前言

抽象代数是数学系的一门重要专业课 ,其任务是提供近代代数学的基础知识和基本训练,但它也是一门比较难学、比较难教的课程 .由于代数学在处理问题的思路和方法上与其他数学分支有很大差异 ,加之没有后续课程 ,以及本身教学时数不多，所以学生对这门课程往往掌握得不够好.抽象代数的教学的不足会使学生在数学修养上有所欠缺.

抽象代数教学效果不尽如人意的原因除去学时少和没有后续课程外，教学内容的选取也是重要因素 .在某些情况下 ,由于受到学时的限制 ,抽象代数只讲一些基本概念 ,如群、环、域等以及它们的初等性质 ,而没有讲授代数的进一步理论和应用，这使学生对代数理论所包含的数学思想缺乏了解 .结果是学生们知道了一些概念 ,但没有看到它们解决了什么问题 ,也就不会对这门学问有多少印象了.

本书是作为大学本科数学系抽象代数课程的教材来编写的 ,也是对这一课程教材建设的一个探索.我们在本书写作时,遵循下面几个做法:

一、本书以域论和多项式方程的 Galois理论作为一个重点 .这当然是抽象代数教材的通常做法 .这样做的原因在于 Galois理论在代数学发展史上的划时代的意义 .在古代 ,代数学的研究内容是解方程 ,而在 Galois理论出现后 ,代数学的研究对象就转向各种代数体系的构造 .正是伽罗华揭示了代数体系的性质是代数学里一些数学现象出现的最根本的原因 .在介绍这个理论时 ,我们不追求讲法的新颖性、一般性甚至严密性 ,我们要说清楚的是子域和子群的对应关系以及方程可解与 Galois群可解的关系,是包含在这个理论中的数学思想.

二、本书在讲法上也作了一些尝试 .我们在第 1章专门讨论数域扩张问题 ,从数域的单纯扩张、分裂域一直到多项式的 Galois群,把数域的扩张问题演习了一遍 .这和一般抽象代数教材从群的定义开始讲授有较大的不同 .数域是我们身边的数学对象 ,学生们对它早已有所了解.只不过没有从代数学的角度去思考过问题 .此时讲数域扩张实际上是从一个新的角度去思考熟悉的对象 .在这里 ,由于代数基本定理 ,单纯扩域和分裂域的存在是明显的 ,本原元素定理不难证明 ,所以数域扩张的这部分内容也较容易，学生们理解起来也没有困难 .编者曾经按这个办法讲授过 ,学生们对于相关内容都能理解并表现出很大的兴趣 .这一章 ,还对包含三等分角在内的所谓“古希腊三大几何作图问题”用域扩张理论证明了不可能 .在引出 Galois群之后 ,我们转向群和环的公理化的讨论 ,即第 2、3两章的内容 ,重点是同态的理论.这一部分也不从群论和环论的角度追求完整和数学上的严密 ,在一定程度上还承认直觉 ,目的只是为一般的域扩张理论做环论的准备 ,为 Galois理论做群论方面的准备 .在第 4章则讲授任意域的扩张理论 .此时我们借助环同态理论来建立任意域上单纯扩张的存在性和分裂域的存在性 .于是就把第 1章中的理论从数域推广到任意域上 ,然后证明 Galois理论的基本定理和方程可解的判别法.

三、为了帮助学生掌握抽象代数的新概念 ,我们不断地回顾高等代数的内容 ,试图用新概念去说明高等代数中的一些问题 .例如在谈到群作用时我们会举出许多在高等代数中出现

II前言

的群作用、轨道、轨道代表元的例子 .这样做 ,一方面帮助学生理解新概念 ,另一方面又使学生对高等代数的内容有更深的理解 ,我们确信这也是提高教学质量的一种手段 .本书内有大量的例子.有些例子中包含不少的计算,建议学生们自己动手做这种计算.

四、本书包含的内容有些可能超出教学的需要 ,这其实也是正常的现象 .这样做的好处是使教师有了一定的选择余地 .对于内容和学时不匹配的矛盾 ,使用本教材时可以通过下面举出的一种或多种方式加以解决 .其一 ,整个第 5章可以不讲 ;其二 ,第 2、3两章中带 .号的内容可以不讲或少讲 ;其三 ,在第 4章 Galois理论部分我们在写法上做了特别的安排 :首先用整个一节的篇幅对这个理论的要点做了较详细的介绍 ,并用例子加以说明 ,然后再用三节的篇幅对介绍中举出的主要结论一一证明 .于是在使用本教材时 ,如果感到学时紧张 ,可以只学习介绍理论要点的那一节 ,而把后面三节作为阅读材料 .我们估计 ,只要学生用心体会要点介绍的那一节的内容,也可以对 Galois理论有一定的理解.

本书只是抽象代数教材建设的一种探索 ,对于如何编出好教材 ,我们有一些想法 ,但这些想法是否正确 ,以及这些想法是否在本书中很好地体现 ,都是需要在使用中加以检验的 .因编者水平有限,如有错误或不当之处,欢迎读者批评指正.

编者 

2014年 1月