目录
第1部分要点、例题与习题
第1章一元函数的极限与连续
1.1极限
1.1.1内容要点
1.1.2例题选讲
1.1.3习题汇编
内容分类
一般数列的极限
递推、迭代数列的极限
数列的收敛速度
数列极限的综合题
函数极限
特色题
数列极限的平均值例2
数列xn+1=c+xn的极限例3
用比值法和根值法求数列极限例5
数列an，n-p趋于零的速度比较例7（1）
lnαx,xβ,eγx趋于无穷大速度的比较例7（2）
用施托尔茨定理求数列极限题10
用夹逼准则求数列极限题12
数列 sinnθ 的极限题15
用单调有界原理求数列极限题25
方程tanx=x的根所成数列的
极限题37
交叉迭代的数列极限题41
空间中4个点交叉迭代的点列
极限题43
幂指型极限的等价无穷小代换题51
用微分中值定理求极限题52
笛卡儿叶形线的渐近线题56
函数 (ax1+ax2+…+axn)/n1/x的
极限题61
x→0+时函数 xxxx的极限题62
1.2一元函数的连续性
1.2.1内容要点
1.2.2例题选讲
1.2.3习题汇编
内容分类
介值定理、零点定理与连续性
函数方程与连续性
连续函数的应用题
特色题
2x的函数方程例1
椭圆的外切正方形例2
奇偶次多项式的实零点与最值例3
连续性与不动点例4
最大、最小函数的连续性题8
地球上的同温点题14
陈家全的百米世界纪录题15
方桌的平稳摆放问题题17
“一刀二饼”问题题19
第2章一元函数微分学
2.1导数、微分中值定理
2.1.1内容要点
2.1.2例题选讲
2.1.3习题汇编
内容分类
求导法
高阶导数
导函数的性质
微分中值等式
特色题
用递推公式求x=0处arctanx的
高阶导数例3
导函数的极限定理例5
导函数的介值定理例7
微分中值等式的一般解法例10
函数行列式的导数题14
相关变化率题16
反函数的二三阶导数题27
导数不为零的函数是单调函数题33
导函数没有第一类间断点题34
重根与导函数题39
其他特色题题2，25（2），31
2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及
泰勒公式
2.2.1内容要点
2.2.2例题选讲
2.2.3习题汇编
内容分类
泰勒公式
泰勒公式与不等式
函数的单调性与不等式
函数的凹凸性与不等式
函数的极值与最值
特色题
函数展开为麦克劳林公式的常用
方法例1
麦克劳林公式与等价无穷小例2
泰勒公式与不等式例3，4
极值的高阶导数判别法例8
关于严格凹（凸）不等式例10
从低阶到高阶排列的4个无穷小题7
若尔当不等式 2θπ≤sinθ≤θ题24
反函数的凹凸性题29
平均值不等式题35
柯西不等式题36
凹凸函数与最值题44
数列 {nn}的最大项题46
函数∑ni=1|x－ai|的最小值题47
伯努利不等式(1+x)α≥1+αx题49
其他特色题
题9，26，27，28，32，37，39，54
2.3一元函数微分学综合题
内容分类
导数与函数方程、恒等式
方程的根与导数
优化问题
其他综合题
特色题
f(x)=tanx的函数方程题4
方程2x=x2+1有3个不同的实根
题17
多项式［(x2－1)n］(n)的实零点分布
题20
由图形判断x3－3x+p=0的根题26
公路上的选址问题与重心法题30
函数1+x+…+xn/n!的实零点题38
e是无理数题43
误差悖论与泰勒公式题45
与arctanx的高阶导数有关的问题题47
数列{nsin(2πen!)}的极限题50
最大熵原理题55
其他特色题
题1，10，14，15，24，42，49，57
第3章不定积分与定积分
3.1不定积分
3.1.1内容要点
3.1.2例题选讲
3.1.3习题汇编
内容分类
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
无理函数的积分
幂三指函数的积分
综合题
特色题
有理函数积分的5个常见类型例1
三角函数有理式积分的常用换元法例2
函数系{Pn(x)eλx}对原函数的封
闭性例8
非常规分解的有理函数的积分题2
∫tannxdx与∫sinnxdx的递推公式题5
∫cosmxsinnxdx的递推公式题7
用倒代换计算的积分题10
∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的积分
题13
函数系{Pn(x)eaxcosbx+Qn(x)eaxsinbx}对原函数的封闭性题15
分段函数的原函数题26
3.2定积分及其在几何与物理中的
应用
3.2.1内容要点
3.2.2例题选讲
3.2.3习题汇编
内容分类
定积分与广义积分的计算
积分等式及变限积分
定积分在几何与物理中的应用
特色题
某些定积分的简算例2，题1
连接两点的最短路径是线段例4
求变项和的极限例5
定积分与微元法例6
图形绕斜轴的旋转体体积例7，题30
正交函数系题7,8
柱壳法求旋转体体积题29
椭圆外等距线的长度题38
惠更斯摆的等时性题44
旋轮线的等时性题45
其他特色题例3，题2，15，17，19，23
3.3定积分综合题
内容分类
积分不等式
积分极限
其他综合题
特色题
积分的柯西不等式题3
凹凸形函数的积分不等式与等式题15
积分极限limn→∞n∫ba［f(x)］ndx题21
积分极限 limx→+∞∫x0|sint|dt/x题29
原函数的奇偶性和周期性题32
圆周率π是无理数题37
最大微分熵题43
其他特色题题2,4，11，12,18，42，48
第4章多元函数微分学
4.1函数与图形
4.1.1内容要点
4.1.2例题选讲
4.1.3习题汇编
特色题
下料问题例1
曲面上的蚂蚁寻路问题例2，题14
正劈锥的参数方程例3
默比乌斯带的参数方程例5
一般旋转曲面的参数方程例6
在椭球面上截圆题1
单叶双曲面是直纹面题6
欧拉四面体问题题8
齐次函数与锥面方程题11
空间圆的参数方程题15
礼花绽放题21
其他特色题题16，17，18
4.2多元函数的极限、连续与微分
4.2.1内容要点
4.2.2例题选讲
4.2.3习题汇编
内容分类
多元函数的极限与连续
偏导数
全微分
高阶偏导数
综合题
特色题
x2+y2的方向导数与偏导数例4
已知全微分求原函数例7，题18
高阶偏导数例10，题20
解偏微分方程例13，题31
极坐标下的偏导数题6
调和函数题21,22
一个二元函数的恒等式题34
齐次函数题38
其他特色题例8，题7，37
4.3多元函数微分学的应用
4.3.1 内容要点
4.3.2例题选讲
4.3.3习题汇编
内容分类
多元函数微分学的几何应用
多元函数的极值与最值
多元函数微分学的综合题
特色题
曲线簇的包络线例2，题6,7
等距线例3，题9
最远（近）点的垂线原理例5，题24,25，26，27
一个不寻常的切线问题题2
椭球面的切线束题10
柱面方程的特征题11
唯一极值非最值的例子题22
点到3条直线的距离之和最小题32
4点共圆时四边形的面积最大题36
三角形的费马点题37
其他特色题题15，21，37，38，
第5章多元函数积分学
5.1重积分
5.1.1内容要点
5.1.2例题选讲
5.1.3习题汇编
内容分类
重积分的计算与简算
重积分的一般变量代换
含参数的积分
积分不等式
求面积和体积问题
综合题
特色题
重积分的对称奇偶性例1
用重心法计算的重积分例3
卷积的计算例7，题21
卷积的运算律题20
二次型与椭圆的面积题31
二次型与椭球的体积题33
其他特色题例5,6，题5，11，22，23，26，34，42，44
5.2曲线积分与曲面积分
5.2.1内容要点
5.2.2例题选讲
5.2.3习题汇编
内容分类
曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
特色题
用平移变换计算的一个曲线积分例1
闭曲线内部有奇点的曲线积分例2
调和函数的平均值定理例4
灵活选择的面积微元 例5
用积分坐标的转换计算曲面积分例6，题22
用轮换对称计算的曲面积分例9
凑原函数计算曲线积分题10
用对称奇偶性计算曲面积分题14
用斯托克斯公式计算曲线积分
题27，28
其他特色题题6，11，23，30
5.3多元函数积分学的应用
5.3.1内容要点
5.3.2例题选讲
5.3.3习题汇编
内容分类
多元积分学的几何应用
多元积分学的物理应用
特色题
用微元法解释对称奇偶性例1，题1
用曲线积分求柱面的面积例2
星形线的旋转面面积例3
圆锥面铺平后其上的曲线长度不变例4
公路隔离栏原理例5
公路占地原理例6
等周问题的证明例7
圆柱面铺平后其上的曲线长度不变
题2
咕噜金定理题6
弯管的启示题8
阿基米德定律的推导题16
旋转液面的形状题18
雪堆的融化问题题19
第6章无穷级数
6.1数项级数
6.1.1内容要点
6.1.2例题选讲
6.1.3习题汇编
内容分类
级数求和
正项级数
一般项级数
综合题
特色题
拆项相消法求级数的和例1，题1
正项级数的敛散性与一般项趋于零的
速度例3
正项级数敛散性的积分判别法例4
条件收敛级数中的正负项级数例5
条件收敛的级数不满足加法交换律
例6
用泰勒公式分解级数例7，题29，30
级数的敛散性与数列的敛散性例8
比较法的极限形式不适合非正项
级数例9
一个二重级数的敛散性题17
数列xn=cosxn－1的敛散性题45
斐波那契数列与黄金分割比题47
无穷积分的敛散性与级数的敛散性题51,52
狄利克雷积分∫+∞0(sinx/x)dx条件收敛题53
压缩映射原理题58
其他特色题题13，14，31，34，35，48
6.2函数项级数
6.2.1内容要点
6.2.2例题选讲
6.2.3习题汇编
内容分类
幂级数的收敛域
函数的幂级数展开式
幂级数求和
一般函数项级数
综合题
特色题
两个幂级数和的收敛域例1
e－1/x2不能展开为麦克劳林级数例6
傅里叶级数的闭合性公式例8
幂级数 ∑∞n=1sinnn2xn的收敛域题5
斐波那契数列的母函数题14
∑∞n=0sinnx与∑∞n=0cosnx的收敛域题20
用傅里叶级数求数项级数的和题24
有理函数的幂级数特征题30，31
提不尽的银行存款题38
傅里叶级数的维尔丁格不等式题42
用傅里叶级数证明等周问题题43
其他特色题题19，25，34，37
第7章微分方程
7.1初等积分法与线性方程
7.1.1内容要点
7.1.2例题选讲
7.1.3习题汇编
内容分类
用初等积分法解微分方程
线性微分方程
综合题
特色题
积分因子例1，题8，9
非齐次线性方程特解的算子解法例5,6，7，题11
二阶线性齐次方程的朗斯基行列式例8
由通解求方程形式题1
二阶常系数非齐次线性方程的一个新
解法题19
用逆算子求不定积分∫x3e2xdx题20
可化为常微分方程的偏微分方程题21
其他特色题题14,25
7.2微分方程的应用题
内容分类
微分方程的物理应用
微分方程的几何应用
其他应用题
特色题
将地球变为黑洞题1
滑行距离问题题2
浮筒的振动题3
单摆小幅摆动的周期题4
悬链线题7
最速降线问题题8
马王堆一号墓的年代考证题9
攀岩的路径题10
雨滴流淌的轨迹题11
曳物线题12
追线问题题13
横渡江河的线路题14
摆渡线路题15
4人追逐线路题16
盘山公路的修筑题17
湖泊污染的治理题18
降雪与扫雪问题题21
凶犯的排除题22
给CPU降温题23
新技术的推广题24
第2部分习 题 解 答
第1章一元函数的极限与连续
1.1极限
1.2一元函数的连续性
第2章一元函数微分学
2.1导数、微分中值定理
2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及
泰勒公式
2.3一元函数微分学综合题
第3章不定积分与定积分
3.1不定积分
3.2定积分及其在几何与物理中的
应用
3.3定积分综合题
第4章多元函数微分学
4.1函数与图形
4.2多元函数的极限、连续与微分
4.3多元函数微分学的应用
第5章多元函数积分学
5.1重积分
5.2曲线积分与曲面积分
5.3多元函数积分学的应用
第6章无穷级数
6.1数项级数
6.2函数项级数
第7章微分方程
7.1初等积分法与线性方程
7.2微分方程的应用
附录A中国大学生数学竞赛大纲
（非数学类）
附录B8~11届全国大学生数学竞赛预赛
（非数学类）赛题及解答
第8届全国大学生数学竞赛预赛赛题
（非数学类，2016年）
第9届全国大学生数学竞赛预赛赛题
（非数学类，2017年）
第10届全国大学生数学竞赛预赛赛题
（非数学类，2018年）
第11届全国大学生数学竞赛预赛赛题
（非数学类，2019年）
附录C7~10届全国大学生数学竞赛决赛
（非数学类）赛题及解答
第7届全国大学生数学竞赛决赛赛题
（非数学类，2016年）
第8届全国大学生数学竞赛决赛赛题
（非数学类，2017年）
第9届全国大学生数学竞赛决赛赛题
（非数学类，2018年）
第10届全国大学生数学竞赛决赛赛题
（非数学类，2019年）
附录D常用公式与记号
参考文献
