这次主要在以下几个方面进行修订:

1.进一步强化了“高等代数”课程的主线:研究线性空间及其态射(即线性映射)

“高等代数”课程包括线性代数,一元和n 元多项式的理论,群、环、域的基本概念三部分,作者把这三部分整合成了一条主线———研究线性空间和线性映射。

从我们生活的客观世界抽象出几何空间,它是以定点O 为起点的所有向量组成的集合。向量有加法和数量乘法运算,并且加法满足交换律、结合律、有零元、每个元素有负元;数量乘法满足4条法则。几何空间中取定三个不共面的向量d1,d2,d3,则每一个向量α可以唯一地表示成d1,d2,d3 的线性组合: α=a1d1+a2d2+a3d3。把(a1,a2,a3)曚称为α在基d1,d2,d3 下的坐标。几何空间中向量的坐标是3元有序实数组,所有3元有序实数组组成的集合记作R3。为了用坐标来做向量的加法和数量乘法运算,自然而然地应当在R3 中定义加法和数量乘法运算,这样定义的运算满足8条法则。设一个质点在t 时刻位于点

P(x,y,z)曚,则(t,x,y,z)称为这个质点的时灢空坐标,于是考虑所有4元有序实数值组成的

集合R4,类似于R3 可定义加法数量乘法运算,并且满足8条运算法则。从数学的角度讲,

自然可以推广到在n 元有序实数组组成的集合Rn 中定义加法和数量乘法运算,它们满足8

条运算法则。但是这样做的动力何在? 动力之一是为了研究n 元一次方程组,即n 元线性

方程组能够直接从它的系数和常数项判断其是否有解,以及研究解集的结构。我们把定义

了加法和数量乘法运算,且满足8条运算法则的Rn 称为实数域R 上的n 维向量空间。闭

区间[a,b]上两个连续函数的和还是连续函数,实数c 与连续函数f 的乘积cf 仍是连续函

数,于是由[a,b]上所有连续函数组成的集合C[a,b]有加法和数量乘法运算,并且它们满

足8条运算法则。从上述这些具体的对象我们抽象出数域K 上线性空间的概念:设V 是

一个非空集合,如果V 上定义了一个加法运算,在数域K 与V 之间定义了数量乘法运算,

且加法满足4条法则,数量乘法满足4条法则,那么V 称为数域K 上的一个线性空间。从

上述抽象出线性空间概念的具体例子中看到,线性空间提供了一个广阔的天地。

平面上绕定点O 的_______转角为毴的旋转氁具有如下性质:氁(α+毬)=氁(α)+氁(毬),氁(kα)=

k氁(α),其中α,毬是平面上任意两个以O 为起点的向量,k 是任意实数。几何空间在过定点

O 的平面毿上的正投影P毿也具有如下性质:P毿(α+毬)=P毿(α)+P毿(毬),P毿(kα)=kP毿(α)。

由此抽象出数域K 上线性空间V 到V曚的一个映射A 如果满足:

A(α+毬)=A(α)+A(毬),A(kα)=kA(α),

其中α,毬暿V,k暿K,那么称A 是V 到V曚的一个线性映射。于是平面上绕定点O 的旋转是

平面到自身的线性映射,几何空间到过定点O 的平面毿上的正投影P毿是几何空间到自身

的线性映射。根据定积分的性质,对于f(x)暿C[a,b],令J(f)=曇b

af(x)dx,则J 是实数

域上的线性空间C[a,b]到R 的线性映射。由此看出,线性映射好比是在线性空间这个广

阔天地里驰骋的一匹匹骏马。

从以上看到,只要我们把线性空间的结构搞清楚了,把线性映射的性质研究清楚了,那

么我们就可以解决数学中和众多领域中的线性问题。为了解决度量问题,我们讲述了具有

度量的线性空间,以及与度量有关的变换,它们都是线性变换。

数域K 上所有一元多项式组成的集合K [x]有加法和乘法运算,加法满足4条法则,

乘法也满足4条法则。K[x],整数集Z,偶数集2Z,数域K 上所有n 级矩阵组成的集合

Mn(K),它们都有加法和乘法运算,并且加法满足4条法则,乘法满足结合律,左、右分配

律。由此抽象出环的概念。K[x]是一个环,且有单位元,还满足乘法交换律。K [x]对于

加法和数量乘法成为数域K 上的一个线性空间。K[x]具有通用性质,这使得我们可以用

K[x]的通用性质来研究数域K 上n 维线性空间V 上的线性变换A 的最简单形式的矩阵

表示。这样我们把研究一元多项式环的结构及其态射(即一元多项式环的通用性质)纳入

到“高等代数”课程的主线———研究线性空间和线性映射中。

从星期这一司空见惯的现象,我们引出了模7剩余类环Z7 的概念。Z7 中每个非零元

都是可逆元,且Z7 是有单位元的交换环。由此抽象出域的概念。从这以后,我们讲述的线

性空间拓宽成域F 上的线性空间,线性映射拓宽成域F 上线性空间V 到V曚的线性映射。

n 维欧几里得空间V 上所有正交变换组成的集合具有这些性质:正交变换的乘积还是

正交变换,恒等变换是正交变换,正交变换是可逆的并且它的逆变换还是正交变换。由此

抽象出群的概念,本书中介绍了域F 上的n 级一般线性群GL (n,F),n 级特殊线性群

SL(n,F);实数域上的n 级正交群O(n),n 级特殊正交群SO(n);n 级酉群U (n),n 级特殊

酉群SU(n)等。

从上面所述,我们把环、域、群的基本概念也纳入到了“高等代数”课程的主线———研究

线性空间和线性映射中。

这次修订通过增加一些定理、例题或习题,进一步强化了主线。

下册的8.1节我们增加了一个例题:例46,设递推方程u(n)=au(n-1)+bu(n-2),n

曒2,其中a曎0,b曎0,它们都是复数,一元多项式f(x)=x2-ax-b 称为这个递推方程的

特征多项式。我们运用线性空间的基的知识证明了:若f(x)有两个不同的复根α1 和α2,

则上述递推方程的每一个解u(n)可以唯一地表示成u(n)=C1αn1

+C2αn2

,其中C1,C2 是常

?栻? 高等代数学习指导书(第二版:下册)

数;若f(x)有二重根α,则上述递推方程的每一个解u(n)可以唯一地表示成u(n)=C1αn+

C2nαn,其中C1,C2 是常数。

下册的8.3节增加了例19,设A暿Mn(K),令AMn(K)={AB|B暿Mn(K)}。我们运

用线性空间同构的知识证明了:dim[AMn(K)]=rank(A)?n。然后在9.3节把原来的例

17、例18、例19换成了新的例17、例18、例19。在例17中,我们运用了8.3节的例19和线

性空间的子空间的直和的知识证明了:设A=A1+A2+…+As,其中Ai暿Mn(K),i=1,2,

…,s。如果rank(A)=rank(A1)+rank(A2)+…+rank(As),那么AMn(K)=A1Mn(K)熭

A2Mn(K)熭… 熭AsMn(K)。接着在例18中,证明了:设Ai暿Mn(K),i=1,2,…,s,令A

=A1+A2+…+As,则A1,A2,…,As 是两两正交的幂等矩阵,当且仅当A 是幂等矩阵,且

rank(A)=rank(A1)+rank(A2)+…+rank(As)。其中充分性的证明用到了例17的结

论,以及子空间的直和的性质;必要性的证明用到了幂等矩阵的秩等于它的迹。在例19

中,利用数域K 上的n 维线性空间V 上的线性变换代数Hom(V,V)与数域K 上n 级矩阵

代数Mn(K)的同构,从例18立即得到:设A1,A2,…,As 是V 上的线性变换,A=A1+A2+

…+As,则A1,A2,…,As 是两两正交的幂等变换当且仅当A 是幂等变换,并且rank(A)

= 暺s

i=1 rank(Ai)。

在8.4节商空间的命题1之后,我们写了一段话:“命题1表明,如果知道了商空间

V/W 的一个基S ~ ={αi+W|i暿I},其中I 是指标集,令U 是V 中由子集S={αi|i暿I}生成

的子空间,那么S 是U 的一个基,并且有V =W 熭U 。这样V 就有了一个直和分解式,这

是可以利用商空间研究线性空间结构的道理之三。”这个结论在研究幂零变换的最简单形

式的矩阵表示中起了重要作用。

在10.1节第五部分的最后,我们增加了特征为2的域F 上n 维线性空间V 上的对称

双线性函数f(曎0)的度量矩阵的最简单形式的内容,从而把本节例11的结论推广到特征

为2的域F 上仍然成立,并且运用到10.6节的正交空间中。

在10.2节第三部分的最后,我们增加了无限维实内积空间V 有标准正交基(即极大正

交规范集)的充分必要条件的内容。

2.力求使高等代数的概念有直观的几何例子

域F 上的线性空间V 上的对称双线性函数有几何空间中向量的内积这个具体例子,

那么斜对称双线性函数有没有直观的几何例子呢? 我们在10.1节的定理4之前增加了如

下一个例子:在平面上取一个右手直角坐标系[O;e

1,e

2],设氁是绕定点O 转角为-毿

2 的旋

转。令f(α,毬)=α?氁(毬),则易验证f 是平面上的一个斜对称双线性函数。这个例子还可

以帮助理解10.4节的例37的结论。

第二版前言?栿?

3.加强了高等代数的应用天地的内容

我们对于第10章最后的应用天地———酉空间在量子力学中的应用,增加了以下内容:

为什么粒子的动量、动能、角动量的概率波的波幅都可以由粒子的位置概率波的波幅氉(r)

决定? 为什么粒子在处于波函数氉(r)描述的状态下,测量其动量p,动能D,角动量L 所得

结果的平均值(即数学期望)分别为

p-

=(氉,^p氉),D-

=(氉,^D氉),L-=(氉,^L氉)

其中^p 是动量算符,^p=-i ;^D 是动能算符,^D=- 2

2m殼;^L 是角动量算符,^L=^r暳^p^

,这

里=h

2毿,h 是普适常数, 是Nabla算子,殼是Laplace算子。为什么粒子处于波函数氉(r)

描述的状态下,测量力学量A 所得结果的方差殼A2为殼A2=(氉,(^A-煆AI)2氉)? 其中^A 是力

学量A 相应的算符。我们把这些结论的道理讲清楚了,其中需要用到高等代数的酉空间

及其上的Hermite变换的知识,还需要用到数学分析的Fourier变换和Fourier逆变换,毮灢

函数,Nabla算子,以及Laplace算子殼等知识。由此看到,为了解决自然科学和工程中

问题,需要把高等代数和数学分析学扎实,还需要把数学的其他分支的知识学好。

这次修订,增加了3道例题,59道习题,从而总计有1239道题。

这次修订,我们删去了定理、命题、推论的证明。这些可以在作者写的《高等代数(上

册、下册)(第三版)》(高等教育出版社,2015年)中找到,或者在作者写的《高等代数(上册、

下册)———大学高等代数课程创新教材》(清华大学出版社,2010年)中找到。

感谢本套书的责任编辑苏明芳,她为本书的编辑出版付出了辛勤的劳动。

真诚欢迎广大读者对本套书提出宝贵意见。

丘维声

北京大学数学科学学院

2016年7月__