序一：认清中西思维方式差异

   ——数学文化比较

西方哲学史认为，哲学是从泰勒斯开始的，因为他关于“世界是由水构成”的说法突破了“世界是由神创造”的传统信念，开启了西方先哲通过理性认识世界的先河。泰勒斯以后的古希腊学者认为，几何学的证明也是从泰勒斯开始的，因为他提出并证明了“等腰三角形底角相等”这个命题。从泰勒斯开始，历经苏格拉底、毕达哥拉斯、柏拉图，特别是亚里士多德，古希腊逐渐形成了基于演绎推理的思维模式，这种思维模式关注一般与特殊之间的关系，这种思维模式的影响是深远的。欧几里得《几何原本》是用演绎推理的方法研究数学的经典，也成为后世科学研究的典范，甚至启发了牛顿、爱因斯坦这些伟大科学家的思路，为他们的科学论证提供了范本。

中国古代的先哲更关注的是类与类之间的关系，逐渐形成了基于类的包括类比在内的归纳推理的思维模式，这或许是因为他们更重视社会关系，社会关系更加复杂，分类研究是必要的。这些思想集中体现在《周易》这本书中，作为群经之首，《周易》对中国文化的影响是深远的。《周易》以卦分类，利用抽象的概念“象数”刻画类中事物的特征，解释事物演变的态势，通过事物的形式分析事物的本质。这种思想方法是朴素的，也是行之有效的。在西方直到文艺复兴之后，培根才提出类似的基于归纳推理的思维方法，并且把这样的思维方法作为科学发现和创新创造的基础。

中国传统思维还非常注重辩证逻辑。中国从远古时代就是农耕社会，或许是受日月交替的感召，或许是受春种秋收的启迪，古代中国很早就抽象出了“阴”和“阳”的概念，认为世界万物的产生、发展、灭亡都与阴阳的变化有关。这些思想也体现在《周易》中，六十四卦就是三十二卦对立出现的，用这样的对立统一表征并述说着事物的演变。这些思想凝聚为《老子》的基于“道”的辩证统一思想，既包括一分为二、也包括合二而一。这比黑格尔事物向对立面转化的辩证思想要早得多，当然没有黑格尔论述得透彻。发端于阴阳、形成于道，《老子》的论述标志中国古代哲学的形成。

思维方法是种族的基因，是一种潜移默化、世代相传的东西。因此，不探究一个区域或者一个民族的思维方法，就不可能深刻理解这个区域或者这个民族所产生的文化，就不可能把握这种文化的脉络、传承与演化。或许数学文化也是如此，数学思想承载着数学文化。

数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。数学思想就主要体现在抽象、推理和模型这三个方面。就数学的推理而言，本质上只有上面论及的归纳推理和演绎推理这两种形式。人们通过归纳推理发现、猜想结论，通过演绎推理论证、得到结论。这两种推理都属于逻辑推理，因此数学具有严谨性。数学具有的一般性主要是因为抽象的思想，具有的应用的广泛性主要是因为模型的思想。

综上所述，数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，承载着思想和文化。正因为如此，数学教育不仅关注获取数学的知识和技能，还关注数学在形成人的理性思维和科学精神方面不可替代的作用。好的数学教育，应当创设出合适的教学情境，让学生感悟数学的本质，体会数学的思想，积累数学思维的经验；使学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界。

基于这样的背景，数学文化这门课程在中国的大学乃至中小学逐渐兴起。吉林师范大学的刘鹏飞、徐乃楠两位青年学者通过多年数学史和数学文化的研究与教学，对中西方数学发展史、文化传统、思维方式等方面进行了较为深入的思考，在重新审视中西方传统数学和思维方式差异等方面进行了有益的尝试。希望他们在《数学与文化》方面的研究与相应的教学成果能够引起国人的重视，进而深化对数学教育改革的关注。

  史宁中

东北师范大学

序二：学习西方数学的新起点——数学文化探索

数学是人类创造的最古老的学科之一，世界上的文明古国都有属于自己的数学辉煌时期。中国古代筹算数学曾取得骄人的成果，但宋元之后的衰退，提前预示了华夏文明在人类文明进程中的落伍。

纵观西方文明的进程，可以发现一个奇妙的景象，西方文明的每一次辉煌都会有一个明显的数学标记：古希腊文明中的《几何原本》；基督教兴盛时数学与神学的融合；文艺复兴时期高扬的数学理性；工业革命期间牛顿的《自然哲学的数学原理》；现代文明中的计算机兴起。

对于中国文化而言，明朝末年我们第一次正面遭遇了西方数学。作为基督教传播的先锋，《几何原本》随同神学一起降落在儒家学者面前。西方数学开始为中国士大夫赞叹、欣赏、信服，《几何原本》的翻译者徐光启成为儒家学者中政府职位最高的基督教信徒。

中华民族真正见识到西方数学具有的国力、军力的实用功能，是鸦片战争给我们留下的记忆。于是中国文化彻底抛弃了传统的筹算，开始了漫漫的数学西化之路。

从民国至今百年的岁月，我们的学校建设完全是按照西方的形式、内容、方法进行的数学教育。但是，我们的数学观念仍是传统的模式，从师夷制夷富国强兵到科教兴国振兴中华。我们的数学教育没有跳出知识、方法、思维训练这样一个实用的范畴。

改革开放以来，我们在重新面对世界时，重新审视了我们数学的西学之路。深入的学习与思考，使我们发现了西方数学隐于知识、方法、思维训练之后的理性精神。同时，我们也发现了西方数学在理性层面对西方文明的巨大推动作用。

数学文化作为一个新的研究领域，它从学术和理论的层面，确认了数学所具有的超越实用技艺的理性精神层面的文化功能。在这一点来说，数学文化的研究将对我们的数学教育改革有历史性的指导意义。数学文化的研究是我们学习西方数学的一个新的起点。

刘鹏飞与徐乃楠早在硕士期间就随同我进行数学文化史、数学文化的研讨。最近几年又连续主讲我校的“数学与文化”公选课。对于数学文化，他们既有学术研究又有授课的体验。这本著作是他们这些年学习和教学的结晶，虽有些论述尚待深入，但已见理论和研究的功底。

学习西方数学，明清以来我们历经了几百年。完全西化的学校数学教育，我们也走过了百年的风雨。相信未来会有更多的青年才俊加入这个研究行列，使数学文化为推动华夏文明融入世界潮流作出贡献。

  王宪昌

吉林师范大学

自    序

本书是笔者2010年起为本校学生开设的公共选修课程“数学与文化”的课程讲义，缘由是我院从事数学史与数学文化研究与教学的王宪昌教授退休了，考虑到数学的思维方法、理性精神和文化价值对其他学科专业的重要影响，校、院领导坚持让把这门课程开设下去。授课使用的十二讲提纲主要来源于王老师多年的教学经验积累， 这也成为笔者授课过程中学习、研究和反思的一个主体框架，在教学过程中提纲不断修改，并融入笔者对数学史研究与教学的“大历史观”以及中西文化比较方面的理性思考。

本书作为公共选修课程的教学内容，主要是数学“外史”方面的研究与教学尝试，因而其中涉及的具体数学知识较少，可作为从事数学相关学习与教学人员的参考书以及对数学文化感兴趣人员的科普读物。本书重视运用文化学的历史溯源、中西对比、个案分析等研究方法，分析不同民族数学发展历程的文化差异，数学在不同文化学科门类发展中的作用和相互关系，并从中西文化差异与融合层面，理解和传播数学的文化价值。本书对数学与文化传统、信仰、理性、思维、宇宙结构、人类文明、结构主义、经济、医学、科学技术、信息技术以及人文社会科学之间的关系进行基于文化学意义上的阐释，从“外史”研究的视角探索数学与其他学科之间的关系，其中包含古今、中西对比研究，可使读者从多维度、多视角理解数学发展历程及其对人类文明产生的巨大作用，使读者从文化传统层面、文化价值观层面理解数学、认识数学、学习数学、研究数学和发展数学。

本书的顺利出版要感谢的人不胜枚举。感谢吉林师范大学王宪昌教授长期以来在数学史和数学文化方面的熏陶影响和悉心指导，退休后无私无偿地把数十年积累的专业书籍、历史资料和教学提纲传承到我们后辈手中。感谢笔者的博导、东北师范大学史宁中教授在数学思想史领域博大宽宏的视野、高屋建瓴的理解、异乎常人的直观，对我们研究数学及其历史问题具有重要影响。感谢中科院李文林，西南大学宋乃庆，南开大学顾沛，西北大学曲安京，北京师大曹一鸣，河北师大邓明立，天津师大王光明，内蒙古师大代钦，辽宁师大王青建，东北师大高夯、孔凡哲，西北师大吕世虎等诸位教授、专家学者在数学史研究与教学方面给予我们的帮助与指导。感谢吉林师大杨景海、李海波、王国君、刘树仁、付军等诸位教授在本书出版过程中给予的大力支持。感谢吉林师大“书画艺术研究中心”主任梁怀学教授为本书题写的书名。感谢吉林师大图书馆刘岩，吉林君广图书有限公司江海涛，清华大学出版社编辑等对本书出版给予的热情支持和辛勤劳动。感谢笔者的同事、妻子徐乃楠博士参与大部分书稿的讨论、撰写和授课研讨工作。感谢那些为数学史、数学文化研究与教学呕心沥血的前辈学人们。本书编著时引用了大量参考文献，未尽注明之处还望学界同仁倾心斧正。

本书即将付梓前夕恰逢笔者从学校机关回数学学院分管教学管理工作，工作机缘巧合、不揣浅陋为学院走廊文化建设拟就两副对联，恰能代表笔者在书中欲表达的两层主旨：一是重视数学与其他文化门类的相互影响；二是重视中西方文化的比较、传承与扬弃。

联一，上联：世事纷繁，加减乘除算不殆尽，能求解极限；下联：宇宙广袤，点线面体包不完全，可探究空间；横批：万物皆数。

联二，上联：发扬西学，演绎理性，精通欧氏原本几何基础；下联：承继传统，归纳数术，知晓勾股九章算经十书；横批：数贯中西。

是为序。

   刘鹏飞

2015年3月