前言

这些年我们研究团队一直在从事不确定性分析相关的研究工作。最初是从高温气冷堆物理的不确定性分析出发，除了大家都关注的核截面引起的不确定性之外，还遇到了一些高温气冷堆的特殊情况，包括堆芯内球形燃料元件流动分布的不确定性、裂变产额的不确定性、反应堆停堆后余热的不确定性、事故后燃料最高温度的不确定性等。在此基础上，随后的研究还延伸到了其他堆型，扩展到诸如控制棒反应性价值的不确定性等。在这些工作中有不少体会和收获，开发了一些工具，有一些粗浅的认识，想借此机会，系统梳理自己的思路，整理成书，与同行进行交流，期望抛砖引玉，能共同推进不确定性分析方法的发展。

近年来，不确定性分析和敏感性分析已成为核反应堆分析，特别是安全分析的重要分支和研究热点。安全分析领域的研究、实践和发展已经证明： 最佳估计加上不确定性分析比保守假设更安全、更可信、更全面，甚至能减少过度的保守性，因而更合理，越来越得到安全当局的推荐和核电站设计方的青睐。同时，通过不确定性分析，还可以对核电厂的特性有更深入的理解，对所采用的安全分析方法各个环节的合理性和优缺点有更深入的了解，甚至还能发现计算方法上可以改进的方面，对计算方法和理论形成更深入的理解。

鉴于必要的安全裕量是保证核反应堆安全的基本原则，在核反应堆的安全分析领域，不确定性分析与最佳估计通常需要配套使用，充分考虑由安全验证实验导出的各种以经验关系式为代表的模型的不确定性，以保证充分的安全裕量。

在其他领域，不确定性分析作为一个独立的分析方法而存在的情况也比较常见，是对自然世界天然存在的各种不确定性、数值模拟又增加新的不确定性的这个本质现象的一个通用分析方法和必然的要求。

反应堆物理计算就是一个典型的例子。因为各种核反应本身就是随机事件，核电站稳定链式裂变反应就是大量随机事件的累积，核截面本质上就是核反应发生概率的度量。由于人们对核反应机理理解的局限和测量手段的局限，包括量子力学的测不准原理所决定的测量不确定性，所有这些，使得反应堆物理计算最基础的核截面数据天然带有不确定性。而反应堆物质组成、加工装配误差、运行状态和运行历史也会存在各种不确定性，同时反应堆物理计算的数值计算方法本身所必然具有的模型和过程的简化和近似的特点，也可以用不确定性来表征(虽然有时候实际上是偏差或误差)，这使得反应堆物理计算必然会存在不确定性。再考虑物理计算最终要与热工水力学计算耦合，要与反应堆运行的燃耗过程耦合，与堆芯换料方案和换料过程耦合，要与外部电网的需求耦合，与各种手动或自动的控制系统耦合，更多的复杂因素影响整个计算，更多不确定性源头会导致计算结果更大的不确定性。而且事实上，测量到的反应堆的输出本身，如核功率、冷却剂流量、发电量等，本来就具有不确定性，测量本身也具有不确定性，所以测量到的输出与计算值之间也就很难完全吻合。最终，我们需要知道： 从计算程序得到的分析结果，最可能的值是什么，有多大的不确定性范围，概率分布上服从什么规律。这些都是可以用不确定性分析方法来进行深入研究的。在这个过程中，很难确定什么是保守假设，什么是最佳估计。虽然不确定性分析方法的概念提出很早，而在二十年前，我们是没有能力、没有条件来研究这些不确定性因素的。

不确定性分析的方法，总体上可分为微扰理论和抽样法。微扰理论通常针对线性方程，或对复杂问题线性化后进行，并与敏感性分析可以很好地结合，与3．6节介绍的“三明治”公式可以很好地结合，能对复杂问题的关键特性给出简洁、直观的度量，给出机理性的解释。抽样法则更直接、更全面，能给出整个系统的不确定性的更完整的图像，但计算量大，要求足够的、合理的抽样量。我们所面对的真实世界，其天然是非线性问题，存在着复杂机制，原则上抽样法对其适应性更好。但复杂问题也必须简化，才能数值化求解。因此，在不确定性分析领域，通常用微扰理论与抽样法相结合的手段，互相配合，互相验证，互相促进。

反应堆物理计算中的不确定性问题与其他过程计算中的不确定性问题也存在一些差别。反应堆物理计算通常是基于物质构成和核截面，采用Boltzmann方程或其简化方程(输运、扩散、碰撞概率等)来求解，再耦合燃耗方程、换料过程、热工水力学方程等，并可能涉及事故发展过程中堆芯状态的发展和剧烈变化，如温度变化、相变。Boltzmann方程或其简化方程本身的特点是线性方程，与燃耗过程、换料过程、热工水力学方程的耦合通常通过修正截面或物质组成来实现，通过迭代与线性的反应堆物理计算进行耦合。而线性方程本身性质很好，可以方便地利用微扰理论来进行不确定性分析，这也是早期有很多针对反应堆物理问题采用微扰理论进行不确定性分析的研究活动的原因之一。若要进行完整的耦合后反应堆物理问题的分析，这是一个高度非线性的问题，可以先线性化，再用微扰理论，但若要精细分析，则还需要抽样法。此外，对于反应堆物理分析，还需要对基于反应堆物理计算的各种导出量进行不确定性分析，有些是反应率的积分，有些是反应率积分的比值，有些是分布的最大值或最小值。对控制棒价值，则还涉及两个与反应率积分值相关的值的差值。研究它们的不确定性，则还需要发展专门的分析方法。而对于反应堆热工、流体、力学，它们从根本上就是非线性问题，而且热工流体问题中涉及大量通过实验结果拟合得到的经验关系式，对于最终分析结果的不确定性影响，也具有很大的特殊性，所以，针对热工流体问题的不确定性分析，抽样法是其必然的选择。但是，把这些非线性问题线性化，用微扰理论进行分析，并进行敏感性分析，依然能够获得很有价值的结果，因此仍然是很有价值的手段。因此，反应堆物理分析与其他领域的分析各具特色，要分别处理。本书主要针对反应堆物理计算的不确定性分析，还未涉及其他耦合特性的分析，以及其他领域的不确定性分析。可以预见，针对其他领域的不确定性分析，虽然有很多共同的理论和方法，但还有更多的问题、更多的方法、更多的技巧、更多的挑战值得我们去探索、研究。

当然，现在对于反应堆系统的不确定性分析，特别是从物理计算的栅元、组件到全堆，热工水力学计算从栅元、单通道、组件到全堆，物理热工耦合计算从棒栅元、组件到全堆，再到耦合燃耗计算、分析完整的典型事故序列，通常采用不确定性传递的方式，每级的不确定性都可以以均值、方差、协方差的形式表达。从最基础的核截面的不确定性，结合制造公差，结合燃耗计算的不确定性，结合热工计算的不确定性，传递到栅元截面的不确定性； 结合组件层次的新的不确定性，传递到组件截面的不确定性； 再结合全堆层次的不确定性，传递到全堆计算的不确定性，包括典型事故序列的不确定性。这种沿着整个计算链，分步考虑各环节引入的不确定性及最终传递到最终计算结果的不确定性的方法，被认为是目前得到较广泛认可的、能够有效分析复杂系统的不确定性的一种方法，在OECD/NEA LWR UAM，IAEAHTGRUAM的benchmark项目等都有使用。详情可参见第2章的介绍。

虽然从表面上看，不确定性分析是针对某个计算过程，对其计算结果的不确定性进行定量化，但实际上不确定性分析完全可以被认为是独立存在的专门分析方法，以及成为一个专门的学科，而我们现在所做的是这类方法在某个特定领域的应用，并要解决某个特定领域的特殊需求，比如反应堆物理计算的不确定性、热工计算的不确定性、事故分析的不确定性等。诸如不确定性源头的定量化、不确定性源头的概率分布、不确定性源头之间的相关性、微扰理论、三明治公式、抽样法、统计理论、降方差技巧、复杂模型的降阶方法、数据同化方法、贝叶斯公式、Markov过程等，这些都是不确定性分析中要用到的数学方法和手段，并要针对特定物理问题进行适应性调整或适应性改造。同时，通过对某个计算过程进行不确定性分析，会发现哪些不确定性源头起更重要的作用，哪些计算环节或因素对不确定性贡献更大，这样，可对原计算过程得到更深入的理解，或者提出对某些环节进行深入研究、对某些环节可以进一步简化或采取措施降低某个不确定性源头(如某个反应道的不确定性)等优化建议，从而推动对物理过程、物理过程的计算方法、不确定性源头的改进和提高。因此不确定性分析方法与所针对的物理过程的计算互相配合，互相促进。

本书主要介绍了笔者在反应堆物理计算的不确定性分析方面的收获和体会。第1章介绍不确定性分析的需求，第2章介绍不确定性分析方法在国际和国内的发展历史和现状，第3章介绍反应堆物理分析的不确定性分析中应用很广的基于微扰理论的基本方法，第4章介绍更通用的基于抽样统计的基本方法，第5章介绍反应堆物理分析中比较基础的核截面的不确定性描述方法和处理方法，第6章介绍反应堆物理分析中比较特殊的共振截面的不确定性处理方法，第7章比较具体地介绍输运计算过程的不确定性分析，第8章介绍燃耗计算过程带来的不确定性，第9章介绍控制棒价值计算的不确定性分析方法，第10章介绍应用不确定性分析方法进行核数据调整及目标精度评估的考虑。由此期望给读者提供一个反应堆物理计算的不确定性分析过程的概貌。

在研究工作中我们体会到，特别是在写完此书后我们进一步感受到，不确定性分析是一个博大精深的领域，它既有通用的方法体系，特别是以随机过程和数理统计为基础的方法体系，它又要针对具体问题做出调整，解决具体问题的特殊要求。它的实施要求有各种数据库的配合，例如，核截面(基础评价库和各种多群截面库)的不确定性数据库、各种制造公差数据库、各种实验过程的详细不确定性数据库，包括核物理的实验、各种临界装置、各种反应堆上运行数据、各种热工水力学实验及对各种物理过程本身的详细了解。有了这些，才能真正对反应堆系统的各种不确定性进行深入的研究。

同时，我们也体会到，对于不确定性分析，抽样法确实是一个更通用、更实用的方法。它可应对任何复杂问题，还可以采用各种降方差技巧，如拉丁超立方抽样方法，以提高分析效率。同时，抽样法可以用在不同领域广泛采用的蒙特卡罗模拟的思路、方法、技巧来进行理解、实施、改进。因此，不确定性分析方法可以与很多领域的分析方法实现互相借鉴、互相提高。

最后，随着在不确定性分析领域的不断探索，不断尝试，不断接触新领域的问题，我们越来越感到知识的不足、认识的不充分、手段的缺乏、基础不确定性数据的缺乏和分析工具的不完善。因此更想把我们有限的经验尽快共享出来，与同行交流，抛砖引玉，促进不确定性分析的深入和共同提高。但由于笔者水平有限，疏漏和不足之处在所难免，希望广大读者、各位同行批评指正。

郝琛，李富

2021年6月