目 录

第 1 章 引论 1

1.1  预备知识 1

1.1.1  概率空间 1

1.1.2  随机变量 5

1.1.3  黎曼-斯蒂尔切斯积分 10

1.1.4  数字特征 13

1.1.5  矩母函数、特征函数 15

1.1.6  几个重要的极限定理 17

习题 1.1. 19

1.2  随机过程的基本概念 19

1.2.1  随机过程的定义 19

1.2.2  随机过程的有限维分布族和数字特征 21

1.2.3  平稳过程 23

1.2.4  独立增量过程 23

习题 1.2. 24

1.3  泊松过程 25

1.3.1  泊松过程的概念 25

1.3.2  指数流与泊松过程 29

1.3.3  指数流的条件分布 33

1.3.4  剩余寿命与年龄 35

1.3.5  非时齐泊松过程 37

习题 1.3. 40

1.4  布朗运动 42

1.4.1  布朗运动的概念 42

1.4.2  布朗运动轨道的性质 45

1.4.3  首中时 47

1.4.4  布朗运动的几种变化 48

习题 1.4. 52

第 2 章 条件数学期望与鞍 53

2.1  条件数学期望的概念 53

2.1.1  离散型随机变量的条件数学期望 53

2.1.2  连续型随机变量的条件数学期望 54

2.1.3  一般随机变量的条件数学期望 56

习题 2.1. 57

2.2  条件数学期望的基本性质与应用 58

2.2.1  条件数学期望的基本性质 58

2.2.2  复合泊松过程 59

2.2.3  条件泊松过程 60

2.2.4  反正弦律 62

2.2.5  其他例子 63

习题 2.2. 64

2.3  鞍的基本概念 65

2.3.1  鞍的概念与举例 66

2.3.2  上鞍与下鞍 70

2.3.3  鞍的分解定理 72

2.3.4  关于鞍的两个不等式 74

习题 2.3. 75

2.4  停时与停时定理 76

2.4.1  停时的概念 77

2.4.2  停时定理 78

?2.4.3  停时定理的补充 82

习题 2.4. 83

2.5  鞍收敛定理 85

2.5.1  上穿不等式 85

2.5.2  鞍收敛定理 86

习题 2.5. 88

2.6  连续鞍初步 89

习题 2.6. 91

第 3 章 更新过程 92

3.1  更新过程的概念 92

3.1.1  更新过程的定义 92

3.1.2  更新次数的极限 93

3.1.3  卷积及其性质 95

3.1.4  更新函数及其基本性质 96

习题 3.1. 97

3.2  更新方程和更新定理 98

3.2.1  更新方程及其基本性质 98

3.2.2  更新定理 102

习题 3.2. 106

3.3  更新过程的推广 107

3.3.1  交替更新过程 107

3.3.2  延迟更新过程 109

3.3.3  更新回报过程 109

习题 3.3. 111

第 4 章 马尔可夫链 113

4.1  马尔可夫链及其转移概率 113

4.1.1  基本概念 113

4.1.2  查普曼-柯尔莫戈洛夫方程 115

习题 4.1. 118

4.2  状态的分类及其性质 119

4.2.1  互通 119

4.2.2  常返与非常返状态 120

4.2.3  正常返和零常返状态 124

4.2.4  周期与遍历状态 125

习题 4.2. 127

4.3  状态空间的分解 129

4.3.1  闭集 129

4.3.2  分解定理 130

习题 4.3. 132

4.4  极限定理与平稳分布 135

4.4.1  极限定理 135

4.4.2  平稳分布 136

习题 4.4. 140

4.5  连续时间马尔可夫链 142

4.5.1  概念和基本性质 142

4.5.2  转移概率的性质 143

4.5.3  柯尔莫戈洛夫向前—向后微分方程 145

习题 4.5. 148

第 5 章 随机积分与随机微分方程 149

5.1  伊藤积分的定义 149

5.1.1  简单过程的伊藤积分 149

5.1.2  适应过程的伊藤积分 152

习题 5.1. 155

5.2  伊藤积分过程 155

5.2.1  伊藤积分的鞍性 155

5.2.2  伊藤积分的二次变差和协变差 156

5.2.3  伊藤积分与高斯过程 158

习题 5.2. 159

5.3  伊藤公式 159

5.3.1  关于布朗运动的伊藤公式 159

5.3.2  伊藤过程与随机微分 162

5.3.3  关于伊藤过程的伊藤公式 165

习题 5.3. 169

5.4  随机微分方程 171

5.4.1  随机微分方程的定义 171

5.4.2  随机指数和对数 173

5.4.3  线性随机微分方程的解 176

5.4.4  随机微分方程解的存在唯一性 177

习题 5.4. 178

第 6 章 随机过程在金融保险中的应用举例 179

6.1  破产理论 179

6.1.1  风险过程与破产概率的相关概念 179

6.1.2  安全负荷与调节系数 182

6.1.3  破产概率的估计 184

习题 6.1. 188

6.2  金融衍生产品的定价 188

6.2.1  金融术语和基本假定 189

6.2.2  定价方法 190

习题 6.2. 192

参考文献 193