前言

当我们漫步在基于数值仿真的科学与工程的时空中，纵览古今、瞬抚四海，每一位读者都会感慨万千，向推动科学与工程进步、造福人类的科学家和工程师致以深深的敬意。在众多数值仿真方法中，有限单元法无疑是一颗璀璨的宝石，它是力学家在20世纪对人类文明的伟大科学贡献之一。在这个领域，大师云集，名人荟萃，从

Clough R.W.、Argyris J.H.、Zienkiewicz O.C.等人的奠基性工作，到

Simo J.C.、Hughes T.J.R.、Belytschko T.、Bathe K.J.、Hibbitt D.等人继往开来的延拓，历经80余年的历程，有限元已经发展

为学术研究和工程设计不可替代的仿真工具。

若把有限元比作璀璨的宝石，非线性有限元则是最耀眼的明珠。材料、几何和接触非线性构成了具有挑战性的力学核心问题，非线性有限元正是给出其数值解答的重要工具。历经30余年的科学研究、工程实践和课程教学，本书作者致力于提供固体力学理论分析和有限元计算方法的全面描述，贡献一部与时俱进的非线性有限元著作。本书的定位是读者通过学习，能够理解理论公式、掌握计算方法和编写应用程序。

第1章回顾了非线性有限元发展历程，特别是有限元工程分析软件（

computer aided engineering，CAE）的诞生与发展，以及标记、网格和偏微分方程的分类。第2章介绍了非线性连续介质力学

的基础知识，讲述了运动与变形的关系，应变和应力的度量，以及小应变大转动的应力张量客观率，以此作为

后续章节的基础。

第3章和第4章分别介绍了完全的和更新的拉格朗日有限元格式，便于读者了解基于初始（未变形）构形的完全的拉格朗日

有限元格式和基于当前（变形）构形的更新的有限元拉格朗日格式。基于自然变分原理建立弱形式和强形式，由运动学变量离散为求解动量方程的有限元形式。这两种格式是等价的，应用哪种格式编写程序取决于读者。

第5章和第6章分别介绍了求解动量方程的显式积分和隐式积分方法，这两种方法界定了两套有限元软件

——基于中心差分的显式积分软件和基于牛顿拉夫森迭代的线性化过程的隐式积分软件。第7章讨论了物理、数值和材料稳定性的理论和计算问题，描述了屈曲和后屈曲构形的弧长法。

第8章～10章介绍了单元技术。非线性有限元的核心需求之一是快速求解大规模问题，因此

单元基本上采用C0形函数的线性单元，内力求解方式分别为完全积分、选择性减缩积分和不完全积分，这样就必须考虑不可压缩材料的体积自锁、线性单元的剪切自锁和薄膜自锁，以及不完全积分单元的沙漏模式等。第8章阐述了单元的分类和性能，给出了平面和实体单元，介绍了著名的胡海昌鹫津久一郎三场变分原理。第9章描述了伯努利细长梁和铁摩辛柯剪切梁的基本原理，展示了基于连续体的梁单元和平面曲梁单元。第10章介绍了基于连续体的壳单元和基于薄膜与板组合的壳单元。

第11章介绍了接触（边界）非线性，给出了接触界面不可侵彻率和接触应力为压力的一致性条件，基于广义变分原理建立的弱形式和强形式不等式，由运动学变量离散为求解动量方程的有限元形式，并列出了拉格朗日乘子和罚函数方法在接触问题数值求解中的应用。

第12章给出了一些材料的非线性本构模型，如弹塑性模型、黏弹性模型、超弹塑性模型等，特别是求解有限变形问题的几种应力率型本构关系。第13章阐述了本构积分的应力更新算法，主要是率无关和率相关塑性的图形返回算法，隐式和半隐式向后欧拉算法，大变形的增量客观积分和编程方法。

本书是为力学、机械、土木和航空航天工程专业的高校教师、科研工作者编写的有限元理论和计算专著，也可以作为相关专业研究生的计算固体力学课程教材。在阅读本书之前，希望读者掌握线性有限元、弹塑性力学、线性代数和数值计算的基本理论和方法，熟悉变分原理和能量泛函的概念。为了便于准确地理解书中内容，我们尽量采用统一的表述风格和标记，并提供了430余篇参考文献。

感谢数十年来始终引领和鼓励我们的黄克智院士，他在固体力学大变形本构理论的具体指导使我们深受裨益。

感谢曾经在课题组共事的百余名博士后、博士生和硕士生的贡献。感谢清华大学出版社石磊副总编和戚亚编辑的支持和帮助。诚然，任何遗漏的错误是作者的责任，欢迎读者指正。

庄茁柳占立王涛高岳高原

2024年国庆节，于清华园