“量子群”这一术语是1986年费尔德在伯克利国际数学家大会上提出的。它代表某个特殊的Hopf代数，可以是半单李代数的Hopf代数包络的广义定义，也可以是相应代数群上正则函数的代数。正如后来发现的那样，量子群与数学物理中各种前沿领域有着密切的联系。

本书的目的就是利用低维拓扑学为量子群的基本代数结构提供极好的介绍。尽管有一定难度，我们依然尝试用通俗易懂的语言进行描述。假设你已经学习过线性代数和简单的拓扑学知识。

本书共分为四部分： 第一部分，主要介绍Hopf代数的定义，借助SLq(2)和Uq(sl(2))两个Hopf代数（与典型群SL2有关）进行详细说明。它们是量子群中最简单的例子，也是我们能做到详细介绍仅有的实例。第二部分，主要关注两类Hopf代数，它们以系统的方式提供了Yang-Baxter（杨-巴克斯特）方程的解。我们回顾的方法归功于Faddeev（法捷耶夫）、Reshetikhin和Takhtadjian，如同Drinfeld的量子双层结构，它们都可以生成量子群。这两部分形成为期一年的关于量子群入门课程的核心。

第三和四部分都致力于前面提到的一些连接。第三部分的目标是构建R3中节点和纽带的痕不变量，包含来自Yang-Baxter方程的解琼斯多项式。为此，引入各类张量来拉近量子群和纽结理论的关系。第四部分提出了更前沿的内容： 利用Drinfeld模求解Knizhnik-Zamolodchikov方程的单值解。我们的目标是要突出Drinfeld模更深入的结果用它来表达相应的半单李代数的辫子张量。我们总结了“通用的扭结不变量”的构建。这是前面章节中代数技术的一个很好的应用。

我要感谢Drinfeld（参考论文［Dri87］ ［Dri89a］ ［Dri89b］ ［Dri90］）、Joyal 和 Street（参考论文［JS93］）、Reshetikhin 和 Turaev（参考论文［Tur89］ ［RT90］），是他们的论文给了我撰写本书的灵感。这些原始资料的引用在每章的最后都做了说明。Lusztig和Turaev的专著（［Lus93］、 ［Tur94］）补充了我们的描述。

本书脱胎于1990-1992期间我在斯特拉斯堡路易·巴斯德大学数学系所教的两个研究生课程。第一部分是［Kas92］扩展的英译版。感谢C.Bennis, R.Berger, C.Mitschi, P.Nuss, C.Reutenauer, M. Rosso, V.Turaev, M.Wambst他们对本书有价值的讨论和评论，也感谢Raymond Seroul为本书编辑了图形。特别感谢Patrick Ion为准备印刷本书做出的工作。

注释： 整本书中，k是一个域，“向量空间”，“线性映射”均指域k上的向量空间和线性映射。字母N,Z,Q,R和C代表非负整数集，整数集，有理数域，实数域和复数域。符号δij定义为： 当i=j时，δij=1； 否则，δij=0。我们用Sn表示n个字母的对称群。ε(σ)表示一个置换σ。

符号□表示一个证明的结束。罗马数字指章节的编号。

克里斯蒂安·卡塞尔1994年3月，斯特拉斯堡