第2版序
张恭庆院士在“数学的意义”一文中指出： 数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。数学的基本特征是高度的抽象性和严密的逻辑性，应用的广泛性与描述的精确性，以及研究对象的多样性与内部的统一性。
数学是一门“研究数量关系与空间形式”的学科。通常根据问题的来源把数学分为纯粹数学与应用数学。研究其自身提出的问题的是纯粹数学；研究来自现实世界中的数学问题的是应用数学。利用建立数学“模型”，使得数学研究的对象在“数”与“形”的基础之上又有扩充。各种“关系”，如“语言”、 “程序”、 “DNA排序”、“选举”、“动物行为” 等都能作为数学研究的对象。纯粹数学与应用数学的界限有时也并不那么明显。一方面由于纯粹数学中的许多对象，追根溯源是在解决外部问题时提出来的；另一方面，为了要研究从外部世界提出的数学问题，有时需要从更抽象、更纯粹的角度来考察才有可能解决。
数学作为现代理性文化的核心，提供了一种思维方式。这种思维方式包括： 抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理论等一整套严格的、行之有效的科学方法。按照这种思维方式，数学使得各门学科的理论知识更加系统化、逻辑化。
离散数学是数学里专门用来研究离散对象的一个数学分支，是计算机专业的一门重要的基础课。它所研究的对象是离散的数量关系和离散的数学结构模型。本书共10章，主要包含数理逻辑、集合与关系、函数、图和树、组合计数、离散概率、数论与递归关系、代数系统、自动机、文法和语言等内容，基本上涵盖了计算机专业读者必须掌握的数学内容。离散数学这门课程主要介绍各分支的基本概念、基本理论和基本方法，这些知识将应用于数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库原理、算法分析与设计、人工智能、软件工程和计算机网络等专业课程中。
电子计算机从设想、理论设计、研制，一直到程序存储等过程，数学家在其中起着决定性的主导作用。从理论上，哥德尔创建了可计算理论和递归理论，图灵第一个设计出通用数字计算机，他们都是数学家。冯·诺离散数学解题指导（第2版）第2版序依曼是第一台电子计算机的研制者，是程序和存储的创建人，也是数学家。
信息科学与数学的关系最为密切。信息安全、信息传输、计算机视觉、计算机听觉、图像处理、网络搜索、商业广告、反恐侦破和遥测遥感等都大量地运用了数学知识。高性能科学计算被认为是最重要的科学技术进步之一，也是21世纪发展和保持核心竞争力的必备科技手段。例如，核武器、流体、星系演化、新材料和大工程等的计算机模拟都要求高性能的科学计算。若要应用好高性能计算机解决科学问题，基础算法与可计算建模是关键。
信息的“加密”与“解密”是一种对抗，而这种对抗力量的表现全在所依靠的数学理论之上。例如，公开密钥算法大多基于计算复杂度很高的难题，要想求解，需要在高速计算机上耗费许多时日才能得到答案。这些方法通常来自于数论。RSA源于整数因子分解问题，DSA源于离散对数问题，而近年发展迅速的椭圆曲线密码学则基于与椭圆曲线相关的数学问题。
人们利用观察和试验手段获取数据，利用数据分析方法探索科学规律。数理统计学是一门研究如何有效地收集、分析数据的学科，它以概率论等数学理论为基础，是“定量分析”的关键学科。大数据事实上已成为信息主权的一种表现形式，将成为继边防、海防、空防之后大国博弈的另一个空间。“大数据”的核心是将数学算法运用到海量数据上，预测事情发生的可能性。
数学与国民经济中的很多领域休戚相关。互联网、计算机软件、高清晰电视、手机、便携式计算机、游戏机、动画、指纹扫描仪、汉字印刷和监测器等在国民经济中占有相当大的比重，成为世界经济的重要支柱产业。其中，互联网、计算机核心算法、图像处理、语音识别、云计算和人工智能等IT业主要研发领域都是以数学为基础的。
严加安院士在文章“数学的奇妙： 我们身边的概率和博弈问题”中介绍了“在猜奖游戏中改猜是否增大中奖概率”问题。
这一问题出自美国的电视游戏节目Lets make a deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔，20世纪90年代曾在美国引起广泛和热烈的讨论。假定在台上有三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面各有一只山羊。主持人是知道具体哪扇门后面有汽车的。当竞猜者选定了一扇门但尚未开启它的时候，节目主持人去开启剩下两扇门中的一扇，露出的是山羊。主持人会问参赛者要不要改猜另一扇未开启的门。问题是： 改猜另一扇未开启的门是否比不改猜赢得汽车的概率要大？答案是： 改猜能增大赢得汽车的概率，从原来的1/3增大为2/3。也许有人对此答案提出质疑，认为改猜和不改猜赢得汽车的概率都是1/2。为消除这一质疑，不妨考虑有10扇门的情形，其中一扇门后面有一辆汽车，另外9扇门后面各有一只山羊。当竞猜者猜了某一扇门但尚未开启时，主持人去开启剩下9扇门中的8扇，露出的全是山羊。显然： 原先猜的那扇门后面有一辆汽车的概率只是1/10，这时改猜另一扇未开启的门赢得汽车的概率是9/10。
在离散数学教学中我们发现，通过一些应用问题的引入和求解分析，学生能够对离散数学产生兴趣，并留下深刻印象。借修订之际，我们对每一章都增加了应用案例，以说明相应章节知识的学习可以解决什么样的典型应用问题。
需要指出的是，我们在撰写函数、离散概率及图论章节应用案例时，选用了美国伊利诺伊大学刘炯朗教授在文章“魔术中的数学”（2015年中国计算机大会报告）中的例子。命题逻辑部分的应用案例选自我的老师康宏逵先生翻译的《这本书叫什么》。
全书分为10章，每章包含内容提要、例题精选、应用案例和习题解答四部分。“命题逻辑”中的应用案例包括： 克雷格探长案卷录，忘却林中的艾丽丝（狮子与独角兽、斤斤计与斤斤较）；“谓词逻辑”中的应用案例包括： 电路领域的知识工程，基于逻辑的财务顾问；“集合与关系”中的应用案例包括： 同余关系在出版业中的应用，拓扑排序在建筑工序中的应用，等价关系在软件测试等价类划分中的应用；“函数”中的应用案例包括： 逢黑必反魔术，生成函数在解决汉诺塔问题过程中的应用；“组合计数与离散概率”中的应用案例包括： 大使馆通信的码字数，条条道路通罗马；“图论”中的应用案例包括： 网络爬虫，读心术魔术，高度互联世界的行为原理；“树及其应用”中的应用案例包括： Huffman压缩算法的基本原理，一字棋博弈的极大极小过程；“代数系统”中的应用案例包括： 物理世界中群的应用，群码及纠错能力；“自动机、文法和语言”中的应用案例包括： 奇偶校验机，地址分析，语音识别；“初等数论”中的应用案例包括： 密码系统与公开密钥，单向陷门函数在公开密钥密码系统中的应用。
本书既可以作为《离散数学》(第2版)的配套教学用书，也可以单独使用，为学习离散数学的读者在解题能力和技巧训练方面提供帮助。
本书第3、4、7章由袁景凌编写，谢茜参与了部分应用案例的编写，其余章节由贲可荣、高志华编写。于嘉维绘制了部分图形，曾杰参与了样稿校对。贲可荣组织了本书的编写，南京大学陶先平教授对全书进行了审读。本书撰写过程中，参考了许多资料，特别感谢参考文献中的相关作者。同时，也欢迎读者对本书提出宝贵的修改建议。
贲可荣2016年7月
第1版序
丁石孙（北京大学原校长)在为《数学与文化》（齐民友著)所作的序中写道：“钱学森同志认为在人类整个知识系统中，数学不应被看成是自然科学的一个分支，而应提高到与自然科学和社会科学同等重要的地位。”“数学不仅在自然科学的各个分支中有用，同时在社会科学的很多分支中也有用。近期随着科学的飞速发展，不仅数学的应用范围日益广泛，同时数学在有些学科中的作用也愈来愈深刻。事实上，数学的重要性不只在于它与科学的各个分支有着广泛而密切的联系，而且数学自身的发展水平也在影响着人们的思维方式，影响着人文科学的进步。总之，数学作为一门科学有其特殊的重要性。”
理性探索有一个永恒的主题：“认识宇宙，也认识人类自己。”在这个探索中数学有着特别的作用。没有任何一门科学能像数学那样泽被天下。数学是现代科学技术的语言和工具，它的思想是许多物理学说的核心，并为它们的出现开辟了道路。现代科学之所以成为现代科学，第一个决定性的步骤是使自己数学化。
数学在人类理性思维活动中有一些特点。这些特点的形成离不开各个时代的总的文化背景，同时又是数学影响人类文化最突出之处。
首先，它追求一种完全确定、完全可靠的知识。产生这个特点的原因可以由其对象和方法两个方面来说明。从希腊的文化背景中形成的数学的对象并不只是具体问题，数学所探讨的不是转瞬即逝的知识，不是服务于某种具体物质需要的问题，而是某种永恒不变的东西。所以，数学的对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，并服从明确无误的推理规则，借以达到正确的结论。通过纯粹的思想竟能在认识宇宙上达到如此确定无疑的地步，当然会给一切需要理性思维的人以极大的启发。人们自然会要求在一切领域中这样去做。一切事物的概念都应该明确无误，绝对不允许偷换概念；作为推理出发点的一组命题必须清晰，推理过程的每一步骤都不容许有丝毫含混；整个认识和理论必须前后一贯而不允许自相矛盾。正是因为这样，而且也仅仅因为这样，才使得数学方法既成为人类认识方法的一个典范，也成为人在认识宇宙和人类自己时必须持有的客观态度的一个标准。就数学本身而言，达到数学真理的途径既有逻辑的方面，也有直觉的方面，但就其与其他科学比较而言，就其影响人类文化的其他部门而言，它的逻辑方法是最突出的。这个方法发展成为人们常说的公理方法。人类知识迄今还没有哪一个部门应用公理方法获得了像数学那样大的成功。当然，我们也看不出为什么其他的知识部门需要这样高标准的公理化。
离散数学解题指导（第2版）第1版序数学作为人类文化组成部分的另一个特点是它不断追求最简单、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本。所有这些研究都是在极抽象的形式下进行的。这是一种化繁为简以求统一的过程。从古希腊起，人们就有一个信念，冥冥之中最深处宇宙有一个伟大的、统一的而且简单的设计图，这是一个数学设计图。在一切比较深入的科学研究后面必定有一种信念驱使我们。这个信念就是: 世界是合理的、简单的，因而是可以理解的。对于数学研究则要加上一点: 这个世界的合理性首先在于它可以用数学来描述。我们为世界图景的精巧和合理而欣喜，而惊异。这种感情正是人类文化精神的结晶。数学正是在这样的文化气氛中成长的，而反过来推动这种文化气氛的发展。
数学的再一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己。它在发挥自己力量的同时又研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思，不断批判自己，并且由此开辟自己前进的道路。它不断致力于分析自己的概念，分析自己的逻辑结构（例如，希腊人把一切几何图形都分解为点、线、面，把所有几何命题的相互关系分解为公理、公设、定义、定理)。它不断地反思自己的概念、自己的方法能走多远?大家都说数学在证明一串串的定理，数学家就要问什么叫证明?数学越发展，取得的成就就越大，数学家就越要问自己的基础是不是巩固。越是在表面上看来没有问题的地方，越要找出问题来。乘法明明是可以交换的，偏偏要研究不可交换的乘法。唯有数学，时常是在理性思维感到有了问题时就要变。而且，其他科学中“变”的倾向时常是由数学中的“变”直接或间接引起的。当然，数学中许多重要的变是由于直觉地感到有变的必要，感到只有变才能直视宇宙的真面目。但无论如何，是先从思维的王国里开始变，即否定自己。这种变的结果时常是“从一无所有之中创造了新的宇宙”。
到了最后，数学开始怀疑起自己的整体，考虑自己的力量界限何在。大概是到了19世纪末，数学向自己提出的问题是: “我真是一个没有矛盾的体系吗?我真正提供了完全可靠、确定无疑的知识吗?我自认为是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么?我证明了某些对象的存在，或者说我无矛盾地创造了自己的研究对象，可是它们的确存在吗?如果我不能真正地把这些东西构造出来，又怎么知道它是存在的呢?我是不是一张空头支票，一张没有银行的支票呢?”
总之，数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶，吸收阳光。它不断扩展自己的领地，在它的树干上有越来越多的鸟巢，它为越来越多的科学提供支持，也从越来越多的科学中吸取营养。它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的土地中，使它越来越牢固地站立。从这个意义上来讲，数学是人类理性发展的最高成就。
人总有一个信念: 宇宙是有秩序的。数学家更进一步相信，这个秩序是可以用数学表达的，因此人应该去探索这种深层的内在秩序，以此来满足人的物质需要。
离散数学用数学语言来描述离散系统的状态、关系和变化过程，是计算机科学与技术的形式化描述语言，也是进行数量分析和逻辑推理的工具。
离散数学是计算机科学与技术专业的核心基础课，在计算机科学与技术专业课程体系中起到重要的基础理论支撑作用。学习离散数学不仅能够帮助学生更好地理解与掌握专业课程的教学内容，同时也为学生在将来的计算机科学技术的研究和工程应用中打下坚实的理论基础。随着计算机科学与技术的日益成熟，越来越完善的分析技术被用于实践，为了更好地理解将来的计算机科学技术，学生需要对离散结构有深入的理解。
通过离散数学的学习有利于培养学生的学科素质，进一步强化对计算机科学与技术学科方法的训练。通过离散数学的教学，对培养学生获取知识、应用知识的能力和创新思维有着重要的作用。
本书与《离散数学》（第2版)（高等学校计算机教育规划教材，清华大学出版社出版)相配套。本书主要包含数理逻辑、集合与关系、函数、组合计数、图和树、代数系统、自动机和初等数论等内容。全书分为10章，每章包含内容提要、例题精选和习题解答三个部分。内容提要总结了本章的主要定义、定理以及重要的结果等；例题精选包含与上述内容配套的典型例题；习题解答与配套教材的习题对应。
本书既可以作为主教材的配套教学用书，也可以单独使用，为学习离散数学的读者在解题能力和技巧训练方面提供帮助。
本书第3、4、7章由袁景凌编写，其余章节由高志华、贲可荣编写，全书由高志华统稿。贲可荣组织了本书的编写，南京大学陶先平教授对全书进行了审读。
本书编写中参考了许多离散数学的教材和相关资料，在此一并表示感谢。作者对本书有些方面仍感不足，错漏在所难免，敬请读者予以斧正，以便今后补充修改。
贲可荣2011年12月
