本书根据本人在清华大学多年讲授“复变函数引论”的讲义修改而成.解析函数是复变函数研究的主要对象.本书共6章，以解析函数为贯穿始末的主线，从10个不同的层面来讨论并逐步深入理解解析函数.

第1章，介绍复数、复平面、复球面与扩充复平面.

第2章，首先给出复变函数的极限、连续和可导（可微）的概念，这些概念是微积分中相应概念的平行推广.接下来给出解析函数的定义.由定义，我们对解析函数有了第1个层面的理解： 区域D中的解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)就是D中处处可导的函数.不少初学者会误认为只要u(x,y),v(x,y)在D中可微，f(z)就在D中解析.接下来研究函数解析的充要条件，可以帮助我们纠正这一错误，得到对解析函数的第2个层面的理解： 解析函数的实部和虚部并不是两个任意的可微二元实函数，而是按照Cauchy-Riemann条件耦合在一起的两个可微函数.复变函数的许多概念、理论和方法是对实变函数的平行推广，两者之间既有很多相似之处，又有很多不同点.

最后介绍几个基本的初等函数，它们是以后各章节研究的基本对象.

第3章研究复变函数沿有向曲线的积分.Cauchy-Goursat基本定理是解析函数理论的基础.由Cauchy-Goursat基本定理可以推导出复合闭路原理，得到Cauchy积分公式，从而对解析函数有了第3个层面的理解： 解析函数在区域边界上的值一经确定，它在区域内部的值也就唯一确定了.进一步的分析表明： 解析函数在圆心的值等于它在圆周上的平均值.这是对解析函数的第4个层面的理解.由Cauchy积分公式可以得到解析函数的高阶求导公式，从而使我们对解析函数的理解上升到第5个层面： 解析函数的任意阶导函数仍然是解析函数.Liouville定理是一阶求导公式的推论，由Liouville定理可以给出代数学基本定理的一个简洁漂亮的证明，这也从一个侧面体现了复变函数的威力.Newton-Leibnitz公式在微积分理论中极为重要，被称为微积分基本定理.单连通区域中的解析函数也有原函数的概念以及Newton-Leibnitz公式.通过构造原函数的方法可以证明Morera定理,从而对解析函数有了第6个层面的理解： 单连通区域中，函数f解析等价于f连续且积分与路径无关.第2章最后研究解析函数与调和函数的关系.

多项式函数是人们了解得最深刻的函数之一.任给一个函数，人们禁不住要问，这个函数与多项式函数相差多少？如何用多项式函数来逼近？如此一来，研究复变函数的幂级数展开就是顺理成章的事情了，这正是本书第4章的内容.由Abel定理，幂级数存在收敛圆，幂级数的和函数在其收敛圆内解析（因而积分与路径无关）、可以逐项求导、逐项积分.多项式是如此简单，加之幂级数的和函数在其收敛圆域内有如此好的性质，这使得Taylor级数成为研究解析函数的强有力工具，它既有实际应用价值，又有理论价值.解析函数的Taylor展开使我们对解析函数有了第7个层面的理解： 函数在一点解析，等价于函数可以在这点的某个邻域内展开成Taylor级数.这一点与一元实函数的情形不同.一元实函数即使无穷次可微，也不一定能展开成Taylor级数.由解析函数的Taylor展开可以得到零点孤立定理和唯一性定理，从而对解析函数有了第8个层面的理解： 解析函数在一个收敛点列（非常数列）上的值一经确定，这个函数就唯一确定了.这是一个局部决定整体的惊人性质.结合Cauchy积分公式和唯一性定理，还可以得到最大模原理，这是对解析函数的第9个层面的理解： 非常数函数的解析函数的最大模只能在区域边界上取得.Laurent级数是Taylor级数的自然推广，它也是研究解析函数的重要工具，是我们在第5章中研究奇点和留数的基础.

复变函数引论前言第5章研究留数.首先利用Laurent展开对解析函数的孤立奇点(包括无穷远点∞)进行分类.等价地，也可以根据函数在孤立奇点处的极限状况对奇点进行分类.然后给出留数的定义，并给出留数计算规则.留数定理是本章的中心所在，Cauchy-Goursat基本定理、Cauchy积分公式和高阶求导公式都可以视为它的特殊情形.留数定理的应用之一是利用围道积分法计算一元实函数的定积分和广义积分.其中有些积分用微积分的方法处理起来很复杂，但用围道积分却变得简单可行. 用解析函数的留数理论来处理一元实变函数的积分，表面上看来是把简单的问题复杂化了，但实际上却有意想不到的惊人效果.围道积分在方法论上给了我们一个很好的提示： 我们把简单空间中的元素（实变量函数）看成复杂空间中的元素（复变量函数），空间变大了，表面上看是把简单问题复杂化了，似乎是杀鸡用了宰牛刀；但实际上，我们在更大的空间中能更好地施展拳脚，研究问题的方法和工具也相应多了，这提供了一个解决问题的好思路.本章最后一节讨论解析函数的对数留数和辐角原理.作为留数理论的又一重要应用,我们利用Rouché定理(辐角原理的推论)研究解析函数(特别是多项式函数)的零点分布.

第6章的中心内容是共形映射，有很强的应用价值.首先给出解析函数导数的几何意义，由此引出共形映射的概念，这是对解析函数的第10个层面的理解： 解析函数的导函数的辐角Argf′(z0)是经过映射w=f(z)后过点z0的任何曲线C在z0处的转动角；模|f′(z0)|是曲线C在z0处的伸缩率.这一章,我们着重研究几个特殊的共形映射： 分式线性映射以及幂函数和指数函数构成的映射.最后我们应用共形映射来求解Laplace方程的边值问题.

由于本人水平有限，书中错误和缺点在所难免，敬请读者批评指正.

 作 者

2010年5月