目录

第1章随机事件与概率1

1.1随机现象与数据1

1.1.1一论飞行器差分求速——奇妙的无穷小1

1.1.2抽球悖论——奇妙的无穷大2

1.1.3从折纸看直觉、实践与推理的差异3

1.1.4从硬币试验看直觉思维与理性思维5

1.1.5从硬币试验看概率论与数理统计5

1.1.6样本均值和中位数的计算复杂度6

1.1.7平均数和中位数的稳健度7

1.1.8考分是数字还是随机变量8

1.2随机事件9

1.2.1样本空间与事件域不是唯一的9

1.2.2事件的常见假命题9

1.2.3清晰事件和模糊事件10

1.3概率的定义与性质10

1.3.1一论硬币实验——频率与概率10

1.3.2有限可加与可列可加11

1.3.3贝特朗悖论12

1.4等可能概型12

1.4.1协同轰炸问题——古典概型13

1.4.2协同过桥问题——几何概型14

1.4.3蒙提霍尔悖论——信息泄露16

1.4.4田忌赛马获胜的概率实质18

1.4.5巴拿赫火柴盒问题18

1.4.6生日同天问题19

1.4.7抽签原理的担忧20

1.4.8停战谈判的概率实质20

1.4.9最佳恋爱年数21

1.5条件概率与独立性23

1.5.1条件概率和无条件概率23

1.5.2事件互斥和事件相互独立24

1.5.3彭尼游戏的概率实质25

1.5.4观棋不语的概率实质29

1.5.5星期二男孩的概率实质29

1.5.6两两独立与相互独立30

1.6全概率公式与贝叶斯公式31

1.6.1从寓言故事到绕岛军演31

1.6.2少数派获胜的概率实质33

1.6.3再论蒙提霍尔悖论34

1.6.4萨达姆被捕的概率推断36

1.6.5从阳性与患病看贝叶斯思想37

1.6.6从犬吠与贼偷看贝叶斯思想38

1.6.7一次答疑引起的思考38

1.6.8举证困难的追责问题42

1.6.9输光原理与全概率公式42

1.6.10输光原理的仿真验证44

第2章随机变量47

2.1随机变量的基本概念47

2.1.1随机变量具有随机性吗47

2.1.2随机变量一定是单射吗47

2.1.3随机变量的抽象意义48

2.2离散型随机变量及其分布律48

2.2.1输光分布律和马尔可夫链48

2.2.2雨伞问题52

2.2.3二项分布的分布律最大值53

2.2.4泊松分布的分布律最大值54

2.2.5五局三胜还是七局四胜54

2.2.6协同作战与独狼行动55

2.2.7泊松分布与二项分布的优势56

2.3连续型随机变量及其密度函数57

2.3.1连续型随机变量的密度未必连续57

2.3.2分布函数连续未必对应连续型58

2.3.3密度与随机变量的对应关系59

2.3.4关于电子产品寿命的思考59

2.3.5零概率事件未必不可能发生61

2.3.6正态分布的仿真62

2.4分布函数63

2.4.1随机变量的分类63

2.4.2几个易混淆的关联概念64

2.4.3作训后勤线路选择问题65

2.4.4协同作战等待时长的分布类型66

2.4.5混合高斯分布属于混合分布吗67

2.4.6混合分布是连续分布与离散分布的加权平均吗68

2.5随机变量函数的分布70

2.5.1连续型随机变量的函数未必是连续型70

2.5.2不同随机变量的函数可能服从相同分布71

第3章多维随机变量72

3.1二维离散型随机变量72

3.1.1二维离散型随机变量的典型案例72

3.1.2二维离散型随机变量的典型分析思路73

3.2二维连续型随机变量73

3.2.1二维连续型随机变量的典型案例73

3.2.2二维连续型随机变量的典型分析思路74

3.2.3蒲丰投针及其仿真试验75

3.2.4一论圆概率误差76

3.3联合分布函数77

3.3.1离散型联合分布的典型形态77

3.3.2边缘密度无法决定联合密度77

3.3.3协同作战中的联合分布80

3.4边缘分布81

3.4.1非零密度区域的边界表达式81

3.4.2联合正态分布的边缘分布和条件分布83

3.4.3均匀分布的边缘分布未必是均匀分布84

3.4.4非均匀分布的条件分布可能是均匀分布86

3.5条件分布与独立性86

3.5.1随机变量独立的条件86

3.5.2随机变量两两独立未必独立87

3.5.3正态分布之和未必服从正态分布88

3.5.4木棒截断悖论88

3.6二维随机变量的变换及函数的分布90

3.6.1独立随机向量的变换可能不独立90

3.6.2不独立随机向量的变换可能独立91

3.6.3变换可改变分布的类型91

3.6.4正态分布之和未必是正态分布92

3.6.5后勤联运的可靠性——极小值的分布92

3.6.6卷积公式和z\|x图93

3.6.7函数与变换的区别95

3.6.8分布的可加不变性96

第4章随机变量的数字特征97

4.1数学期望97

4.1.1再论协同轰炸问题97

4.1.2如何区分均值和期望98

4.1.3哪个射手的水平更高98

4.1.4期望的绝对收敛约束99

4.1.5协同穿越问题102

4.1.6单拱架桥问题103

4.1.7可加性的简易证明方法105

4.1.8不存在期望的离散型随机变量105

4.1.9不存在期望的连续型随机变量106

4.1.10电梯问题106

4.1.11停战谈判问题再讨论108

4.1.12秩序的重要性111

4.1.13独立随机变量的期望112

4.1.14函数的期望未必等于期望函数112

4.1.15协同作战等待时长112

4.1.16一论凯利公式——投注策略113

4.1.17圣彼得堡悖论——期望不存在116

4.2方差117

4.2.1一定要选拔高水平选手吗117

4.2.2百发百中与一发一中119

4.2.3信息融合和“位高权重”的关系120

4.2.4切比雪夫不等式的意义120

4.2.5密度平均和样本平均的方差121

4.2.6差的方差不等于方差之差122

4.2.7再论凯利公式——方差特性122

4.2.8常用分布的期望和方差125

4.3协方差、相关系数、矩与协方差阵125

4.3.1似是而非的相关125

4.3.2独立性与不相关性126

4.3.3不相关的两个正态随机变量未必独立126

4.3.4不相关的两个随机变量未必独立127

4.3.5低阶距存在未必高阶矩存在128

4.3.6啤酒和尿布的故事是真的吗128

4.3.7独立随机变量的正交变换未必独立129

第5章大数定律与中心极限定理130

5.1大数定律130

5.1.1定律与定理130

5.1.2服从大数定律的内涵131

5.1.3依概率收敛的内涵131

5.1.4数列收敛与依概率收敛131

5.1.5依概率收敛未必几乎处处收敛132

5.1.6依概率收敛必然依分布收敛133

5.1.7几个大数定律的关联134

5.1.8再论硬币试验135

5.1.9三论硬币试验136

5.1.10用数值试验和直方图验证大数定律137

5.2中心极限定理141

5.2.1中心极限定理的里程碑141

5.2.2标准化的过程142

5.2.3典型分布的标准化143

5.2.4指数分布的标准化144

5.2.5均匀分布的标准化146

5.2.6图书馆配套座位数150

5.2.7发射井的数量152

5.2.8再论发射井的数量153

5.2.9生日问题再讨论154

5.2.10不服从中心极限定理的反例154

5.2.11切比雪夫不等式与中心极限定理155

5.2.12三论凯利公式——大数据特性155

第6章数理统计的基本概念158

6.1统计推断概述158

6.1.1幸存者偏差——逝者不说话158

6.1.2朋友悖论——我的朋友真的少吗159

6.1.3二论飞行器差分求速——降曲技术160

6.2抽样分布164

6.2.1测速雷达消噪方法164

6.2.2从正态分布走来167

6.2.3样本均值与方差的独立性172

6.2.4多维正态分布的若干结论174

6.2.5极限定理与抽样分布定理的关系174

6.2.6常用分布关联图谱175

6.2.7样本方差的系数175

6.2.8变异系数不能消除偏置系数的影响176

6.2.9若干分布的可加性176

6.2.10统计量的计算复杂度176

6.2.11卡方分布期望与自由度177

6.2.12t分布与标准正态分布177

6.2.13分位点的性质177

第7章参数估计179

7.1点估计179

7.1.1矩估计的局限性179

7.1.2常用分布的参数估计180

7.1.3泊松分布参数的估计182

7.1.4渐进无偏估计未必是相合估计182

7.1.5无偏估计的函数未必是无偏的183

7.1.6魔盒游戏引发的思考183

7.1.7极大似然的思想184

7.1.8未战而庙算胜——估算枪支的数量184

7.1.9以算求胜，深算制胜——新兵老兵问题186

7.1.10知彼知己，百战不殆——虎式坦克的数量188

7.1.11知彼知己，百战不殆——估计量的评价准则190

7.1.12总群数量的估算193

7.1.13再论圆概率误差194

7.1.14费希尔信息量、香农信息熵与方差的关系195

7.1.15如何理解克拉默拉奥下界199

7.2区间估计199

7.2.1球场找针的故事199

7.2.2良种粒数的范围200

7.2.3测控雷达的可靠度鉴定200

7.2.4军工器件的测量精度202

7.2.5飞行器速度的置信区间203

7.2.6炮弹方差的置信区间203

7.2.7火箭燃烧率的置信区间204

7.3贝叶斯估计204

7.3.1再论新兵老兵问题204

7.3.2再论百发百中与一发一中206

7.3.3再论命中率问题207

第8章假设检验209

8.1引言209

8.1.1导弹脱靶量鉴定中的假设检验问题209

8.1.2药品杂质检验中的原假设与风险210

8.2正态总体参数的假设检验211

8.2.1小概率原则悖论211

8.2.2再论导弹脱靶量鉴定212

8.2.3药品杂质检验对应的假设检验过程216

8.2.4罗曼诺夫斯基硬币试验的再审视217

第9章回归分析219

9.1一元线性回归模型219

9.1.1父子身高关系的回归问题219

9.1.2铜棒膨胀系数的回归问题220

9.2多元线性回归模型221

9.2.1三论飞行器差分求速——降噪技术221

9.2.2再论铜棒膨胀系数223

9.2.3测速雷达求速原理225

9.2.4导航中的主元估计225

9.2.5基于状态转移矩阵求先验概率228

9.2.6导航方程的求解229

9.2.7食谱方程的求解238

参考文献245

附录246

索引250

后记253