前言

——加速是永恒的追求

本书介绍了哈尔滨工程大学团队和清华大学核能与新能源技术研究院团队近年在MOC加速方面的各种探索。通过探索，我们深刻体会到，高保真是一个永恒的追求，加速是其核心的保障，因此加速也是反应堆物理计算的永恒追求。

当前，反应堆物理计算的发展有一个主要追求是高保真，计算模型越来越精细，计算结果越来越精确，同时还要求计算速度越来越快，还要评价其不确定性。

关于反应堆物理，针对中子输运计算，高保真计算方法的一个公认的、有特色的、已体现优良性质的一种方法是特征线方法(MOC)，天然与它相匹配的加速方法就是粗网有限差分方法(CMFD)，以及基于它的一系列方法的组合，称为多级加速。

中子输运方程涉及中子的角度(2自由度)、空间(3自由度)、能量(1自由度)、时间(1自由度)或者本征值，还涉及中子的输运、散射、裂变等核反应机制，对于真实的反应堆，是一个复杂到几乎没有解析解的方程。为了准确高效地用数字计算机进行求解，通常会在散射截面进行截断处理后，在角度、空间、能量、时间等变量上进行低阶离散化，从而得到耦合的但是是有限离散变量的方程组，然后就可以用迭代求解的方式进行求解。

具体到MOC方法，在角度上，按离散纵标的方式仅求解有限角度方向的角通量； 在空间上，把求解空间按物质组成边界细划分成很小的平源区，按中子角度方向在空间上平行布置大量的、间距很小的特征线，仅按特征线扫描更新特征线上的角通量分布，每个平源区的角通量平均值就按本平源区内本方向上的特征线的角通量的加权和，平源区的标通量平均值就按各方向的角通量求和，而这就是特征线扫描需要的中子源(散射源和裂变源)的基础。从而在内迭代上，根据边界条件和上步外迭代更新的各平源区的中子源，就可以在所有能群、所有方向的特征线上再次更新角通量，进而更新各平源区的标通量。然后在外迭代上，根据散射截面和裂变截面更新各平源区的中子源，同时可更新本征值，或根据中子动力学方程进行时间差分，更新时间差分导致的附加中子源，这些中子源就是内迭代的输入，从而迭代封闭。

MOC方法迭代过程简单，几何适应性强，但计算量大(主要体现在内迭代上，特征线多，扫描计算量大)，外迭代次数多(既要角度方面的收敛，还要能群上的收敛，还要本征值上的收敛)，因此总计算时间很长。3D模型计算量很大，2D/1D耦合下计算量也不小，即使2D MOC，计算量也远大于SN、扩散方法，当然其计算精细程度、准确程度也不可同日而语。

CMFD是MOC加速的良友和绝配。在MOC扫描计算精细的角通量分布的基础上，可以构造一个比平源区更粗的网格(如棒栅元)，建立关于标通量的扩散形式的方程。通过可调系数(如不连续因子)，使得扩散形式的CMFD方程每个粗网的平均标通量与粗网边界的中子流在扩散方程形式下的关系与MOC计算结果相同，从而构造出一个低阶、计算量更小但与MOC结果在某种意义上一致的方程。通过求解这个低阶的CMFD方程，可以更新本征值，更新各粗网的标通量，然后根据此结果修正MOC的结果，使得后续MOC的结果更快地收敛。

CMFD可以针对每群的MOC结果构建，也可以针对压缩能群甚至单群的结果构建，还可以针对时空动力学方程进行构建，建立更低阶的方程或者更多用途的方程，从而形成多级加速体系。

同时，MOC扫描本身也有多种加速技巧，包括模块化特征线布置、2D/1D耦合来近似3D、2D/1D耦合时横向泄漏的巧妙选取、负通量的修正、在线生成特征线、随机特征线等。CMFD本身也有很多技巧，如等效扩散系数的调整，不连续因子的不同取法，Fourier分析来证明和改进迭代的收敛性，Krylov子空间方法的优化、预处理阵的高效处理等。本征值计算本身也有很多加速技巧，如幂迭代直接求本征值，Wielandt外推加速，或非线性方法直接求本征值，有多种选项。

中子动力学方程的求解沿时间进行差分，需要更多的计算步。是对角通量分布直接进行差分，每个时间步都严格计算，还是采用准静态处理，在某些步仅更新幅度，在某些步仅更新标通量，仅在必要时更新角通量，如何与CMFD进行配合，有更多的技巧，在第6章有更详细的描述。还可以对缓发中子先驱核预先进行积分，先消去指数项，降低时间计算的刚度，还有很多需要研究、细化、完善的加速技巧。

虽然以上描述的加速方法有很多，在不同环节甚至有不同的表现形式。但这些都可以从数学上用多重网格的思路来理解和解释。

数学上，多重网络加速方法是在不同粗细的网格(可以是空间的，也可以是角度的、能量的、时间的)上定义方程。细网格的方程给出最精细的结果，但它的求解是逐步消去体现在此网格粒度上的高频误差的过程。粗网格的方程在保证与细网格方程有某种映射关系的情况下，虽然给出粗略的、低分辨率的解，但它更快地消去在粗网格粒度上体现的高频误差，可以从全局上更快地收敛到解。粗细网格的方程交替求解，就可以以更小的计算量、更快的收敛速度得到解。多重网格的精髓在于粗网格的粒度选取，太粗网格，虽然计算量小、收敛快，但与细网差别大，修正的信息量小； 粗网格的粒度细，计算量大，收敛也偏慢。因此一个理想的选择是，针对细网方程，建立多级的粗网格逐级加速，同时消去各种频率的误差，从而达到最佳效果。这种真正多重网格的思路正是本书介绍的多级加速的数学思想的引导。

可以认为MOC方程是细网方程，多群CMFD方程是粗网方程，单群(或更少群)是更粗网的方程。甚至还可以建立空间上更粗网格的方程，更少角度方向的MOC方程。SN方法中的粗网再平衡方程和SN方法中的扩散综合加速方法，也是类似的思路。这都符合多重网格的思路。这些方程可组合，形成更多级嵌套和组合的加速方程的集合。

以上数学方法上的加速充分利用了中子输运方程的特点，利用了扩散方程是输运方程的低阶近似，是某种降阶方程，因此可以用多重网络的思路来处理。

为了进一步加速，还可以用并行的思路，利用更多的现代计算资源，通过同时计算来进行加速。并行技术本身可以采用MPI、OpenMP或GPU，也可以混合使用这些技术。

并行可以针对角度并行，也可以针对能群并行，也可以针对特征线并行。更彻底、有效、扩展性更好的是区域分解，不同的计算核心处理不同的物理区域。并行计算不但要对MOC扫描进行实施，还要对CMFD实施，包括预处理阵的处理。当然，这些不是本书介绍的重点，而是本书内容的自然延伸和扩展。

未来，高保真还要继续扩展，扩展到多物理耦合、多尺度耦合、多部件耦合、多回路耦合，扩展到整个核电站系统的精细模拟，这是更大规模、非线性更强的复杂系统。这时，计算方法要扩展，加速方法也要扩展，当然基本思想、方法可以借用。本书当前介绍的方法是传统意义上的加速方法，是针对精细模型求解的加速，用更少的计算量(尽可能)得到原方程的解。今后，对于特别复杂的问题，要求建立精细模型，而且还要求进行实时计算，甚至超实时计算。这时可能要发展更高效的方法，得到足够分辨率的解，但可能是一定近似程度的解，但足够逼真。一个可行的方法是降阶模型，从数学上直接降阶，直接求解降阶模型，而不求原精细方程。还有最新发展的各种基于人工智能的先进算法。这些是当前学术界的一个热点问题，也值得大家思考、探索。

作者试图把我们的最新结果、最新想法、最新思路与大家共享、共勉，共同推动反应堆物理计算的发展，特别是基于MOC的高保真度计算的发展。我们感觉到，在此领域，还有很多问题需要研究、深入、优化、改进、提高。特别是限于时间和篇幅，限于我们的水平和能力，有些说法可能不完善，有些加速方法的组合可能还没达到最理想状态，有些想法可能存在偏颇，敬请各位同仁批评指正。

李富

2024年7月