丁石孙（北京大学原校长)在为《数学与文化》（齐民友著)所作的序中写道：“钱学森同志认为在人类整个知识系统中，数学不应被看成是自然科学的一个分支，而应提高到与自然科学和社会科学同等重要的地位。" “数学不仅在自然科学的各个分支中有用，同时在社会科学的很多分支中也有用。近期随着科学的飞速发展，不仅数学的应用范围日益广泛，同时数学在有些学科中的作用也愈来愈深刻。事实上，数学的重要性不只在于它与科学的各个分支有着广泛而密切的联系，而且数学自身的发展水平也在影响着人们的思维方式，影响着人文科学的进步。总之，数学作为一门科学有其特殊的重要性。" 

理性探索有一个永恒的主题：“认识宇宙，也认识人类自己。”在这个探索中数学有着特别的作用。没有任何一门科学能像数学那样泽被天下。数学是现代科学技术的语言和工具，它的思想是许多物理学说的核心，并为它们的出现开辟了道路。现代科学之所以成为现代科学，第一个决定性的步骤是使自己数学化。

数学在人类理性思维活动中有一些特点。这些特点的形成离不开各个时代的总的文化背景，同时又是数学影响人类文化最突出之处。

首先，它追求一种完全确定、完全可靠的知识。产生这个特点的原因可以由其对象和方法两个方面来说明。从希腊的文化背景中形成的数学的对象并不只是具体问题，数学所探讨的不是转瞬即逝的知识，不是服务于某种具体物质需要的问题，而是某种永恒不变的东西。所以，数学的对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，并服从明确无误的推理规则，借以达到正确的结论。通过纯粹的思想竟能在认识宇宙上达到如此确定无疑的地步，当然会给一切需要理性思维的人以极大的启发。人们自然会要求在一切领域中这样去做。一切事物的概念都应该明确无误，绝对不允许偷换概念；作为推理出发点的一组命题必须清晰，推理过程的每一步骤都不容许有丝毫含混；整个认识和理论必须前后一贯而不允许自相矛盾。正是因为这样，而且也仅仅因为这样，才使得数学方法既成为人类认识方法的一个典范，也成为人在认识宇宙和人类自己时必须持有的客观态度的一个标准。就数学本身而言，达到数学真理的途径既有逻辑的方面，也有直觉的方面，但就其与其他科学比较而言，就其影响人类文化的其他部门而言，它的逻辑方法是最突出的。这个方法发展成为人们常说的公理方法。人类知识迄今还没有哪一个部门应用公理方法获得了像数学那样大的成功。当然，我们也看不出为什么其他的知识部门需要这样高标准的公理化。

离散数学（第2版）解题指导序数学作为人类文化组成部分的另一个特点是它不断追求最简单、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本。所有这些研究都是在极抽象的形式下进行的。这是一种化繁为简以求统一的过程。从古希腊起，人们就有一个信念，冥冥之中最深处宇宙有一个伟大的、统一的而且简单的设计图，这是一个数学设计图。在一切比较深入的科学研究后面必定有一种信念驱使我们。这个信念就是: 世界是合理的、简单的，因而是可以理解的。对于数学研究则要加上一点: 这个世界的合理性首先在于它可以用数学来描述。我们为世界图景的精巧和合理而欣喜，而惊异。这种感情正是人类文化精神的结晶。数学正是在这样的文化气氛中成长的，而反过来推动这种文化气氛的发展。

数学的再一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己。它在发挥自己力量的同时又研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思，不断批判自己，并且由此开辟自己前进的道路。它不断致力于分析自己的概念，分析自己的逻辑结构（例如，希腊人把一切几何图形都分解为点、线、面，把所有几何命题的相互关系分解为公理、公设、定义、定理)。它不断地反思自己的概念、自己的方法能走多远?大家都说数学在证明一串串的定理，数学家就要问什么叫证明?数学越发展，取得的成就就越大，数学家就越要问自己的基础是不是巩固。越是在表面上看来没有问题的地方，越要找出问题来。乘法明明是可以交换的，偏偏要研究不可交换的乘法。唯有数学，时常是在理性思维感到有了问题时就要变。而且，其他科学中“变”的倾向时常是由数学中的“变”直接或间接引起的。当然，数学中许多重要的变是由于直觉地感到有变的必要，感到只有变才能直视宇宙的真面目。但无论如何，是先从思维的王国里开始变，即否定自己。这种变的结果时常是“从一无所有之中创造了新的宇宙”. 

到了最后，数学开始怀疑起自己的整体，考虑自己的力量界限何在。大概是到了19世纪末，数学向自己提出的问题是: “我真是一个没有矛盾的体系吗?我真正提供了完全可靠、确定无疑的知识吗?我自认为是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么?我证明了某些对象的存在，或者说我无矛盾地创造了自己的研究对象，可是它们的确存在吗?如果我不能真正地把这些东西构造出来，又怎么知道它是存在的呢?我是不是一张空头支票，一张没有银行的支票呢?" 

总之，数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶，吸收阳光。它不断扩展自己的领地，在它的树干上有越来越多的鸟巢，它为越来越多的科学提供支持，也从越来越多的科学中吸取营养。它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的土地中，使它越来越牢固地站立。从这个意义上来讲，数学是人类理性发展的最高成就。

人总有一个信念: 宇宙是有秩序的。数学家更进一步相信，这个秩序是可以用数学表达的，因此人应该去探索这种深层的内在秩序，以此来满足人的物质需要。

离散数学用数学语言来描述离散系统的状态、关系和变化过程，是计算机科学与技术的形式化描述语言，也是进行数量分析和逻辑推理的工具。

离散数学是计算机科学与技术专业的核心基础课，在计算机科学与技术专业课程体系中起到重要的基础理论支撑作用。学习离散数学不仅能够帮助学生更好地理解与掌握专业课程的教学内容，同时也为学生在将来的计算机科学技术的研究和工程应用中打下坚实的理论基础。随着计算机科学与技术的日益成熟，越来越完善的分析技术被用于实践，为了更好地理解将来的计算机科学技术，学生需要对离散结构有深入的理解。

通过离散数学的学习有利于培养学生的学科素质，进一步强化对计算机科学与技术学科方法的训练。通过离散数学的教学，对培养学生获取知识、应用知识的能力和创新思维有着重要的作用。

本书与《离散数学（第2版)》（高等学校计算机教育规划教材，清华大学出版社出版)相配套。本书主要包含数理逻辑、集合与关系、函数、组合计数、图和树、代数系统、自动机和初等数论等内容。全书分为10章，每章包含内容提要、例题精选和习题解答三个部分。内容提要总结了本章的主要定义、定理以及重要的结果等；例题精选包含与上述内容配套的典型例题；习题解答与配套教材的习题对应。

本书既可以作为主教材的配套教学用书，也可以单独使用，为学习离散数学的读者在解题能力和技巧训练方面提供帮助。

本书第3、4、7章由袁景凌编写，其余章节由高志华、贲可荣编写，全书由高志华统稿。贲可荣组织了本书的编写，南京大学陶先平教授对全书进行了审读。

 本书编写中参考了许多离散数学的教材和相关资料，在此一并表示感谢。作者对本书有些方面仍感不足，错漏在所难免，敬请读者予以斧正，以便今后补充修改。

贲可荣2011年12月12日