启发，在线性空间，只要定义了内积，就可以引进度量概念。在实数域上的线性空间中，一个正定对称的双线性函数称为一个内积；定义了一个内积的有限维实线性空间称为欧几里得空间。在复数域上的线性空间中，一个正定的、Hermite的、对第一个变量线性的二元函数称为一个内积；定义了一个内积的复线性空间称为酉空间。在任一域F上的线性空间V中，指定一个对称（或斜对称）双线性函数f作为内积，此时称（V，f）是一个正交空间（或辛空间）。欧几里得空间、酉空间、正交空间以及辛空间都是具有度量的线性空间。欧几里得空间（或酉空间）到自身的保持内积不变的满射称为正交变换（或酉变换）。设（V，f）是域F上有限维正则的正交空间（或辛空间），V上的一个线性变换如果保持内积不变，那么称它是正交变换（或辛变换）。它们都是保持度量不变的线性变换。在欧几里得空间（或酉空间）中，与度量有关的线性变换还有对称变换（或Hermite变换）。

综上所述，线性代数研究的对象及其内在联系可以用下述框图表示：

上述这些是高等代数课程的第一部分内容。

关于一元高次方程f（x）＝0的求根，很自然的思路是把方程左端的一元多项式因式分解。为此需要研究一元多项式环的结构。为了深入研究一元多项式的根，需要研究一元多项式环与一元多项式函数环之间的关系。一元二次方程的求根公式促使人们去研究：一元高次方程有没有求根公式？早在欧洲文艺复兴时代，人们就发现三次、四次方程都有求根公式（即方程的根用系数经过加、减、乘、除、乘方、开方运算所得的公式来表达）。那么，五次和五次以上的方程有没有求根公式？人们历尽了数百年艰辛的探索，最终于1832年由伽罗瓦（Galois）利用方程的根的置换群给出了方程有求根公式的充分必要条件，从而证明了五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。伽罗瓦这一天才的发现进一步促进了人们去研究抽象的群、环、域等代数系统，于是代数学的研究对象发生了根本性的转变。研究各种代数系统（例如：群、环、域等）的结构及其态射（即保持运算的映射）成为近世代数学研究的中心问题。

高等代数课程的第二部分内容是研究一元多项式环的结构及其通用性质，进而研究n元多项式环的结构。

高等代数课程的第三部分内容是从整数集，数域K上一元多项式的集合，数域K上n级矩阵的集合等引出抽象的环的概念；从模p剩余类的集合引出抽象的域的概念；从n元置换的集合，正交变换的集合等引出抽象的群的概念。

高等代数的第二、第三部分内容及其内在联系可以用下述框图表示：

高等代数课程的主线是：研究线性空间和多项式环的结构及其态射（线性映射，多项式环的通用性质）。通过学习高等代数课程，可以初步领略近世代数学的风采。代数学研究结构和态射的观点已经渗透到现代数学的各个分支中，因而学习高等代数课程可以通向现代数学的神奇世界。

我们编著的《高等代数》（上册、下册）贯穿上述这条主线，分成六个模块：线性方程组和n元有序数组形成的n维向量空间，矩阵的运算及其相抵、相似、合同分类，一元和多元多项式环，域上的线性空间及其线性映射，具有度量的线性空间，多重线性代数。

怎样才能学好高等代数？

1．要按照数学的思维方式学习高等代数。观察客观世界的现象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型；运用直觉判断、归纳、类比、联想、推理等进行探索，猜测可能有的规律；然后通过深入分析、逻辑推理和计算进行论证，揭示事物的内在规律，这就是数学思维方式的全过程。按照“观察—抽象—探索—猜测—论证”的思维方式学习数学是学好数学的正确途径，而且可以培养正确处理工作和生活中遇到的各种问题的能力，从而终身受益。

2．要掌握理论，包括概念、定理、基本方法以及所研究的问题的主线。对重要的概念和结论，要随着学习过程的进行不断加深对它们的认识和理解。只有掌握了理论，才能解决各种问题。

3．要把理论用于解决代数学和数学的其他分支，以及自然科学、社会科学和经济学等领域中的具体问题。

4．要做足够数量的习题，要在理论的指导下做习题，要随时总结解题方法和技巧；对本套教材每一节的典型例题要认真思考和学习，培养分析问题和解决问题的能力；有一些重要例题和习题的结论也需记住，并可用在其他一些例题和习题的解题过程中。

5．要注意从几何空间的具体例子受到启发，要把线性代数的理论用于解决几何学中的问题。

6．要运用辩证法，对具体问题具体分析。