前言
离散数学是研究离散结构数学模型的数学分支的统称，是计算机类专业的必修课程，也是计算机科学与技术、软件工程等专业的核心基础课程。
“离散”和“连续”之间是对立与统一的关系。在数学发展史的初期阶段，因为人们对数的认识局限于整数，所以研究的问题主要是离散问题。由于描述离散数据的模型在处理某些事物时的局限性，再加上后来数域扩展到了实数，从而近代数学主要研究连续数量关系及其模型，并取得了极其辉煌的成果，如微积分等，乃至现在这一情况仍然在继续着。
然而，自从1946年数字电子计算机诞生以来，情况就逐步发生了变化。因为计算机的快速发展和普遍应用，出现了大量的离散结构问题，亟须给出它们的模型，描述清楚它们的关系。出现这种情况的原因在于，现代的数字电子计算机不识别连续量，只识别0、1代码，用计算机处理问题时，最终都要翻译成这样的符号。这里涉及两个问题，一个是这些连续的量如何离散化，并且离散化的量还能反映原来事物的特性。另一个是如何为离散量建立模型，方便使用计算机处理，以及这些离散量之间的关系如何描述。这些问题大大促进了离散数学理论的发展，人们由此重新开始重视离散数学理论，也重新认识离散数量关系的研究意义，重新重视讨论离散数量关系的数学分支，并取得新的进展。
一方面，人们借助早期的一些离散数学的理论和方法来描述计算机系统中的一些问题，常用的理论包括集合理论、图论、数理逻辑、代数系统、递归理论和组合理论等。例如，人们利用布尔代数理论研究开关电路，建立了一套完整的数理逻辑理论，对计算机逻辑设计起了很大作用。另一方面，人们也借助其他学科的一些研究成果来解决计算机系统中遇到的问题。例如，计算机的编译系统，它的理论基础就来源于心理学领域中用形式化方法研究语言学的成果，这一成果由乔姆斯基给出。
对于连续量的离散化，最为显著的成果就是图像数字化、语音数字化等，正是对模拟量的离散化才使得图像和语音的数字化成为可能，并取得了很大发展，得到了广泛应用。
全书共分为8章，第1章是绪论，总体上介绍了离散数学在信息技术，特别是计算技术中的作用，以及连续量的离散化方法。第2章介绍了集合理论及其应用。主要介绍了集合和关系的表示方法，以及它们的交、并、补、差等运算；还介绍了等价关系和序关系，以及由等价关系导出的等价类和集合的划分问题；作为应用，讲述了关系模型在数据库中的应用，也就是关系数据库理论中的关系代数，以及等价关系和等价类在机器学习中的应用，也就是粗糙集理论；作为实践内容，要求实现集合的交、并、差运算。第3章介绍了数理逻辑的基本知识及其应用。包含命题逻辑和谓词逻辑；作为应用，讨论了数理逻辑在人工智能自动推理和程序设计中的应用；作为实践内容，要求编程实现SAT的算法。第4章介绍了图的基本知识及其应用。包含图的定义、表示方法，以及一些特殊的图，如欧拉图、哈密顿图、树和可平面化图等；还包含图论在计算机科学中的应用，有印刷电路板的平面化问题、最优前缀代码问题和文件压缩问题；作为实践的内容，要求编程实现文件压缩。第5章讲述了代数系统的知识及其应用。包含群、环、域、格、布尔代数；还讲述了代数系统成果的应用，包括代数语义，以及多项式环在密码学中的应用。第6章介绍了形式语言及其应用。包括形式文法与自动机理论，以及它们在编译系统中的应用。作为实践的内容，要求实现一个词法分析器。第7章是递归理论及其应用。内容包括递归关系和递归理论，以及递归式的求解方法、把递归转化为迭代的方法；作为实践的内容，要求实现递归算法到迭代算法的转化。第8章是组合理论初步。内容包括排列组合、鸽巢原理、二项式系数、排列组合生成算法和组合设计。本书第1章、第5章、第6章和第7章由栾尚敏撰写；第2章由谭立云撰写；第3章、第4章和第8章由文小艳撰写。全书由栾尚敏统稿处理，并进行了修正和校对。
本书具有如下特点：
(1)注重了基础性。本书详细介绍了每个主题涉及的基础理论知识，为进一步地应用打好基础。
(2)注重了理论和实践的结合。对每个主题，既注重了理论知识的介绍，也讲述了其应用案例。让读者既能学习到理论知识，也能了解其应用场景，还能掌握编程实现的技巧。
(3)注重了时效性。本书介绍的一些应用案例都是比较新的研究成果，有的是近些年才兴起的研究领域，如多项式环在密码学中的应用等。
本书可作为信息领域相关专业本科生的教材，特别是计算机类相关专业“离散数学”“离散结构及应用”等课程的教材，也可作为想了解离散数学理论、应用情况的人员的参考书。
本书受到国家重点研发计划(批准号：2018YFC0808306)、青海省重点实验室重点研发项目(批准号：2017-ZJ-Y21和2017-ZJ-752)、河北省物联网监控中心和河北省重点项目 (批准号：3142016020和19270318D)、河北省重点研发计划项目(批准号：18210339)、河北省高等学校科学技术项目(批准号：Z2019044)和中央高校基本业务费(批准号：HKJYZD201808、HKJYZD201526和HKJYGH201817)的资助。作者对以上项目的支持深表感谢。还要感谢编辑谭文芳老师，她不仅在格式、文字和图表符号方面给予了很多指导，还在书稿内容方面提出了很好的建议，也正是她的努力才使本书得以顺利出版。
限于作者水平，书中难免会有一些错误和不足，希望读者指正，联系方式623320726@qqcom。
作者2021年2月目录
